वास्तविक असतत फूरियर रूपांतरण

मैं असली DFT और DFT को समझने की कोशिश कर रहा हूं और अंतर क्यों मौजूद है।

अब तक जो मैं जानता हूं कि DFT आधार वैक्टर के लिए का उपयोग करता है और प्रतिनिधित्व यह राशि ऐतिहासिक कारणों के लिए से तक लिखी गई है, जो मुझे लगता है कि इसे लिखने के बजाय एक तरह से फूरियर श्रृंखला के अनुरूप है जिसमें से तक जाने का योग है। : यह एक अजीब विसंगति पर निर्भर है DFT जहाँ उच्च आवृत्तियाँ ऋणात्मक आवृत्तियों के समान होती हैं: । $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

फूरियर सीरीज़ के साथ सादृश्य को जारी रखने से वास्तविक DFT प्रतिनिधित्व इस युग्मन के रूप में देखी जा सकती है के साथ डीएफटी प्रतिनिधित्व में जहां योग से । यह बहुत ज्यादा पसंद है the जो a के दो अभ्यावेदन जोड़ता है फूरियर श्रृंखला:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

मेरा प्रश्नतो फिर असली डीएफटी की तुलना में डीएफटी इतना अधिक क्यों प्रचलित है? एक उम्मीद करता है कि चूंकि वास्तविक डीएफटी वास्तविक मूल्यवान साइन और कोज़ाइन को आधार के रूप में उपयोग कर रहा है और इस तरह से ज्यामितीय तस्वीर का बेहतर प्रतिनिधित्व कर रहा है कि लोग इसे अधिक पसंद करेंगे। मैं देख सकता हूं कि डीएफटी और निरंतर फूरियर ट्रांसफॉर्म को सैद्धांतिक रूप से क्यों पसंद किया जाएगा क्योंकि घातीय का बीजगणित सरल है। लेकिन एक व्यावहारिक कम्प्यूटेशनल लागू दृष्टिकोण से सरल बीजगणित की अनदेखी करना, डीएफटी अधिक उपयोगी क्यों होगा? जटिल सिग्नल के साथ अपने सिग्नल का प्रतिनिधित्व करना क्यों विभिन्न भौतिकी, भाषण, छवि, आदि अनुप्रयोगों में आपके संकेत को साइन और कोसाइन में डिकम्पोज करने से अधिक उपयोगी है। इसके अलावा अगर कोई सूक्ष्म चीज है जो मैं अपने उपरोक्त व्यय में याद कर रहा हूं तो मैं जानना चाहता हूं: मैं '

dft

— user782220
स्रोत

वास्तविक असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म इस कारण से महत्वपूर्ण है कि सामान्य DFT को वास्तविक अनुक्रम में लागू करने से कुछ अतिरेक का परिणाम मिलता है, जिसमें लंबाई वास्तविक अनुक्रम के लिए संगत , अनुक्रम अनुक्रम का जटिल संयुग्म है। । यह तर्क के लिए खड़ा है, फिर, कि केवल एक परिवर्तन की सकारात्मक आवृत्तियों के लिए प्रविष्टियों की जरूरत है। एक भी इस संदर्भ में तथाकथित हार्टले परिवर्तन का सामना करेगा । दोनों दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है।

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: मैं अत्यधिक वास्तविक फूरियर रूपांतरण और हार्टले परिवर्तन दोनों पर इन दो पत्रों को पढ़ने की सलाह देता हूं ; वे डीएफटी से अलग इन तरीकों में रुचि समझाने का अच्छा काम करते हैं।

क्या यह सही है कि आरडीएफटी का मैट्रिक्स और डीएफटी का मैट्रिक्स एक आधार परिवर्तन से संबंधित हैं? और यह कि परिवर्तन का आधार वास्तव में एक प्रतिबिंब है कि कैसे फूरियर श्रृंखला को दो तरीकों से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है गुणांक के साथ । और डीएफटी के संदर्भ में मुख्य बिंदु यह है कि ऊपरी आवृत्तियों को नकारात्मक आवृत्तियों के रूप में सोचा जाना चाहिए ताकि इसका संभव करना फूरियर श्रृंखला में साइन और कॉज़नेस प्राप्त करने के लिए,

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— RDFT

वन लोन के अध्यायों में से एक आपके प्रश्न को विस्तार से बताता है। यह क्रोनकर उत्पादों के हेरफेर के साथ कुछ कौशल का अनुमान लगाता है।

बहुत कम से कम आपके पास अब आपके मुकाबले कम प्रश्न होने चाहिए।

जटिल एफ टी या जटिल फूरियर का लाभ बदलने या जटिल फूरियर श्रृंखला है कि है रैखिक प्रणालियों अच्छा संपत्ति है कि प्रतिक्रिया करने के लिए है है । (यहाँ एक जटिल लगातार हो सकता है)। इसलिए आउटपुट इनपुट का एक स्केलर मल्टीपल है। इससे भी महत्वपूर्ण बात, अगर हमारे पास जटिल घातांक के भारित योग के रूप में इनपुट का प्रतिनिधित्व है, तो आउटपुट समान घातांक का सिर्फ एक भारित योग है । विभिन्न भार, लेकिन घातांक का एक ही सेट । इसके अलावा, प्रत्येक नया वजन पुराने वजन को एक उचित संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

बेशक, किसी भी भौतिक प्रणाली में जटिल-मूल्यों के संकेत नहीं हैं, जो अंदर और बाहर आ रहे हैं; कम से कम, आज के रूप में नहीं, हालांकि कोई हमेशा भविष्य में बेहतर चीजों की उम्मीद कर सकता है। इस समय के दौरान, हम जटिल संकेतों के वास्तविक भागों को लेते हैं, या रैखिकता और सुपरपोज़िशन और लिबरल थ्रू यूज़ माध्यम से या की प्रतिक्रिया प्राप्त करते हैं। $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

इसके विपरीत, जवाबी कार्रवाई के लिए फार्म की है । तो, जबकि रैखिकता और सुपरपोजिशन आदि सभी काम करते हैं, आउटपुट को इनपुट की तुलना में विभिन्न आधार कार्यों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। बहुत बारीकी से संबंधित, ज़ाहिर है, लेकिन अभी भी संभवतः अलग है और शायद अधिक आधार कार्यों की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, इनपुट को एक आधार फ़ंक्शन, आउटपुट द्वारा दो अलग-अलग कार्यों द्वारा दर्शाया जाता है। यह तर्क दिया जा सकता है कि जटिल कार्यों के लिए वास्तविक कार्यों की तुलना में दोगुना काम करने की आवश्यकता होती है और इसलिए कोई भी बचत विशुद्ध रूप से काल्पनिक (इच्छित उद्देश्य) होती है, लेकिन जटिल प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ समान उपचार जबकि पाप / कॉस अभ्यावेदन नहीं करते हैं। शीघ्र! प्रतिक्रिया को देखते हुए करने के लिए है , के जवाब क्या है ? आपको इस पर थोड़ा काम करना होगा, आपको फॉर्मूला लागू करने की आवश्यकता हो सकती है जैसे कि और इतने पर। जटिल घातांक के साथ, जीवन बहुत आसान है। $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

लेकिन, जैसा कि वास्तविक जीवन में, आपका माइलेज अलग-अलग हो सकता है, और अगर आपको लगता है कि पाप / कॉस का प्रतिनिधित्व करने का तरीका है और जटिल घातांक को छोड़ दिया जाना चाहिए, तो आप अपने दिल का पालन करने के लिए स्वतंत्र हैं। यदि आपको अपने विचारों को सहकर्मियों, मालिकों, ग्राहकों या सलाहकारों तक पहुँचाने में कठिनाई होती है, तो यह नुकसान उनका होगा, आपका नहीं।

— दिलीप सरवटे
स्रोत