एक समारोह के नमूने से टेलर श्रृंखला गुणांक का अनुमान है

Question

कहो कि मेरे पास एक फ़ंक्शन का माप है $y = y(x)$, कुछ शोर के साथ नमूना , जो कि एक टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। क्या मेरे माप से उस विस्तार के लिए गुणांक का आकलन करने का एक स्वीकृत तरीका है?$x_i$

मैं डेटा को एक बहुपद के लिए फिट कर सकता था, लेकिन यह बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि एक टेलर श्रृंखला के लिए सन्निकटन बेहतर होना चाहिए कि आप एक केंद्रीय बिंदु के करीब हैं, x = 0. बस एक बहुपद व्यवहार करने के लिए हर बिंदु को समान रूप से फिट करता है।

मैं विस्तार के अपने बिंदु पर डेरिवेटिव के विभिन्न आदेशों का भी अनुमान लगा सकता हूं, लेकिन फिर मुझे इस बारे में निर्णय लेने की आवश्यकता है कि प्रत्येक के लिए कितने विभेदन फिल्टर और कितने फ़िल्टर गुणांक का उपयोग करना है। क्या विभिन्न व्युत्पन्न के लिए फ़िल्टर किसी भी तरह एक साथ फिट करने की आवश्यकता होगी?

तो क्या किसी को इसके लिए स्थापित तरीकों का पता है? कागजात के स्पष्टीकरण या संदर्भ की सराहना की जाएगी।

स्पष्टीकरण

नीचे टिप्पणी के जवाब में, मेरा नमूना एक अनंत कार्य से एक आयताकार खिड़की है, जो जरूरी नहीं कि बैंड-सीमित है, लेकिन मजबूत उच्च आवृत्ति घटक नहीं है। अधिक विशिष्ट होने के लिए, मैं अनुमानक के पैरामीटर (अंतर्निहित ऊतक के विरूपण या तनाव के स्तर) के एक फ़ंक्शन के रूप में एक अनुमानक के विचरण (एक चिकित्सा अल्ट्रासाउंड सिग्नल में विस्थापन को मापता हूं) को माप रहा हूं। मेरे पास विरूपण के एक समारोह के रूप में विचरण के लिए एक सैद्धांतिक टेलर श्रृंखला है, और मैं इसकी तुलना अनुकरण से प्राप्त करने के लिए करना चाहूंगा।

एक समान खिलौना उदाहरण हो सकता है: मान लें कि आपके पास ln (x) की तरह एक फ़ंक्शन है, जो कुछ शोर के साथ x में अंतराल पर नमूना है। आप नहीं जानते कि यह वास्तव में क्या कार्य करता है और आप इसकी टेलर श्रृंखला का x = 5 के आसपास अनुमान लगाना चाहते हैं। तो फ़ंक्शन सुचारू रूप से और धीरे-धीरे एक क्षेत्र के लिए अलग-अलग होता है, जिसमें आप रुचि रखते हैं (2 <x <8) कह सकते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि क्षेत्र के बाहर अच्छा हो।

उत्तर मददगार रहे हैं, और कुछ प्रकार के कम से कम वर्ग बहुपद फिट शायद लेने का मार्ग है। एक सामान्य बहुपद फिट से अलग एक अनुमानित टेलर श्रृंखला क्या होगी, हालांकि, यह है कि आपको उच्च-क्रम की शर्तों से दाढ़ी बनाने में सक्षम होना चाहिए, और बहुपद अभी भी मूल फ़ंक्शन को अनुमानित करता है, बस इसके प्रारंभिक बिंदु के बारे में एक छोटी सी सीमा के भीतर।

तो शायद दृष्टिकोण प्रारंभिक बिंदु के करीब केवल डेटा का उपयोग करके एक रैखिक बहुपद फिट करने के लिए होगा, इसके बाद थोड़ा और अधिक डेटा के साथ एक द्विघात फिट होगा, क्यूबिक उससे थोड़ा अधिक का उपयोग कर, आदि।

Comments

कुछ प्रश्न (जो प्रासंगिक हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं): नमूना द्वारा, क्या आपका मतलब है कि फ़ंक्शन कुछ एफएस / 2 आवृत्ति के नीचे बैंड-सीमित था? क्या आपके नमूने एक अनंत फ़ंक्शन, दोहराए जाने वाले फ़ंक्शन या पूर्ण फ़ंक्शन के आयताकार विंडो हैं?

— hotpaw2

जैसे दिलीप ने अपने जवाब में कहा, टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करने के लिए आपको सभी नमूना बिंदुओं पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्ञान होना चाहिए। मुझे लगता है कि आप डेरिवेटिव के लिए अपनी सैद्धांतिक अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं$y(x)$, लेकिन यह कि आपके सिद्धांत की पुष्टि करने के लिए एक स्वतंत्र सिमुलेशन का उपयोग करने की उपयोगिता कुछ हद तक कम हो जाती है। उच्च-क्रम की शर्तों के संबंध में टेलर श्रृंखला के व्यवहारकर्ता का सबसे अच्छा अनुकरण करने के लिए, आपने जो सुझाव दिया, जैसे दृष्टिकोण बहुपद फिट के विभिन्न आदेशों का उपयोग करके उपयोगी हो सकता है।

— जेसन आर

Answer 1

सटीक बहुपद फिटिंग के बजाय, आप एक न्यूनतम-वर्ग फिट का उपयोग कर सकते हैं , जो कि निर्दिष्ट क्रम के बहुपद का पता लगाएगा जो कि फिट और मापा के बीच कुल चुकता त्रुटि को कम करता है।$(x_i,y_i)$जोड़े। यह फिट पर शोर के प्रभाव को कम करने में मदद कर सकता है।

दिए गए माप $y_i$ एक समारोह की $y = f(x)$ डोमेन मूल्यों पर $x_i$ ($i = 0, 1, \ldots , N$), एक बहुपद क्रम चुनें $M \le N$ (अगर $M = N$, तो आप सटीक बहुपद फिटिंग के लिए नीचे हैं, के रूप में $N$ अंक विशिष्ट रूप से एक निर्धारित करते हैं $M$वें आदेश बहुपद)। फिर, समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित करें जो वांछित बहुपद गुणांक में रैखिक हैं$p_k$:

$$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$$

मैट्रिक्स-सदिश रूप में मापों की व्यवस्था करके कम से कम वर्गों की समस्या को हल किया जा सकता है:

$$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$$

सबसे कम-वर्ग समाधान बहुपद गुणांक के वेक्टर को उत्पन्न करता है$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$उपरोक्त रैखिक प्रणाली में कुल चुकता त्रुटि को कम करता है। समाधान की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$$

यह ध्यान देने योग्य है कि मैट्रिक्स $(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$मैट्रिक्स के छद्म बिंदु के रूप में भी जाना जाता है$\mathbf{A}$। फिर आप कम से कम वर्ग बहुपद गुणांक वेक्टर का उपयोग कर सकते हैं$\mathbf{\tilde p}$ किसी अन्य पर बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए $x$ मूल्य जो आप चाहते हैं।

Comments

समान रूप से अनुपस्थित के मामले में, यह आपके डेटा पर सविट्ज़की-गोलय स्मूदी लगाने से अलग नहीं है।

एक अच्छा जवाब के लिए प्लस 1। LSE वास्तव में बहुत सर्वव्यापी है।

— तरिन ज़ियाई

Answer 2

अभी के लिए शोर को अनदेखा करें।

दिया हुआ $n+1$ अंक $(x_i,y_i)$ जहां $x_i$ विशिष्ट संख्याएँ हैं, जैसा कि आप कह सकते हैं, एक बहुपद फिट है $f(x)$ अधिकतम डिग्री $n$इन बिंदुओं के माध्यम से। उदाहरण के लिए, लैग्रेंज प्रक्षेप, इसके लिए एक मानक विधि है। लेकिन, यह माना जाता है कि अंक वास्तव में एक वक्र पर हैं$y=g(x)$ कहाँ पे $g(x)$ जरूरी नहीं कि एक बहुपद हो (जैसे, यह हो सकता है $e^x$ या $(x+a)/(x+b)$ आदि) और आप इस समारोह के लिए टेलर श्रृंखला खोजना चाहेंगे $g(x)$। खैर, के लिए टेलर श्रृंखला विकसित करना $g(x)$ आसपास के क्षेत्र में $x=0$, कहते हैं, के मूल्य के ज्ञान की आवश्यकता है $g(0)$साथ ही डेरिवेटिव के मूल्यों $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ पर $x=0$, जबकि वह सब ज्ञात है जिसका मूल्य है $g(x)$ पर $n+1$ अंक $x_i$। भले ही $x_i = 0$ कुछ के लिए $i$ ताकि $g(0)$ज्ञात है, यह अनुमान लगाना अभी भी आवश्यक है $g^{(k)}(0)$ के लिये $k=1, 2, \ldots$

किसी फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के मूल्य का अनुमान लगाना $g(x)$ पर $x=0$ इसके मूल्यों से $g(x_i)$चयनित बिंदुओं पर संख्यात्मक विश्लेषण में एक अच्छी तरह से अध्ययन समस्या है, और उपयोग किए जाने वाले सूत्र आसानी से उपलब्ध हैं। क्या है नहीं विस्तार से वर्णन किया, या अधिक सामान्यतः, इन सूत्रों के आसपास के क्षेत्र में बिल्कुल उल्लेख नहीं किया, कि इन सूत्रों से प्राप्त कर रहे हैं है एक बहुपद फिटिंग$h(x)=\sum_k h_kx^k$ ज्ञात बिंदुओं और आकलन करने के लिए $g^{(k)}(0)$ जैसा $h^{(k)}(0) = k!h_k$। दूसरे तरीके से रखो,

से $n+1$ अंक $(x_i,g(x_i))$ का $g(x)$, हम टेलर श्रृंखला विकसित कर सकते हैं $g(x)$ केवल डिग्री की अवधि तक $n$, और फटी टेलर श्रृंखला बस है $h(x)$, जिस बहुपद को फिट किया गया था $n+1$ अंक।

तो, बहुपद फिटिंग का क्या मतलब है? मानक फिट लैगरेंज प्रक्षेप है जो शोर, अंक होने पर अच्छी तरह से काम करता है$x_i$ समान रूप से दूरी पर हैं, और $0$ का औसत मूल्य है $x_i$। यदि शोर मौजूद है, तो डिग्री के बहुपद का एक न्यूनतम वर्ग फिट होता है$m < n$ ( जेसन द्वारा जवाब देखें विवरण के लिए देखें) अक्सर बेहतर होता है, और यदि हम इसके आसपास के क्षेत्र में सटीकता पर जोर देना चाहते हैं$x=0$, एक भारित -कम-वर्ग फिट का उपयोग किया जा सकता है। के आसपास के क्षेत्र में बिंदुओं से त्रुटि शब्दों को भारित करना$0$ दूर से त्रुटि शब्दों से अधिक न्यूनतम एल्गोरिथ्म के पास एक बेहतर फिट का उत्पादन करने के लिए मजबूर करता है $0$ दूर से गरीब सटीकता की कीमत पर $0$। बेशक, किसी को अलग-अलग वेटिंग (या वेटिंग) पसंद करने वाले naysayers के खिलाफ वेटिंग फंक्शन के विकल्प का भी बचाव करना होता है।

उदाहरण: दिया गया$3$ अंक $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$, the Lagrange interpolation formula gives

$$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$$ where the coefficients of $x$ and $x^2$ are the "three-point" formulas for the first and second derivative as given in Table 25.2 of Abramowitz and Stegun's Handbook of Mathematical Functions, that is, the Lagrange interpolation formula is the truncated Taylor series for a function $g(x)$ ऐसा है कि $g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$।