एर्गोडिक और स्थिर के बीच क्या अंतर है?

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मुझे इन दोनों अवधारणाओं के बीच अंतर करने में परेशानी होती है। यह मेरी अब तक की समझ है।

एक स्थिर प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जिसके सांख्यिकीय गुण समय के साथ नहीं बदलते हैं। एक सख्त-अर्थ स्थिर प्रक्रिया के लिए, इसका मतलब है कि इसकी संयुक्त संभावना वितरण स्थिर है; एक व्यापक-अर्थ स्थिर प्रक्रिया के लिए, इसका मतलब है कि इसके 1 और 2 पल स्थिर हैं।

एक एर्गोडिक प्रक्रिया वह है जहां इसके सांख्यिकीय गुण, जैसे विचरण, पर्याप्त रूप से लंबे नमूने से काटे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, नमूना माध्य संकेत के वास्तविक माध्य में परिवर्तित हो जाता है, यदि आप लंबे समय तक औसत रहते हैं।

अब, यह मुझे लगता है कि एक संकेत स्थिर होने के लिए, स्थिर होना होगा।

और किस तरह के सिग्नल स्थिर हो सकते हैं, लेकिन एर्गोडिक नहीं?
यदि किसी सिग्नल में एक ही समय के लिए एक ही विचरण होता है, उदाहरण के लिए, समय-औसत वैरिएशन वास्तविक मान में कैसे परिवर्तित नहीं हो सकता है?
तो, इन दो अवधारणाओं के बीच वास्तविक अंतर क्या है?
क्या आप मुझे एक ऐसी प्रक्रिया का उदाहरण दे सकते हैं जो स्थिर न रहकर स्थिर हो, या स्थिर हुए बिना क्षीण हो?

random ergodic

— मैट
स्रोत

आप संबंधित प्रश्न के इस उत्तर को देखना चाह सकते हैं ।

— दिलीप सरवटे

यह व्याख्यान शाब्दिक रूप से मंत्र देता है कि एर्गोडिक स्थिर का एक सबसेट है। मैं अभी समझ नहीं पा रहा हूं कि विकिपीडिया में स्टेशनरी एर्गोडिक प्रक्रिया लेख क्या कर रहा है? क्या इसका मतलब है कि गैर-स्थिर एर्गोडिक प्रक्रिया है?

— वैल

मैं की रक्षा नहीं करेंगे @Val क्या विकिपीडिया कहते हैं, लेकिन बाहर बिंदु होगा कि मेरा उत्तर के अंतिम भाग के नीचे एक WSS प्रक्रिया है कि है की एक उदाहरण नहीं स्थिर और अभी तक है ergodic।

— दिलीप सरवटे

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एक यादृच्छिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का एक संग्रह है, जो हर बार विचार के तहत तत्काल होती है। आमतौर पर यह निरंतर समय हो सकता है ( ) या असतत समय (सभी पूर्णांक , या सभी समय जहां नमूना अंतराल है)। $-\infty < t < \infty$ $n$ $nT$ $T$

स्थिरता का तात्पर्य यादृच्छिक चरों के वितरण से है। विशेष रूप से, एक स्थिर प्रक्रिया में, सभी यादृच्छिक चर में समान वितरण फ़ंक्शन होता है, और अधिक आम तौर पर, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक और समय इंस्टेंट के लिए , यादृच्छिक चर का संयुक्त वितरण) के संयुक्त वितरण के समान है । यही है, अगर हम हर समय इंस्टेंट को बदलते हैं, तो प्रक्रिया का सांख्यिकीय विवरण बिल्कुल नहीं बदलता है: प्रक्रिया स्थिर है $n$ $n$ $t_1, t_2, \ldots, t_n$ $n$ $X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$ $X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$ $\tau$ ।
दूसरी ओर, एरोडोडिसिटी, यादृच्छिक चर के सांख्यिकीय गुणों को नहीं बल्कि नमूना पथों पर देखती है , अर्थात जो शारीरिक रूप से निरीक्षण करते हैं। यादृच्छिक चर का जिक्र करते हुए, याद रखें कि यादृच्छिक चर एक नमूना स्थान से वास्तविक संख्या तक मैपिंग हैं ; प्रत्येक परिणाम को एक वास्तविक संख्या पर मैप किया जाता है, और विभिन्न यादृच्छिक चर आमतौर पर किसी भी दिए गए परिणाम को विभिन्न संख्याओं में मैप करेंगे। तो, कल्पना कीजिए कि कुछ उच्चतर प्रयोग किए जा रहे हैं, जिसके परिणामस्वरूप नमूना स्थान में एक परिणाम है, और इस परिणाम को प्रक्रिया में सभी यादृच्छिक चर द्वारा (आमतौर पर अलग-अलग) वास्तविक संख्याओं पर मैप किया गया है: विशेष रूप से, यादृच्छिक वेरिएबल में मैप्ड $\omega$ $X(t)$ $\omega$ एक वास्तविक संख्या के रूप में हम रूप में निरूपित करेंगे । संख्या , एक तरंग के रूप में माना है, नमूना इसी के लिए पथ , और विभिन्न परिणामों हमें अलग नमूना पथ दे देंगे। तब अर्गोडिटी नमूना पथों के गुणों से संबंधित होता है और कैसे ये गुण यादृच्छिक प्रक्रिया वाले यादृच्छिक चर के गुणों से संबंधित होते हैं। $x(t)$ $x(t)$ $\omega$

अब, एक स्थिर प्रक्रिया से एक नमूना पथ , हम समय की गणना कर सकते हैं औसत लेकिन, क्या करता है साथ क्या करना है , मतलब यादृच्छिक प्रक्रिया का? (ध्यान दें कि यह इस मामले के जो मूल्य नहीं है हम का उपयोग करें; सभी यादृच्छिक चर एक ही वितरण किया है और यदि ऐसा है तो इसका मतलब मौजूद है एक ही मतलब है ())। जैसा कि ओपी कहता है, एक नमूना पथ का औसत मूल्य या डीसी घटक प्रक्रिया के औसत मूल्य में परिवर्तित होता है यदि नमूना पथ को लंबे समय तक देखा जाता है, बशर्ते प्रक्रिया क्षीण हो $x(t)$

\bar{x} = \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} x (t) d t

$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$

\bar{x}

$\bar{x}$

μ = E [X (t)]

$\mu = E[X(t)]$

t

$t$ और स्थिर इत्यादि, जो कि क्षीणता है, जो हमें दो गणनाओं के परिणामों को जोड़ने और उस का दावा करने में सक्षम बनाता है बराबर ऐसी प्रक्रिया जिसके लिए इस तरह की समानता रखती है, को माध्य-एर्गोडिक कहा जाता है , और एक प्रक्रिया माध्य-एर्गोडिक होती है यदि इसके ऑटोकॉवरियन फ़ंक्शन में संपत्ति होती है:

lim_{T \to \infty} \bar{x} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} x (t) d t

$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$

μ = E [X (t)] = \int_{- \infty}^{\infty} u f_{X} (u) d u .

$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$

C_{X} (τ)

$C_X(\tau)$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} C_{X} (τ) d τ = 0.

$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$

इस प्रकार, सभी स्थिर प्रक्रियाओं को औसत-एर्गोडिक होने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन एर्गोडिसिटी के अन्य रूप भी हैं। उदाहरण के लिए, एक ऑटोकॉवेरियन-एर्गोडिक प्रक्रिया के लिए, नमूना पथ परिमित खंड ( लिए के ऑटोकॉवेरियन फ़ंक्शन के ऑटोकॉवेरियन फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है। के रूप में । एक कंबल बयान है कि एक प्रक्रिया है ergodic विभिन्न रूपों में से किसी का मतलब हो सकता है या यह एक विशिष्ट रूप का मतलब हो सकता है, एक बस नहीं बता सकता है; $t\in (-T, T)$ $x(t)$ $C_X(\tau)$ $T\to \infty$

दो अवधारणाओं के बीच अंतर का एक उदाहरण के रूप में, लगता है कि सभी के लिए विचाराधीन। यहाँ एक यादृच्छिक चर है। यह है प्रत्येक: एक स्थिर प्रक्रिया एक ही वितरण (यानी, के वितरण है ), एक ही मतलब , एक ही विचरण आदि .; प्रत्येक और का एक ही संयुक्त वितरण है (हालांकि यह पतित है) और इसी तरह। लेकिन प्रक्रिया ergodic नहीं है क्योंकि प्रत्येक नमूना पथ एक स्थिर है । विशेष रूप से, यदि प्रयोग का परीक्षण (जैसा कि आपके द्वारा, या किसी श्रेष्ठ व्यक्ति द्वारा किया गया) में परिणाम होता है $X(t) = Y$ $t$ $Y$ $X(t)$ $Y$ $E[X(t)] = E[Y]$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $Y$ का मान , फिर इस प्रयोगात्मक परिणाम से मेल खाती यादृच्छिक प्रक्रिया का नमूना पथ सभी लिए मान , और नमूना पथ का DC मान , न कि , कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कब तक (बल्कि उबाऊ) नमूना पथ का निरीक्षण करते हैं। एक समानांतर ब्रह्मांड में, परीक्षण के परिणामस्वरूप और उस ब्रह्मांड में नमूना पथ में सभी लिए value होगा । इस तरह की तुच्छता को स्थिर प्रक्रियाओं के वर्ग से बाहर करने के लिए गणितीय विशिष्टताओं को लिखना आसान नहीं है, और इसलिए यह एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया का एक बहुत ही न्यूनतम उदाहरण है जो कि क्षीण नहीं है। $\alpha$ $\alpha$ $t$ $\alpha$ $E[X(t)] = E[Y]$ $Y = \beta$ $\beta$ $t$

वहाँ एक यादृच्छिक प्रक्रिया है कि है हो सकता है नहीं स्थिर लेकिन है ergodic? खैर, N0 , नहीं करता है, तो ergodic द्वारा हम हर संभव तरीके से एक में ergodic के बारे में सोच सकते हैं मतलब है: उदाहरण के लिए, हम को मापने यदि अंश समय जिसके दौरान की नमूना पथ एक लंबे खंड के अधिक से अधिक मूल्य नहीं है , इस का एक अच्छा अनुमान है , (सामान्य) का मूल्य CDF की 'पर s यदि प्रक्रिया के लिए asumeed है वितरण कार्यों के संबंध में घृणित होना। लेकिन , हम कर सकते हैं यादृच्छिक प्रक्रियाओं हैं कि है $x(t)$ $\alpha$ $P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$ $F_X$ $X(t)$ $\alpha$ स्थिर नहीं है, लेकिन फिर भी माध्य- वेगोडिक और ऑटोकॉवरियनस -गोरोडिक हैं। उदाहरण के लिए, प्रक्रिया पर विचार जहां चार समान रूप से होने की संभावना मूल्यों पर ले जाता है और । ध्यान दें कि प्रत्येक एक असतत रैंडम वैरिएबल है, जो सामान्य रूप से, चार समान रूप से संभावित मान लेता और , सामान्य और यह देखना आसान है $\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$ $\Theta$ $0, \pi/2, \pi$ $3\pi/2$ $X(t)$ $\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$ $\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$ $X(t)$ $X(s)$ अलग-अलग वितरण होते हैं, और इसलिए प्रक्रिया पहले-क्रम स्थिर भी नहीं होती है। दूसरी ओर, प्रत्येक जबकि संक्षेप में, प्रक्रिया शून्य मतलब है और इसके ऑटो सहसंबंध (और autocovariance) समारोह केवल समय अंतर पर निर्भर करता , और इसलिए प्रक्रिया है

E [X (t)] = \frac{1}{4} \cos (t) + \frac{1}{4} (- \sin (t)) + \frac{1}{4} (- \cos (t)) + \frac{1}{4} \sin (t) = 0

$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$

t

$t$

\begin{aligned} E [X (t) X (s)] & = \frac{1}{4} [\cos (t) \cos (s) + (- \cos (t)) (- \cos (s)) + \sin (t) \sin (s) + (- \sin (t)) (- \sin (s))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (t) \cos (s) + \sin (t) \sin (s)] \\ = \frac{1}{2} \cos (t - s) . \end{aligned}

$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$

t - s

$t-s$ व्यापक अर्थ स्थिर। लेकिन यह प्रथम-क्रम स्थिर नहीं है और इसलिए उच्चतर क्रमों के लिए स्थिर नहीं हो सकता है। अब, जब प्रयोग किया जाता है और का मूल्य ज्ञात होता है, तो हम नमूना फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं जो स्पष्ट रूप से और से एक होना चाहिए, जिसमें DC मान जो बराबर होता है और जिनके autocorrelation समारोह है , के रूप में ही , और इसलिए इस प्रक्रिया है मतलब-ergodic और autocorrelation-ergodic भले ही यह सब पर स्थिर नहीं है। समापन में, मैं कहता हूं कि वितरण समारोह के संबंध में यह प्रक्रिया क्षत-विक्षत नहीं है

Θ

$\Theta$

\pm \cos (t)

$\pm \cos(t)$

\pm \sin (t)

$\pm \sin(t)$

0

$0$

0

$0$

\frac{1}{2} \cos (τ)

$\frac 12 \cos(\tau)$

R_{X} (τ)

$R_X(\tau)$ , वह यह है कि इसे सभी प्रकार से क्षीण नहीं कहा जा सकता है।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

1

मैं उदाहरण नहीं समझ सकता। यदि आप कहते हैं कि Y एक स्थिर है, तो x (t) का कोई भी पथ एक स्थिर है। स्थिरांक का अर्थ स्वयं है, इसलिए E [X (t)] = E [Y] = Y है। जब तक मैं कुछ याद नहीं करता।

— रॉय

मैंने अर्थ स्पष्ट करने के लिए कुछ शब्द जोड़े। एक यादृच्छिक चर है, स्थिर नहीं है। प्रयोग के किसी भी परीक्षण पर इसका मूल्य के समान नहीं होना चाहिए ।

Y

$Y$

E [Y]

$E[Y]$

— दिलीप सरवटे

1

यदि कोई सिग्नल एर्गोडिक है, तो समय औसत पहनावा औसत में परिवर्तित हो जाता है, लेकिन विभिन्न के अलग-अलग साधन हैं क्योंकि प्रक्रिया स्थिर नहीं है, एनसेम्बल औसत की परिभाषा क्या है जिससे समय औसत परिवर्तित हो रहा है?

X

$X$

— दिलीप सरवटे

1

@Matt पुस्तक "संचार प्रणाली" के समाधान में सिमोन हायकिन लिखते हैं कि "एक यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए इसे उन्मूलन करने के लिए एक यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए"

— रॉनी द्वीप

1

@ColinHicks हां, यह मेरे जवाब में एक टाइपो है कि मैं बहुत जल्द सही करूंगा। इसे मेरे ध्यान में लाने के लिए धन्यवाद।

— दिलीप सरवटे

6

आइए एक काल्पनिक यादृच्छिक प्रक्रिया पर विचार करें जहां नमूना फ़ंक्शन डीसी मान हैं और एक दूसरे से अलग हैं:

एक्स ₁ (टी) = स्थिर = एक्स ₁ का मतलब (टी)

एक्स ₂ (टी) = स्थिर = एक्स ₂ का मतलब (टी)

और लौकिक माध्य स्थिर हैं, लेकिन समान नहीं हैं। यदि मेरी प्रक्रिया स्थिर और बराबर है और RVs (दिलीप के उत्तर को देखें) $X_1(t)$ $X_2(t)$ $X(t_1)$ $X(t_2)$

तो पहनावा का मतलब स्थिर है। $X(t)$

यह पहनावा माध्य निश्चित रूप से और के लौकिक माध्य के बराबर नहीं है (वे स्वयं समान नहीं हैं)। यह एक स्थिर लेकिन कहा जा सकता है नहीं एक ergodic प्रक्रिया। $X_1(t)$ $X_2(t)$

इसके विपरीत, जहां एक आरवी है। $X(t)=Acos(\omega t+\theta)$ $\theta$

— सौम्या
स्रोत

2

मुझे आशा है कि यह वीडियो (फ्लोरिडा इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी से)। शीर्षक में "डॉ। इविका कोस्टानिक द्वारा अपने संचार थ्योरी क्लास में विस्तृत अर्थ स्टैशनरी, सख्त अर्थ, इरगोडिक सिग्नल्स" है। 16:55 से आपकी शंकाएं दूर हो सकती हैं।

— user8162
स्रोत

DSP.SE में आपका स्वागत है! मैं आपको सुझाव दूंगा कि किसी दिन वीडियो पर नाम और कुछ विवरण जोड़ दें, क्योंकि किसी दिन वह हटा दिया गया है और लिंक अमान्य है। धन्यवाद।

— lennon310

1

एर्गोडिक प्रक्रिया एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके लिए आप एर्गोडिक माध्य को लौकिक माध्य के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं।

वास्तविक अर्थ, विचरण, आदि ... समय और औसत से अधिक एक प्रक्रिया का पालन करके परिभाषित किए जाते हैं, आदि ... उदाहरण के लिए, यदि आप मेरे आकार का मतलब जानना चाहते हैं, तो आपको इसे तब पैदा करना होगा जब मैं पैदा होता हूं। जब मैं मर जाऊंगा। जाहिर है कि बाद का उदाहरण एक स्थिर प्रक्रिया नहीं है।

एर्गोडिक माध्य होगा यदि समय के साथ मेरे आकार का अनुसरण करने के बजाय, आप समय को फ्रीज करेंगे, और विभिन्न व्यक्तिगत मनुष्यों के नमूने पर माध्य ले लेंगे। इन दोनों साधनों के एक ही होने का कोई कारण नहीं है, इसलिए मेरे आकार की प्रक्रिया क्षीण नहीं है।

यह एक बुरा उदाहरण है, लेकिन यह अधिक महत्वपूर्ण है यदि आप संतुलन के समय गैस के सरल मामले पर विचार करते हैं। उदाहरण के लिए क्षुद्र वेग का अर्थ विख्यात (समय के साथ) होता है, लेकिन अक्सर इसका अर्थ पहनावा के माध्यम से लिया जाता है, जिसका अर्थ होता है : सभी अणुओं के वर्ग वेग का मतलब तात्कालिक पर गैस । $\bar{V^2}$ $\left< V^2 \right>$ $t$

अधिकांश ऊष्मप्रवैगिकी प्रमेयों में का उपयोग करने की आवश्यकता होती है , लेकिन गणना करना और उपयोग करना अधिक आसान होता है । एर्गोडिक परिकल्पना यह कहते हुए परिकल्पना है कि एक को दूसरे के लिए स्थानापन्न करना सही है। एर्गोडिक प्रक्रिया एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके लिए एर्गोडिक परिकल्पना सच है। $\bar{V^2}$ $\left< V^2 \right>$

सामान्य मामले में एर्गोडिक परिकल्पना झूठी है।

— ज्यां यवेस
स्रोत

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मुझे यह उत्तर समझ में नहीं आता है। जोलो के आकार की प्रक्रिया न तो स्थिर होती है और न ही क्षरणीय होती है जबकि ओपी सोच रहा था कि क्या कोई स्थिर प्रक्रिया हो सकती है जो एर्गोडिक न हो। क्या उत्तर अनिवार्य रूप से यह है कि सामान्य तौर पर एर्गोडिक परिकल्पना झूठी है और यह (प्रकार) सार्वभौमिक रूप से सच है कि नमूना का मतलब पहनावा से अलग है, बस इसे करने की आदत है और इसके साथ रहते हैं?

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate: री-रीडिंग के बाद, यह एक बुरा जवाब है जो सवाल का जवाब नहीं देता है, और मैं इसे हटाने पर विचार कर रहा हूं। मैं अपने ऊष्मप्रवैगिकी व्याख्यान याद दिला रहा था, जबकि सवाल आंकड़ों के बारे में अधिक था ...

— जीन-यव्स

@DilipSarwate जोलो का आकार क्या है?

— रॉनी द्वीप

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@MichaelCorleone मुझे याद नहीं है कि जोलो का संदर्भ क्या है। मेरा अनुमान है कि जीन-यवेस ने अपना जवाब नॉम-डे-प्लम जोलो के तहत पोस्ट किया था और मैंने अपने उत्तर में उस नाम का उपयोग किया था, और तब से उसने जीन-यवेस को स्टैटेक्सचेंज पर अपने उपयोगकर्ता नाम के रूप में उपयोग करने का फैसला किया है। इस तरह के नाम परिवर्तन स्क्रीन पर प्रदर्शित होने पर प्रतिबिंबित होते हैं लेकिन उत्तर के संपादन के रूप में दर्ज नहीं किए जाते हैं।

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate: आप वास्तव में सही हैं। जोलो सिर्फ मेरा उपनाम है।

— जीन-यव्स

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विपरीत मामले के उदाहरण के लिए (यानी, एक यादृच्छिक प्रक्रिया जो एर्गोडिक है लेकिन स्थिर नहीं है ), एक सफेद शोर प्रक्रिया पर विचार करें जो एक नियतात्मक वर्ग तरंग द्वारा संशोधित आयाम है। हर नमूना फ़ंक्शन का समय औसत शून्य के बराबर है, जैसा कि हर समय पहनावा औसत है। तो प्रक्रिया ergodic है। हालांकि, किसी भी व्यक्तिगत नमूना फ़ंक्शन का विचरण समय पर मूल वर्ग तरंग निर्भरता को दर्शाता है, इसलिए प्रक्रिया स्थिर नहीं है।

यह विशेष उदाहरण व्यापक अर्थों में स्थिर है, लेकिन एक व्यक्ति संबंधित उदाहरणों को व्यक्त कर सकता है जो अभी भी युगीन नहीं हैं, लेकिन व्यापक अर्थों में भिन्न नहीं हैं।

— प्रो। मार्क
स्रोत

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जैसा कि मैं समझता हूं, नीचे दिए गए उदाहरण एक युगपत और स्थिर प्रक्रिया को दर्शाते हैं

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

मतलब 2 2 2 var 1

क्योंकि हर स्तंभ का माध्य और विचरण समय और माध्य के साथ स्थिर होता है और हर पंक्ति का विचरण समय के साथ स्थिर होता है

— TPArrow
स्रोत