क्या जटिल घातीय एलटीआई प्रणालियों के एकमात्र प्रतिरूप हैं?

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क्या एक रैखिक समय अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली के एक स्वदेशीकरण का एक उदाहरण है जो एक जटिल घातीय नहीं है? एलटीआई सिस्टम्स के जस्टिन रोमबर्ग के आइजनफंक्शंस का कहना है कि इस तरह के आईजनफॉर्म्स मौजूद हैं, लेकिन मैं एक भी नहीं खोज पा रहा हूं।

linear-systems theory eigendecomposition

— विनोद
स्रोत

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LTI प्रणाली के सभी eigenfunctions को जटिल घातांक के रूप में वर्णित किया जा सकता है, और जटिल घातांक संकेत स्थान का एक पूर्ण आधार बनाते हैं। हालांकि, यदि आपके पास एक ऐसी प्रणाली है जो पतित है , जिसका अर्थ है कि आपके पास आयाम> 1 का आइगेंसबस्पेसेस है, तो संबंधित आइगेनवैल्यू के लिए आइजनवेक्टर सबस्पेक्टर से वैक्टर के सभी रैखिक संयोजन हैं। और विभिन्न आवृत्तियों के जटिल घातांक के रैखिक संयोजन अब जटिल घातांक नहीं हैं।

बहुत सरल उदाहरण: एलटीआई प्रणाली के रूप में पहचान ऑपरेटर 1 में पूरे सिग्नल स्पेस के रूप में ईगेनवेल्यू 1 के साथ eigenvalue है। इसका तात्पर्य है कि सभी फ़ंक्शन ईजीनफंक्शन हैं।

— Jazzmaniac
स्रोत

1

पाठ्यक्रम के अशक्त कार्य को छोड़कर :) बस मजाक कर रहे हैं

— लॉरेंट

1

$\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— सीएसआर
स्रोत

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यह विपरीत है: नियम यह है कि एलटीआई सिस्टम में ईजेनसबस्पेसेस को कम किया जाता है और इसलिए eigenvectors जो जटिल घातांक नहीं हैं। वास्तविक आउटपुट वाली प्रणाली पर विचार करें। तब , जिसका अर्थ है कि यदि वास्तविक है और , तो आपके पास पहले से ही एक दो आयामी ईजेन्सबस्पेस और वास्तविक साइन एक आइजनवेक्टर है। इसका मतलब है कि कोई भी LTI सिस्टम जिसमें एक चरण प्रतिक्रिया होती है, जो कि लिए कई हो जाता है । वह अपवाद के बजाय नियम है।

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— जैजमैनियाक

1

वास्तव में, कोई भी शुद्ध घातीय एलटीआई प्रणाली का एक प्रतिरूप है। यदि आप तेजी से पास आने वाली मात्रा से निपटने में कोई आपत्ति नहीं करते हैं , तो घातीय के जटिल या वास्तविक होने की कोई सैद्धांतिक आवश्यकता नहीं है ।

\infty

$\infty$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

मुझे पता है कि मैंने आपके उत्तर को संपादित किया (इसे शब्दार्थ के साथ और अधिक स्पष्ट और अधिक सही बनाने के लिए), लेकिन आपके उत्तर में गलती है। है नहीं एक सामान्य LTI प्रणाली के लिए एक सामान्य eigenfunction। यह है कि विशिष्ट LTIs के लिए एक eigenfunction लेकिन दूसरों के लिए नहीं।

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

जाहिर है "अगर आप मात्रा तेजी से आ रहा ∞ के साथ काम कर कोई आपत्ति नहीं है" के रूप में ही नहीं है "संकेत अंतरिक्ष कि आम तौर पर माना जाता है ... वर्ग समाकलनीय कार्यों के हिल्बर्ट अंतरिक्ष धांधली।" सभी मैं कह रहा हूँ कि अगर आपका इनपुट है, तो आपका आउटपुट है (जहाँ लैपल है LTI आवेग प्रतिक्रिया का रूपांतरण । मेरे लिए एक स्वदेशी की तरह लग रहा है। लेकिन आप CSR के विनिर्देशन के बारे में सही हैं।

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

1

@ Fat32, एक अच्छी तरह से व्यवहार किए गए फ़ंक्शन स्थान की मांग करना स्थिरता के बारे में नहीं है और यह अनावश्यक या मनमाने ढंग से दूर है। सिग्नल प्रोसेसिंग सिद्धांत में अधिकांश उपयोगी परिणाम अच्छी तरह से व्यवहार किए गए सिग्नल रिक्त स्थान पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से उपयोगी वर्णक्रमीय प्रमेय ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ) है, और इस प्रमेय के लिए कुछ निश्चित रिक्त स्थान की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक संभावित विकल्प है। यदि आप इस गणितीय ढांचे को लागू करना चाहते हैं (और मुझ पर विश्वास करना चाहते हैं, तो आप), तो आप उन संकेतों को स्वीकार नहीं कर सकते हैं, जिन्हें आप eigignignals के रूप में प्रस्तावित करते हैं।

L^{2}

$L^2$

— जैजमानियाक

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मुझे लगा कि मैंने अपनी प्रतिक्रिया स्पष्ट रूप से लिखी है --- जाहिरा तौर पर नहीं :-)। मूल प्रश्न था, "क्या एलटीआई प्रणाली के लिए जटिल घातांक के अलावा ईजेनसिग्नल हैं?"। इसका उत्तर है, यदि किसी को यह तथ्य दिया जाता है कि सिस्टम LTI है, लेकिन और कुछ नहीं जाना जाता है, तो केवल पुष्टि किए गए इग्नेन्सिनल जटिल घातीय है। विशिष्ट मामलों में, सिस्टम में अतिरिक्त ईगेंसिग्नल्स भी हो सकते हैं। मैंने जो उदाहरण दिया वह आदर्श एलपीएफ था जिसमें ईमानदारी से इस तरह के एक ईजेंसिग्नल थे। ध्यान दें कि sinc फ़ंक्शन एक मनमाने ढंग से LTI प्रणाली का एक eigensignal नहीं है। मैंने एक गैर-तुच्छ मामले को इंगित करने के लिए एक उदाहरण के रूप में एलपीएफ और sinc दिया --- x (t) = y (t) एक गणितज्ञ को संतुष्ट करेगा लेकिन इंजीनियर नहीं: ->। मुझे यकीन है कि कोई भी अन्य विशिष्ट गैर-तुच्छ उदाहरणों के साथ आ सकता है जिनके पास जटिल घातांक के अलावा ईजेनसिग्नल के रूप में अन्य संकेत हैं।

इसके अलावा, कॉस और पाप सामान्य रूप से, ईगेंसिग्नल नहीं हैं। यदि cos (wt) को लागू किया जाता है और आउटपुट A cos (wt + थीटा) है, तो इस आउटपुट को निरंतर समय इनपुट के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है (जब थीटा 0 या pi, या A = 0 को छोड़कर), जो कि स्थिति है एक संकेत के लिए एक आइगेंसिग्नल होने की आवश्यकता है। ऐसी स्थितियां हो सकती हैं, जिनके तहत कॉस और पाप ईगेंसिग्नल हैं, लेकिन वे विशेष मामले हैं और सामान्य नहीं हैं।

सीएसआर

— सीएसआर
स्रोत

क्या आप सुनिश्चित हैं कि आपने मेरी टिप्पणी को अपने अन्य उत्तर में समझ लिया है? मुद्दा यह है कि वास्तविक एलटीआई प्रणालियों के लिए यह एक वास्तविक साइन के रूप में ईजेन्सिग्नल होने की उम्मीद है। इसका मतलब यह नहीं है कि सभी आवृत्तियों के सभी साइन ईगेंसिग्नल्स हैं। मैंने विशेष रूप से सटीक स्थिति दी, जिसके लिए वे ऐसे हैं, और बताया कि क्यों उस शर्त को अधिकांश एलटीआई सिस्टम द्वारा पूरा किया जाता है।

— जैजमैनियाक

इसके अलावा, यह मत भूलिए कि आपने अर्थ बदलने के लिए अपना उत्तर संपादित किया है। "एक तर्कसंगत हस्तांतरण समारोह के लिए" कोई अन्य eigensignals नहीं हैं "के लिए" मनमाने ढंग से सिस्टम के अलावा कोई सामान्य eigen संकेत नहीं हैं .. "काफी बड़ा है। इसलिए इसे ऐसे लगा देना कि लोग आपकी प्रतिक्रिया को सही तरह से समझ नहीं पाए।

— जैजमैनियाक

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शायद गोलाकार समरूपता के साथ लेंस जैसे स्थानिक रूप से अपरिवर्तनीय बहुआयामी वस्तुएं। इसे फूरियर बेसेल विस्तार कहा जाता है। समय के लिए कोई T नहीं है, लेकिन कन्वेन्शन फ़्रीक्वेंसी डोमेन संबंध रखती है