हम हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को समानता के रूप में कब लिख सकते हैं?

हम जानते हैं कि हाइजेनबर्ग अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

लेकिन (मोरलेट वेवलेट के लिए कई मामलों में) मैंने देखा है कि उन्होंने असमानता को एक समानता में बदल दिया। अब मेरा सवाल यह है कि क्या हमें असमानता को एक समानता में बदलने की अनुमति है:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Electricman
स्रोत

यह बहुत दिलचस्प लगता है

— डेटो दातुशविली

जैसा कि मुझे पता है कि यह समान है अगर गॉज़ियन वितरण इष्टतम आकार है, तो कृपया इस पुस्तक को देखें इलस्ट्रेटेड वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म हैंडबुक: इंट्रोडक्टरी थ्योरी एंड एप्लीकेशन इन साइंस, इंजीनियरिंग, मेडिसिन एंड फ़ाइनेंस

— डेटो दातुशविली

लिंक टूटी हुई है, क्या आप किताब को ईमेल करेंगे या कृपया दूसरी लिंक भेजें? मेरा ईमेल: <Electricaltranslation@gmail.com> धन्यवाद @datodatuashvili

— Electricman

जवाबों:

अनिश्चितता सिद्धांत के किसी भी विशेष रूपों पर चर्चा करने से पहले सिग्नल की समय और आवृत्ति चौड़ाई और को परिभाषित करना महत्वपूर्ण है । इन राशियों की कोई अनोखी परिभाषा नहीं है। उपयुक्त परिभाषाओं के साथ यह दिखाया जा सकता है कि केवल गॉसियन संकेत समानता के साथ अनिश्चितता सिद्धांत को संतुष्ट करता है। $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

फूरियर रूपांतरण संतोषजनक के साथ एक संकेत पर विचार करें $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

इन शर्तों में से कोई भी वास्तव में प्रतिबंध नहीं है। उपयुक्त स्केलिंग, अनुवाद और मॉड्यूलेशन द्वारा वे सभी संतुष्ट हो सकते हैं (परिमित ऊर्जा के साथ संकेतों के लिए)।

यदि हम अब समय और आवृत्ति चौड़ाई को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

तब अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(यदि लिए से अधिक तेज़ी से गायब हो जाता है ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

जहां असमानता गौसियन संकेत के लिए समानता से संतुष्ट है

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

ऊपर दिए गए समीकरण संख्या नीचे दिए गए प्रमाण के अनुरूप है जो वेटरली और कोवेसेविक (p.80) द्वारा वेवलेट्स और सबबैंड कोडिंग से है:

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— मैट एल।
स्रोत

गणित के लिए धन्यवाद, मैं इसे समझने की कोशिश करूंगा। @ मैट-एल

— इलेक्ट्रिकमैन

@ एम एल: आप एक वर्ग भारोत्तोलक के साथ समय और आवृत्ति चौड़ाई को क्यों परिभाषित करते हैं? मैंने स्कूल में देखा कि संस्करण vart और varw हैं। वितरण के परिवर्तन एक रैखिक भारोत्तोलक के साथ हैं? यह क्या है? तो क्या इसका मतलब यह है कि यह अनिश्चितता सिद्धांत किसी फ़ंक्शन के संस्करण और उसके स्पेक्ट्रम के विचरण के बारे में बात नहीं करता है, लेकिन कुछ और?

— मार्टिअन कोर्टको 20

@MartijnCourteaux: यह एक सिग्नल की चौड़ाई को परिभाषित करने का सिर्फ एक संभव तरीका है। जब किसी समय फ़ंक्शन के लिए आवेदन किया जाता है, तो इसे अक्सर RMS अवधि कहा जाता है , और यह बस का दूसरा क्षण है ।

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— मैट एल।

क्या गणितीय रूप से हेइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को निर्दिष्ट करना संभव है जिसमें का दूसरा क्षण शामिल है ? मैं समझ सकता हूं कि हेइज़ेनबर्ग ने इस्तेमाल किया , क्योंकि वह एक कण-कण की संभावना है। लेकिन, मैं सिग्नल प्रोसेसिंग के संदर्भ में हाइजेनबर्ग सिद्धांत जानना चाहूंगा।

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— मार्टिज़न कोर्टो

@MartijnCourteaux: यह है सिग्नल प्रोसेसिंग के संदर्भ में अनिश्चितता सिद्धांत। दूसरे क्षण की अवधि के रूप में व्याख्या नहीं है, क्योंकि सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है। एक अजीब संकेत कल्पना करें । इसका दूसरा क्षण हमेशा शून्य होता है (यदि अभिन्न अभिसरण करता है)।

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— मैट एल।

मैं आपको इसके पीछे सभी सिद्धांत नहीं दे सकता (क्योंकि यह शाब्दिक रूप से किताबें भरता है), लेकिन यह पता चलता है कि हाइजेनबर्ग संकेतों के इस परिवार के लिए सटीक समानता बनाता है:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

जहाँ सभी पैरामीटर वास्तविक संख्याएँ हैं। यह परिवार एकल गैबर परमाणु से समय-आवृत्ति में द्विघात सहानुभूति द्वारा उत्पन्न होता है। ये सहानुभूतिवाद हेइज़ेनबर्ग अनिश्चितता संबंध को संरक्षित करते हैं।

संपादित करें: मुझे यह और अधिक सटीक और वास्तव में अधिक सही बनाने के लिए। ऊपर दिए गए संकेत समय-आवृत्ति क्षेत्र को कम से कम करते हैं, लेकिन समय-आवृत्ति अनिश्चितता उत्पाद नहीं। यदि आप न्यूनतम तो ऊपर से गायब हो जाना चाहिए। $\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

हालांकि समय आवृत्ति क्षेत्र की धारणा को आकार के क्षेत्र को मापने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो समय और आवृत्ति अक्ष के साथ गठबंधन नहीं किया जाता है। इसका मतलब यह है कि एफ और टी के बीच अनिश्चितता उत्पाद के बजाय हम एफ और टी द्वारा फैलाए गए किसी भी दो संयुग्मित चर के न्यूनतम अनिश्चितता उत्पाद को मापते हैं। मैं आपको विवरणों को छोड़ दूंगा, लेकिन समय-आवृत्ति क्षेत्र की इस परिभाषा के लिए संकेतों का परिवार देता है। आप न्यूनतम हैं।

— Jazzmaniac
स्रोत

क्या यह गबूर फिजल्टर फोंक्टियून्स नहीं है? `

— जीन-

"पुस्तकों को भरने" का एक कारण यह है कि समानता के लिए आवश्यक कई शर्तें ठीक से परिभाषित और सीमित हैं (किसी भी संदर्भ में किसी भी उपयोगिता से परे टीटीटी, जैसे कि वास्तविक दुनिया)।

— हॉटपावर 2

हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का मूल संदर्भ भौतिकी था, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी जहां प्रश्न में संयुग्म चर हैं स्थिति और गति। यह समय / आवृत्ति विश्लेषण तक ही सीमित नहीं है।

— user2718

@ BZ, आप यहाँ गाना बजानेवालों को उपदेश दे रहे हैं। मैं एक गणितीय क्वांटम भौतिक विज्ञानी हूं। हालाँकि मैं आपकी टिप्पणी के बिंदु को यहाँ या अपने स्वयं के उत्तर में नहीं देखता हूँ।

— जैजमानियाक

अनिश्चितता सिद्धांत संकल्प के लिए एक सैद्धांतिक बाध्यता स्थापित करता है, इसलिए इसे कभी भी समानता के रूप में नहीं लिखा जाता है।

आप जो समानता संबंध स्थापित कर रहे हैं वह एक विशिष्ट विश्लेषण संदर्भ और विश्लेषण कार्यान्वयन के लिए है। इस मामले में संदर्भ सिग्नल विश्लेषण है इसलिए समय / आवृत्ति ब्याज के संयुग्म चर हैं, और कार्यान्वयन उपयोग में विशिष्ट तरंगिका है।

समानता संबंध विभिन्न विश्लेषण कार्यान्वयनों में संकल्पों की तुलना करने का एक तरीका प्रदान करता है। इन संबंधों की व्याख्या करते समय सावधानी बरतनी चाहिए क्योंकि संकल्प की परिभाषा नहीं होनी चाहिए, लेकिन भिन्न हो सकती है।

एक समानता का संबंध उचित है जब आपने दो चीजों को परिभाषित किया है: 1) संकल्प का गणितीय अर्थ। 2) विश्लेषण की विधि (इस मामले में, तरंगिका का विकल्प)।

— user2718
स्रोत

यदि आप गहराई से खुदाई करते हैं तो हाइजेनबर्ग का सिद्धांत संकल्प के बारे में एक बयान से कहीं अधिक हो जाता है। यह एक गणितीय संरचना में समय आवृत्ति ज्यामिति के साथ गहराई से जुड़ा हुआ है जिसे सिम्पेक्टिक नॉन-कम्यूटेटिव ज्यामिति कहा जाता है। यह समय-आवृत्ति की जानकारी के लिए एक सूचना सिद्धांत को मापता है और ठीक से एकीकृत मात्रा में हो जाता है। तुम भी मनमाना TF-क्षेत्रों के पुनर्निर्माण के लिए शैनन प्रमेय को सामान्य बनाने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं।

— जैजमैनियाक

क्वांटम यांत्रिकी में, अनिश्चितता सिद्धांत किसी भी प्रकार की गणितीय असमानताओं का एक प्रकार है जो उस सीमा तक एक मौलिक सीमा को सुनिश्चित करता है जिसके साथ कण के कुछ भौतिक गुणों को पूरक चर के रूप में जाना जाता है, जैसे कि स्थिति x और संवेग p, एक साथ ज्ञात हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, 1927 में, वर्नर हाइजेनबर्ग ने कहा कि अधिक सटीक रूप से किसी कण की स्थिति निर्धारित की जाती है, ठीक ठीक इसकी गति ज्ञात की जा सकती है, और इसके विपरीत। [विकिपीडिया - लेकिन मैंने इसे भौतिकी में सीखा और विश्लेषण कक्षाओं में फिर से दौरा किया]

— उपयोगकर्ता