क्या बिलिनियर परिवर्तन के विकल्प हैं?

एनालॉग फ़िल्टर के आधार पर डिजिटल फ़िल्टर डिजाइन करते समय हम आमतौर पर बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करते हैं । एक असतत स्थानांतरण फ़ंक्शन को एनालॉग (निरंतर) स्थानांतरण फ़ंक्शन से अनुमानित करने के लिए हम स्थानापन्न करते हैं $D_a(z)$ $A(s)$

z = \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2}

$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$

जहाँ नमूना अवधि है। वैकल्पिक रूप से, असतत हस्तांतरण फ़ंक्शन से एक निरंतर स्थानांतरण फ़ंक्शन को अनुमानित करने के लिए हम स्थानापन्न करते हैं $T$ $A_a(s)$ $D(z)$

s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}

$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

क्या ऐसे रूपांतरण करने के वैकल्पिक तरीके हैं? क्या बेहतर अनुमान हैं?

continuous-signals discrete-signals transfer-function

— phonon
स्रोत

एनालॉग फिल्टर स्थिर होते हैं यदि पोल एस-प्लेन (बाईं ओर की आकृति) के बाएं आधे भाग में होते हैं और डिजिटल फिल्टर स्थिर होते हैं यदि पोल यूनिट सर्कल (दाईं ओर आंकड़ा) के अंदर होते हैं। तो गणितीय रूप से सभी को एनालॉग से डिजिटल में बदलने की आवश्यकता होती है, एक डिस्क मैपिंग (अनुरूप) इकाई डिस्क के आधे स्थान से और अक्ष से इकाई सर्कल । कोई भी परिवर्तन जो ऐसा करता है वह द्विपक्षीय परिवर्तन का विकल्प होने के लिए एक संभावित उम्मीदवार है। $\jmath\Omega$ $\vert z\vert=1$

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अच्छी तरह से ज्ञात विधियों में से दो आवेग Invariance विधि और मिलान Z- परिवर्तन विधि हैं । वैचारिक रूप से, ये दोनों एक सतत तरंग के नमूने के समान हैं जिनसे हम परिचित हैं। व्युत्क्रम लाप्लास को बदलना और को रूप में बदलना , इन दोनों विधियों में एनालॉग फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया की गणना करना शामिल है $\mathcal{L}^{-1}$ $\mathcal{Z}$

a (t) = L^{- 1} {A (s)}

$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$

और नमूना एक नमूना अंतराल पर उच्च पर्याप्त है कि बचने अलियासिंग के रूप में तो। डिजिटल फिल्टर के हस्तांतरण समारोह तो नमूना अनुक्रम से प्राप्त होता है के रूप में $a(t)$ $T$ $a[n]$

D_{a} (z) = Z {a [n]}

$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$

हालांकि, दोनों के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं।

आवेग आवेग विधि:

इस विधि में, आप आंशिक हस्तांतरण के रूप में एनालॉग ट्रांसफर फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं ( पीटर द्वारा उल्लिखित ज़ेड ट्रांसफॉर्मेशन में नहीं )

A (s) = \sum_{m} \frac{C_{m}}{s - α_{m}}

$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$

जहां कुछ स्थिर है और ध्रुव हैं। गणितीय रूप से, हर के अंश से कम अंश वाले किसी भी हस्तांतरण समारोह को आंशिक अंशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । केवल निम्न-पास फ़िल्टर इस मानदंड को पूरा करते हैं (उच्च-पास और बैंडपास / बैंडस्टॉप में कम से कम एक ही डिग्री होती है), और इसलिए आवेग संबंधी अपरिवर्तनीय विधि का उपयोग अन्य फ़िल्टर को डिज़ाइन करने के लिए नहीं किया जा सकता है। $C_m$ $\alpha_m$

यह असफल क्यों होता है इसका कारण भी काफी स्पष्ट है। यदि आपके पास भाजक के समान अंश के अंश में एक बहुपद होता है, तो आपके पास एक मुक्त स्थायी स्थिर पद होगा, जो उलटा रूपांतरित होने पर, एक डेल्टा फ़ंक्शन देगा, जिसे नमूना नहीं किया जा सकता है।

यदि आप व्युत्क्रम लाप्लास को आगे बढ़ाते हैं और Z ट्रांसफॉर्म करते हैं, तो आप देखेंगे कि पोल रूप में परिवर्तित हो गए हैं, जिसका अर्थ है कि यदि आपका एनालॉग फ़िल्टर स्थिर है, तो डिजिटल फ़िल्टर भी स्थिर होगा। इसलिए यह फिल्टर की स्थिरता को बरकरार रखता है। $\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Z- परिवर्तन का मिलान किया

इस विधि में, बजाय बंटवारे आंशिक भिन्न के रूप में आवेग प्रतिक्रिया की है, तो आप एक सरल एक समान तरीके से (मिलान) के रूप में दोनों में डंडे और शून्य का परिणत करना और ( भी स्थिरता संरक्षण), दे रही है $\beta_m\to e^{\beta_m T}$ $\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

A (s) = \frac{\prod_{m} (s - β_{m})}{\prod_{n} (s - α_{n})} ⟶ \frac{\prod_{m} (1 - z^{- 1} e^{β_{m} T})}{\prod_{n} (1 - z^{- 1} e^{α_{n} T})}

$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$

आप इन दोनों तरीकों की सीमा आसानी से देख सकते हैं। आवेग अपरिवर्तनीय केवल तभी लागू होता है जब आपका फ़िल्टर कम पास और मिलान किया गया z- परिवर्तन विधि बैंडस्टॉप और बैंडपास फ़िल्टर (और Nyquist आवृत्ति तक उच्च पास) पर लागू होता है। वे नमूना दर द्वारा अभ्यास में भी सीमित हैं (आखिरकार, आप केवल एक निश्चित बिंदु तक जा सकते हैं) और अलियासिंग के प्रभाव से पीड़ित हैं।

बिलिनियर परिवर्तन व्यवहार में अब तक का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका है और उपरोक्त दो अकादमिक हितों के लिए अधिक हैं। एनालॉग में वापस रूपांतरण के लिए, मुझे खेद है लेकिन मुझे नहीं पता है और वहां बहुत मदद नहीं कर सकता क्योंकि मैं शायद ही कभी एनालॉग फिल्टर का उपयोग करता हूं।

— लोरम इप्सम
स्रोत

वाह वाह ..... यह सबसे अच्छा स्पष्टीकरण है जो मैंने इस विषय पर देखा है। शेयर करने के लिए बहुत बहुत शुक्रिया। सुन्दर कार्य।

मैचेड z ट्रांसफॉर्मेशन Bessel फिल्टर्स के लिए बेहतर है क्योंकि Bessel फिल्टर्स की महत्वपूर्ण विशेषता उनका फ्लैट ग्रुप डिले है, न कि उनकी फ्रिक्वेंसी रिस्पांस

— Endolith

$s$ $z$

कुछ उदाहरण निम्न हैं:

मैचेड जेड-ट्रांसफॉर्म

$s$

Y (s) = \frac{a_{0}}{s + s_{0}} + \frac{a_{1}}{s + s_{1}} + . . .

$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$

और आंशिक अंश विस्तार के प्रत्येक भाग का रूपांतरण सीधे उपयोग करके किया जाता है:

s + s_{n} = 1 - z^{- 1} \exp (- s_{n} T)

$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$

सिम्पसन का नियम

बिलिनियर ट्रांसफॉर्म की एक व्याख्या यह है कि यह ट्रैपेज़ोइडल नियम का उपयोग करते हुए अनुमानित एकीकरण से निरंतर असतत समय में बदलने का एक तरीका है ।

अनुमानित एकीकरण के लिए एक अधिक सटीक तकनीक सिम्पसन के नियम का उपयोग करती है। यदि इस सन्निकटन का उपयोग किया जाता है तो परिणामस्वरूप मानचित्रण होता है:

s = \frac{3}{T} \frac{z^{2} - 1}{z^{2} + 4 z + 1}

$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$

— पीटर के।
स्रोत

सिम्पसन का नियम, अनिवार्य रूप से द्विघात प्रक्षेप (जहां ट्रैपेज़ॉइडल नियम रैखिक है)?

— पीटर मोर्टेनसेन

@ पेटर मोर्टेनसेन: हाँ, बहुत ज्यादा!

— पीटर के.एच.

क्या आपका मिलान Z लोरम इप्सम से अलग है? मुझे कहीं और आंशिक आंशिक अपघटन नहीं दिखता है।

— एंडोलिथ

@endolith मेरे उत्तर में विकिपीडिया लिंक देखें। वहीं से मुझे मिला है। Lor मैंने लोरेम से पहले उत्तर दिया, और इसे संपादित नहीं किया है।

— पीटर के.एच.