पोल फ़िल्टर होते हुए भी एफआईआर फिल्टर स्थिर क्यों हैं?

15

एफआईआर फ़िल्टर हमेशा स्थिर कैसे होते हैं?
चूंकि उनमें डंडे होते हैं, इसलिए क्या उन्हें स्थिरता के मुद्दों से अधिक प्रभावित नहीं होना चाहिए?

filters finite-impulse-response

— user7277
स्रोत

एफआईआर स्थिर है अगर यह शून्य है जो इकाई सर्कल में स्थित है

— डेटो डेटुशिविली

2

यह सच नहीं है: एफआईआर हमेशा स्थिर होती है और शून्य जहां भी चाहें यूनिट यूनिट सर्कल के बाहर शामिल कर सकते हैं। उदाहरण: फ़िल्टर [1 -6 11 -6] में z = 1, 2 और 3 पर

— ज़ीरोस है

फिर से, @Hilmar, यह इस बात पर निर्भर करता है कि FIR कैसे कार्यान्वित की जाती है। ट्रंच किए गए IIR (TIIR) के रूप में लागू की गई एफआईआर शायद स्थिर न हो। एक साधारण ट्रांसवर्सल एफआईआर फिल्टर के रूप में लागू किया गया, हां, यह हमेशा स्थिर है। अगर यह "फास्ट कंफोल्यूशन" (FFT और "ओवरलैप-ऐड" या "ओवरलैप-सेव" का उपयोग करके) लागू किया जाए तो भी स्थिर है। और कभी-कभी जब TIIR फ़िल्टर के रूप में लागू किया जाता है तो यह स्थिर होता है (यदि आंतरिक IIR स्थिर है)। लेकिन एक एफआईआर के रूप में लागू की गई एफआईआर आंतरिक रूप से अस्थिर हो सकती है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

8

एफआईआर फिल्टर में केवल शून्य और कोई डंडे नहीं होते हैं। यदि किसी फ़िल्टर में डंडे होते हैं, तो यह IIR है। IIR फिल्टर वास्तव में स्थिरता के मुद्दों से पीड़ित हैं और उन्हें सावधानी से संभालना चाहिए।

संपादित करें:

कुछ और विचार और कुछ स्क्रिबलिंग और गूगल-आईएनजी के बाद, मुझे लगता है कि मेरे पास एफआईआर के इस सवाल का जवाब है कि उम्मीद है कि इच्छुक पार्टियों के लिए संतोषजनक होगा।

एक प्रतीत होता है कि पोलर एफआईआर फ़िल्टर के Z रूपांतरण के साथ शुरुआत: के रूप में आर बी जे के जवाब में दिखाया गया है, प्राथमिकी डंडे अंश और का हर गुणा करके पता चला रहे हैंद्वारा:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

इस प्रकारएक सामान्य एफआईआर फिल्टर के मूल मेंहमारे

पोल कीउपज है।

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

हालांकि, इसे दिखाने के लिए, कार्य-कारण की धारणा को फ़िल्टर पर रखा गया है। वास्तव में, यदि हम एक अधिक सामान्य एफआईआर फिल्टर पर विचार करते हैं, जहां कार्य-कारण ग्रहण नहीं किया जाता है: ध्रुवों की एक अलग संख्यामूल पर दिखाई देती है:

जी (z) = \frac{ख_{0} z^{क} + ख_{1} z^{क - 1} + ख_{2} z^{क - 2} + \dots + ख_{एन} z^{क - एन}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

जी (z) = \frac{ख_{0} z^{एन} + ख_{1} z^{एन - 1} + ख_{2} z^{एन - 2} + \dots + ख_{एन}}{z^{एन - क}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

इस प्रकार, मैं निम्नलिखित निष्कर्ष निकालता हूं:

(मूल प्रश्न का उत्तर देते हुए) सामान्य तौर पर, एक एफआईआर फिल्टर में पोल होते हैं, हालांकि हमेशा जेड-प्लेन के मूल में। क्योंकि वे कभी भी यूनिट सर्कल से परे नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें एफआईआर सिस्टम की स्थिरता के लिए कोई खतरा नहीं है।
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
$एच (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Kenneide
स्रोत

2

IIR फिल्टर वास्तव में बहुत खतरनाक नहीं हैं।

— user7358

19

$z=0$

क्योंकि सभी ध्रुव यूनिट सर्कल के अंदर स्थित हैं, इसलिए एफआईआर फिल्टर अस्थिर रूप से स्थिर है।

यह शायद एफपी फिल्टर नहीं है जो ओपी के बारे में सोच रहा है, लेकिन एफआईआर फ़िल्टर का एक वर्ग है जिसे ट्रंकेटेड आईआईआर फ़िल्टर (टीआईआईआर) कहा जाता है, जो यूनिट सर्कल पर या उसके बाहर एक पोल हो सकता है जिसे उसी स्थान पर एक शून्य द्वारा रद्द किया जाता है। इसका सबसे सरल उदाहरण मूविंग योग या मूविंग एवरेज फिल्टर है। लेकिन, एक I / O परिप्रेक्ष्य से, ये TIIR फ़िल्टर FIR हैं।

लेकिन मैं "स्थिरता" की गारंटी नहीं देता। नियंत्रण-प्रणाली की भाषा का उपयोग करते हुए, TIIR फ़िल्टर "पूरी तरह से अवलोकन योग्य" नहीं है और स्थिर दिखाई दे सकता है क्योंकि इसकी आवेग प्रतिक्रिया लंबाई में परिमित दिखाई देती है, लेकिन फ़िल्टर राज्यों के अंदर नरक में जा सकता है, और परिमित संख्यात्मक परिशुद्धता के साथ, कि आंतरिक अक्षमता अंततः होगी। आउटपुट पर दिखाओ।

हमें खुद को इस धारणा से अलग करना होगा कि "एफआईआर फिल्टर में कोई खंभा नहीं है" । सच नहीं है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

क्या आप गणितीय रूप से दिखा सकते हैं कि एफआईआर फिल्टर में पोल हैं, क्योंकि मैं इसे नहीं देख रहा हूं।

— जिम क्ले

डंडे के साथ एक प्राथमिकी का सबसे अच्छा उदाहरण कैस्केड इंटीग्रेटेड-कॉम्ब (CIC) फ़िल्टर है। यह एक साधारण चलती औसत फिल्टर (1, 1, 1, 1 की तरह गुणांक) के साथ शुरू होता है और इसे फिर से लिखता है - जिससे एक पोल शुरू होता है। देखें लिंक । इन्हें अक्सर रूपांतरण के पहले चरण के रूप में FPGAs पर लागू किया जाता है क्योंकि उनके पुनरावर्ती रूप में वे कम्प्यूटेशनल रूप से लागू करने के लिए काफी सस्ते हैं। उदाहरण के रूप में ग्रैचिप प्रलेखन देखें। उन्हें स्थिरता बनाए रखने के लिए आमतौर पर निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है।

— डेविड

1

मुझे लगता है कि हम असहमत होने के लिए सहमत होंगे - होजेनर के मूल पेपर से सार पढ़ता है "डिजिटल रैखिक चरण परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) फिल्टर के लिए एक वर्ग (नमूना दर में कमी) और प्रक्षेप (नमूना दर में वृद्धि) प्रस्तुत किए जाते हैं।"

— डेविड

4

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

2

@ JimClay, एक CIC मूविंग-योग या मूविंग-औसत फ़िल्टर सबसे निश्चित रूप से एक FIR फ़िल्टर है। इसका आईआर एफ है। यह सामान्य रूप से ट्रांसवर्सल एफआईआर फिल्टर के रूप में लागू नहीं किया गया है, लेकिन यह निश्चित रूप से हो सकता है यदि आप इसके लिए एमआइपी से भुगतान करना चाहते हैं।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

14

"क्या आप गणितीय रूप से दिखा सकते हैं कि एफआईआर फिल्टर में पोल हैं, क्योंकि मैं इसे नहीं देख रहा हूं।" - जिम क्ले

क्या हम मान सकते हैं कि यह प्राथमिकी कारण है?

$N$ $N+1$

परिमित आवेग प्रतिक्रिया: $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

प्राथमिकी का स्थानांतरण समारोह:

\begin{aligned} एच (z) & = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} ज [n] z^{- n} \\ = Σ_{n = 0}^{एन} ज [n] z^{- n} \\ = Σ_{n = 0}^{एन} z^{- एन} ज [n] z^{एन - n} \\ = z^{- एन} Σ_{n = 0}^{एन} ज [एन - n] z^{n} \\ = \frac{Σ_{n = 0}^{एन} ज [एन - n] z^{n}}{z^{एन}} \\ = \frac{ज [एन] + ज [एन - 1] z + ज [एन - 2] z^{2} + \dots + ज [1] z^{एन - 1} + ज [0] z^{एन}}{(z - 0)^{एन}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

आपको बस इतना करना है कि अंश का कारक है और आपको पता चल जाएगा कि शून्य कहां हैं। लेकिन यह बहुत स्पष्ट है जहां सभी डंडे एक एफआईआर फ़िल्टर के लिए हैं। और जितने भी पोल हैं, उतने ही एफआईआर फिल्टर का क्रम है। ध्यान दें कि ये ध्रुव आवृत्ति प्रतिक्रिया को प्रभावित नहीं करते हैं। चरण को छोड़कर।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

6

मुझे सही साबित होना है। स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— जिम क्ले

1

कुछ हद तक, वास्तव में। चूँकि आप परिमित ऊर्जा का इनपुट करते हैं और फ़िल्टर केवल अधिकतम रूप से ऊर्जा इनपुट का एक से अधिक वितरण करेगा (इसकी आवेग प्रतिक्रिया में एक परिमित ऊर्जा होती है), जिसके परिणामस्वरूप संकेत अधिकतम ऊर्जा इनपुट के एक से अधिक होंगे। यह प्रतिध्वनित नहीं कर सकता है और इस प्रकार आगे बढ़ सकता है, जैसा कि IIR फ़िल्टर कर सकता है। यह केनेडीस के जवाब के रूप में अच्छी तरह से है।

— user7358
स्रोत

हाँ, और यह केनीड के जवाब के रूप में गलत है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

2

प्रिय रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन, कृपया हमें नश्वर बताएं। एफआईआर फिल्टर कहां होता है

H (z) = 1

$H(z)=1$ एक पोल है?

— user7358

2

ठीक है, अच्छी बात है। 0-ऑर्डर एफआईआर या आईआईआर फ़िल्टर (कभी-कभी "वायर" के रूप में जाना जाता है) में कोई पोल नहीं है और न ही ज़ीरो (जब तक आप सोचना नहीं चाहते हैं

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$ जहां पोल और शून्य रद्द)। मुझे सही साबित होना है।

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

क्या यूनिट में देरी होती है

H (z) = z

$H(z)=z$ एक पोल है?

— user7358

1

ठीक है, यह एक इकाई अग्रिम है । लेकिन यूनिट देरी,

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$ करता है पर एक भी पोल है

z = 0

$z=0$ ।

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

कोई भी वास्तव में इस बात पर नहीं छूता है कि एफआईआर फ़िल्टर के डंडे हटाने योग्य क्यों हैं इसलिए मैंने नीचे इसका उत्तर देने का प्रयास किया है।

एफआईआर फिल्टर के मूल में हटाने योग्य डंडे होंगे, क्योंकि उनके आवेग की प्रतिक्रिया की सीमा को इसकी आवश्यकता होती है। यह ध्रुव के चारों ओर है, यह फ़ंक्शन को परिभाषित करना संभव है ताकि यह अभी भी होलोमोर्फिक (अपने डोमेन के हर बिंदु पर भिन्न हो)।

यह रीमैन का एक प्रमेय है कि यदि कोई संकेत इसके डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग है (बारीक कई बिंदुओं को छोड़कर), तो इन विशेष बिंदुओं के आसपास एक पड़ोस मौजूद है जहां फ़ंक्शन बाध्य है। इस प्रमेय में निहितार्थ दो तरह से हैं, इसलिए क्योंकि एफआईआर फिल्टर के लिए एक बाध्य आवेग प्रतिक्रिया की आवश्यकता होती है, फिर यूनिट सर्कल के भीतर हर बिंदु पर आवेग प्रतिक्रिया भिन्न होनी चाहिए। इस प्रकार, संकेत को एक सुसंगत तरीके से बढ़ाया जा सकता है ताकि कोई विलक्षणता न हो (अर्थात डंडे हटाने योग्य हों)।

यही कारण है कि एफआईआर फिल्टर के z- परिवर्तन में कोई नकारात्मक शक्तियां नहीं होती हैं $z$ ।

— टॉम केली
स्रोत

1

टॉम, मुझे लगता है कि एक वास्तविक एफआईआर के जेड-परिवर्तन में केवल नकारात्मक शक्तियां हैं

z

$z$ । ठीक है, ठीक है, केवल गैर-सकारात्मक शक्तियां

z

$z$ ।

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

@ robertbristow-johnson क्षमा करें, हाँ। मैं एक जनरेटिंग फंक्शन के बारे में सोच रहा था। हालाँकि, मुझे नहीं लगता कि ऊपर की कार्रवाई के तहत उत्तर में परिवर्तन हुआ है

z

$z$ ->

z^{- 1}

$z^{-1}$ ।

— टॉम केली