लाप्लास परिवर्तन की सहज व्याख्या

Question

इसलिए मुझे फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ ग्रास मिल रहे हैं। सहज रूप से अब मैं निश्चित रूप से समझता हूं कि यह क्या करता है और जल्द ही गणित पर कुछ कक्षाओं का पालन करेगा (इसलिए वास्तविक विषय)। लेकिन फिर मैं लैपलैस ट्रांसफॉर्म के बारे में पढ़ता हूं और वहां मैं इसे खो देता हूं। सिग्नल का क्षण क्या है? क्यों फूरियर ट्रांसफॉर्म होता है लैपल्स ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला? मैं लाप्लास परिवर्तन के साथ कैसे पकड़ में आ सकता हूं?

Ive ने ये सवाल पूछने से पहले इन स्रोतों को देखा:

सिस्टम की "आवेग प्रतिक्रिया" और "आवृत्ति प्रतिक्रिया" का क्या अर्थ है?

विभिन्न आवृत्ति डोमेन के बीच अंतर कैसे करें?

आयाम बनाम आवृत्ति प्रतिक्रिया

फूरियर रूपांतरण इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Comments

मुझे लगता है कि यह एक अच्छा सवाल है क्योंकि यह विशेष रूप से सहज अवधारणा नहीं है

— PAK-9

Answer 1

यदि आपको फूरियर रूपांतरण की समझ है तो आपके पास संभवतः पहले से ही आवृत्ति डोमेन में संकेतों को बदलने का एक वैचारिक मॉडल है। लैपलैस ट्रांसफॉर्म सिग्नल के एक वैकल्पिक आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व प्रदान करता है - आमतौर पर इसे "एस डोमेन" के रूप में संदर्भित किया जाता है ताकि इसे अन्य आवृत्ति डोमेन ट्रांसफ़ॉर्म से अलग किया जा सके (जैसे कि जेड ट्रांसफ़ॉर्म - जो कि लैपल्स ट्रांसफॉर्म के एक अवरोही बराबर है)।

सिग्नल का क्षण क्या है?

जैसा कि आप कोई संदेह नहीं है कि लाप्लास परिवर्तन हमें क्षणों से एक संकेत का विवरण देता है, इसी तरह फूरियर रूपांतरण हमें चरण और आयाम से विवरण देता है।

मोटे तौर पर एक पल को बोलने पर विचार किया जा सकता है कि कैसे एक सिग्नल के माध्य मान से एक नमूना विचलन करता है - पहला क्षण वास्तव में माध्य है, दूसरा विचरण आदि है ... (इन्हें सामूहिक रूप से "वितरण के क्षण" के रूप में जाना जाता है)

हमारे फ़ंक्शन F (t) को देखते हुए हम n'th क्षण देने के लिए t = 0 पर n'th व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं। जिस तरह एक संकेत को चरण और आयाम का उपयोग करके पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है, उसे इसके सभी व्युत्पत्तियों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है।

क्यों फूरियर ट्रांसफॉर्म होता है लैपल्स ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला?

यदि हम द्विपक्षीय लैपलैस परिवर्तन को देखें:

$${\int_{-\infty}^\infty}e^{-st}f(t)dt$$

यह काफी स्पष्ट होना चाहिए कि एक प्रतिस्थापन $s=i\omega$ परिचित फूरियर रूपांतरण समीकरण उत्पन्न करेगा:

$${\int_{-\infty}^\infty}e^{-i\omega t}f(t)dt$$

इस संबंध के बारे में कुछ नोट हैं ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) लेकिन गणित काफी पारदर्शी होना चाहिए।

Comments

मैं यह नहीं देखता कि लैप्लस ट्रांसफ़र "अपने क्षणों से संकेत का विवरण" कैसे है। मैं चीजों के इस दृष्टिकोण को जानकर खुश हूं।

— रॉय

दिलचस्प है, आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! विशेष रूप से एक पल के बारे में स्पष्टीकरण जो Ive अब तक पढ़े जाने की तुलना में बहुत अधिक स्पष्ट है। S और फ़्रीक्वेंसी डोमेन में इंटीग्रल कैसे होता है, यह अभी भी मेरे लिए अपारदर्शी है, लेकिन फ़ॉयर कैसे लैप्लस का सबसेट है, यह अभी स्पष्ट है। धन्यवाद

— लियो

Answer 2

क्यों फूरियर ट्रांसफॉर्म होता है लैपल्स ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला?

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म कॉम्प्लेक्स वैल्यूज़ की 2 डी सतह तैयार करता है, जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म कॉम्प्लेक्स वैल्यूज़ की 1 डी लाइन तैयार करता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म वही है जो आपको मिलता है जब आप लैप्लस को जे-एक्सिस में बदल देते हैं। उदाहरण के लिए, एक साधारण लोअर फ़िल्टर$H(s)=\frac{1}{s+1}$ मूल के बाईं ओर S समतल में एक एकल ध्रुव है:

ओर से देखने पर, इस लाप्लास का परिमाण एक सतह का निर्माण करता है, ध्रुव एक तम्बू के ध्रुव की तरह काम करता है, जो उस बिंदु पर अनंतता के आयाम को बढ़ाता है (और अनंत पर एक निहित शून्य जो आयाम को शून्य से दूर की ओर गिराता है। मूल आपको किसी भी दिशा में मिलता है):

यदि आप अब केवल only अक्ष के साथ सतह का मान लेते हैं, तो यह फूरियर रूपांतरण है। यह ऊपर की छवि में लाल वक्र है, जिसे आप फ़ोरम फ़िल्टर कर सकते हैं। यदि आप पोल को मूल से दूर ले जाते हैं, तो तम्बू एक ही दिशा में चले जाते हैं, और j both अक्ष के साथ स्लाइस, दोनों लाभ को कम कर देगा (जिसे हम समग्र लाभ जोड़कर क्षतिपूर्ति करते हैं) और कटऑफ़ आवृत्ति बढ़ जाती है। मैं इस तरह से सामान के कुछ एनिमेशन बनाने के लिए अर्थ ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

Answer 3

मैंने कभी देखा है लाप्लास परिवर्तन का सबसे अच्छा सहज वर्णन :

पहली नज़र में, यह दिखाई देगा कि लैपल्स ट्रांसफॉर्म की रणनीति फूरियर ट्रांसफॉर्म के समान है: तरंग को विघटित करने के लिए आधार कार्यों के एक सेट के साथ समय डोमेन सिग्नल को सहसंबंधित करें। सच नहीं! भले ही गणित बहुत अधिक हो, दोनों तकनीकों के पीछे तर्क बहुत अलग है।

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म को सिस्टम के आवेग प्रतिक्रिया को विभिन्न घातीय क्षयकारी साइनसोइड्स के साथ जांच के रूप में देखा जा सकता है। रद्दी तरंगों की जांच करने वाले रद्दीकरण को ध्रुव और शून्य कहते हैं।

यह हमें हर के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया का वर्णन करने के बजाय अनुमति देता है $\omega$ सुविधा बिंदुओं के एक छोटे सेट का उपयोग करें जो अन्य सभी बिंदुओं में एक प्रणाली के व्यवहार को निर्धारित करता है (के भाग सहित) $s$-विमान $s=j\omega$ जो एक आवृत्ति प्रतिक्रिया है)।

पुस्तक में इसके लिए एक अच्छा सादृश्य है:

अब, इस बारे में सोचें कि आप कंडक्टर की तुलना में ट्रेन मार्ग के साथ ऊंचाई और दूरी के बीच के रिश्ते को कैसे समझते हैं। चूंकि आपने सीधे रास्ते के साथ ऊंचाई को मापा है, आप सही तरीके से दावा कर सकते हैं कि आप रिश्ते के बारे में सब कुछ जानते हैं। इसकी तुलना में, कंडक्टर इसे पूरी तरह से जानता है, लेकिन सरल और अधिक सहज रूप में: पहाड़ियों और घाटियों का स्थान जो मार्ग के साथ डिप्स और कूबड़ का कारण बनता है। जबकि सिग्नल के आपके विवरण में हजारों व्यक्तिगत माप शामिल हो सकते हैं, सिग्नल के कंडक्टर के विवरण में केवल कुछ पैरामीटर होंगे।

Comments

यह एक उपयोगी लिंक है, लेकिन यह बहुत अच्छा होगा यदि आप इसके बारे में कुछ विवरण जोड़ते हैं कि यह वास्तव में क्या है जो आपको उस दस्तावेज़ में सहज लगता है। लिंक-केवल उत्तर आमतौर पर यहां हतोत्साहित किए जाते हैं।

— मैट एल।

DSP.SE में आपका स्वागत है! सिस्टम ने इसे कम गुणवत्ता वाले उत्तर के रूप में चिह्नित किया है। कृपया मैट एल। के रूप में सुझाव दें और बताएं कि लिंक पर विवरण क्या है।

— पीटर के.एच.