2 स्थानिक संकेतों के सहसंयोजक मैट्रिक्स पर प्रश्न

हर बार जब मुझे लगता है कि मैंने सहसंयोजक मैट्रिक्स को समझ लिया है, कोई और एक अलग सूत्रीकरण करता है।

मैं वर्तमान में इस पत्र को पढ़ रहा हूं:

जे। बेनेस्टी, "निष्क्रिय ध्वनिक स्रोत स्थानीयकरण के लिए अनुकूली प्रतिजन विघटन एल्गोरिथ्म" , जे। एकैवे। समाज। Am। वॉल्यूम 107 , अंक 1, पीपी। 384-391 (2000)

और मैं एक ऐसे सूत्र के रूप में आया हूं जो मुझे बिल्कुल समझ में नहीं आता है। यहाँ, लेखक दो संकेतों, और बीच सहसंयोजक मैट्रिक्स का निर्माण कर । वे दो सिग्नल अलग-अलग सेंसर से हैं। $x_1$ $x_2$

एक संकेत के सहसंयोजक मैट्रिक्स के लिए, मुझे पता है कि हम इसे प्रतिगमन मैट्रिक्स की गणना करके प्राप्त कर सकते हैं, और फिर इसे उसी मैट्रिक्स के हर्मिटियन द्वारा गुणा कर सकते हैं, और द्वारा विभाजित , मूल वेक्टर की लंबाई। यहां के सहसंयोजक मैट्रिक्स का आकार मनमाना हो सकता है, जिसका अधिकतम आकार । $N$ $N\times N$

दो स्थानिक संकेतों के सहसंयोजक मैट्रिक्स के लिए, यदि हम पहली सिग्नल को पहली पंक्ति में और दूसरी सिग्नल को एक मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में रखते हैं, तो उसके हर्मिटियन द्वारा गुणा करें, और द्वारा भी विभाजित करें , तो हमें एक _ प्राप्त होता है। दोनों स्थानिक संकेतों के सहसंयोजक मैट्रिक्स। $N$ $2\times 2$

हालाँकि, इस पत्र में, लेखक यह गणना करता है कि चार मैट्रिक, , और , , और फिर उन्हें एक सुपर मैट्रिक्स में डालते हैं और कहते हैं कि सहसंयोजक मैट्रिक्स । $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ $R_2{}_2$

ऐसा क्यों है? यहाँ पाठ की एक छवि है:

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covariance

— स्पेसी
स्रोत

यदि आपके पास तत्वों में से प्रत्येक में दो सिग्नल वैक्टर और हैं, तो दो अलग-अलग चीजें हैं जिन पर हम विचार कर सकते हैं। $x_1[n]$ $x_2[n]$ $N$

मात्रा तुलना कैसे करें? विशेष रूप से, जब संकेत शोर होते हैं और शोरों को संयुक्त रूप से स्थिर (या संयुक्त रूप से व्यापक-अर्थ स्थिर) माना जा सकता है , इन राशियों का उपयोग दो संकेतों के साथ-साथ शोरों के सह-प्रसार पर शोर भिन्नताओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है । किसी भी निश्चित नमूने समय। यह वह है जो आपको covariance मैट्रिक्स शोर में विचरण जो इससे भिन्न हो सकता है $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$ $2\times 2$
$R_{2 \times 2} = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & C \\ C & σ_{2}^{2} \end{matrix}] .$ $R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$ $x_1[n]$ $\sigma_1^2 = R_{1,1}$ $R_{2,2} = \sigma_2^2$ , शोर का विचरण । लेकिन शोर सहसंयोजक साथ सहसंबद्ध हैं । अब, यदि हम पर होने वाली चीजों के साथ योजना बनाते हैं, तो या आदि पर जो कुछ भी हो रहा है, उसे अनदेखा कर सकते हैं , तो यह वह सारी जानकारी है जिसकी हमें आवश्यकता है। $x_2[n]$ $R_{1.2}=R_{2,1} = C$ $n$ $n-1$ $n+1$
जब तक कि शोर को सफेद शोर के रूप में नहीं जाना जाता है (या माना जाता है) ताकि विभिन्न नमूने वाले इंस्टेंट से शोर के नमूने स्वतंत्र हों (और इसलिए असंबंधित) या हम केवल असंबद्ध शोर के नमूने मान लेते हैं, ऐसी जानकारी है जिसे हम सहसंबंध पर विचार करके अनदेखा कर रहे हैं के बीच और , अलग अलग समय या स्थानों पर एक ही प्रक्रिया है, और के बीच संबंध से नमूने और , अलग अलग समय या स्थानों पर दो प्रक्रियाओं से नमूने। यह अतिरिक्त जानकारी एक बेहतर अनुमान / समाधान का कारण बन सकती है। अब हमारे पास कुल शोर नमूने हैं, और इसलिए $x_1[n]$ $x_1[m]$ $x_1[n]$ $x_2[m]$ $2N$ $2N \times 2N$ विचार करने के लिए सहसंयोजक मैट्रिक्स। यदि हम लेखकों द्वारा किए गए मामलों को व्यवस्थित करते हैं, तो हमारे पास जहां और इसलिए जहाँ । ध्यान दें कि है, संक्षेप में, और का क्रॉस-सहसंबंध समारोह यदि $R_{\text{full}} = E[XX^T]$
$X = (x_{1} [1], x_{1} [2], \dots, x_{1} [N], x_{2} [1], x_{2} [2], \dots, x_{2} [N])^{T} = (x_{1}, x_{2})^{T}$ $X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$ $R_{full} = [\begin{matrix} R_{x_{1}, x_{1}} & R_{x_{1}, x_{2}} \\ R_{x_{2}, x_{1}} & R_{x_{2}, x_{2}} \end{matrix}]$ $R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$ $(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ $(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$ $i \neq j$ और autocorrelation फ़ंक्शन यदि । यदि अलावा शोर प्रक्रियाएँ सफेद और असंबंधित हैं , तो जहां है पहचान मैट्रिक्स, और और के रूप में ऊपर आइटम 1 में परिभाषित कर रहे हैं। यह शोर मॉडल कितना यथार्थवादी हो सकता है यह निर्धारित करने के लिए अंतिम उपयोगकर्ता के लिए कुछ है। तो मॉडल है यथार्थवादी है, तो कुछ भी नहीं है पर देख द्वारा प्राप्त की है मैट्रिक्स $i = j$ $n = m$ $R_{full} \to R_{simple} = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} I & C I \\ C I & σ_{2}^{2} I \end{matrix}]$ $R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$ $I$ $N\times N$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ $C$ $2N\times 2N$ $R_{\text{full}}$ चूँकि सभी जानकारी उपरोक्त आइटम 1 के मैट्रिक्स में है। Ditto यदि मॉडल अवास्तविक है, लेकिन हम पूर्ण मैट्रिक्स में सभी सूचनाओं का उपयोग नहीं करते (या करने में असमर्थ हैं) ; हम केवल और के भाग 1 के साथ करेंगे, जिसके लिए हमें या , बस । $2\times 2$ $R_{2\times 2}$ $2N\times 2N$ $R_{\text{full}}$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ $C$ $R_{\text{full}}$ $R_{\text{simple}}$ $R_{2\times 2}$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

धन्यवाद। पहले, (1) में n = 0 से N-1 के लिए सिग्मा नहीं होना चाहिए? (I = 1 से n तक नहीं)।

— २३:३२ पर स्पेसी

मुझे यकीन नहीं है कि मैं अभी भी समझता हूं कि हम इस तरह से क्या / क्यों कर रहे हैं। क्या आप कह रहे हैं कि (1) के लिए, क्योंकि दोनों वैक्टर में शोर एक दूसरे से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं, हमें उस पद्धति का उपयोग करना होगा, और इस तरह 2x2 सह-विचरण मैट्रिक्स प्राप्त होगा, लेकिन दूसरे मामले में (2) वैक्टर में शोर स्वतंत्र नहीं हैं, हमें दोनों वैक्टर को मिलाना होगा और फिर उनके सह-विचरण मैट्रिक्स की गणना करनी होगी? ऐसा क्यों? मुझे डर है कि मैं अभी भी यहाँ की प्रेरणा को नहीं समझ पा रहा हूँ ...

— Spacey

धन्यवाद मैं इसे फिर से पढ़ूंगा। इसके अलावा, सिग्मा के लिए सबस्क्रिप्ट 'एन' होना चाहिए, 'आई' नहीं।

— अंतरिक्ष

मैं कल कुछ और प्रश्न / टिप्पणियाँ , लेकिन अभी के लिए, , और के 'आधिकारिक' नाम क्या हैं ? मैं कल्पना नहीं कर सकता कि वे सभी 'सह-विचरण मैट्रिक्स' कहलाते हैं, क्योंकि इससे भ्रम पैदा होता है, (जैसा कि इस प्रश्न के लिए मुख्य प्रेरणा था)। उन्हें सामान्य रूप से क्या कहा जाता है?

R_{2}_{x}_{2}, R_{full}

$R_2{}_x{}_2, R_{\text{full}}$

R_{simple}

$R_{\text{simple}}$

— स्पेसी

1) "को संयुक्त रूप से स्थिर (या संयुक्त रूप से व्यापक-अर्थ स्थिर) माना जा सकता है", क्या आपका मतलब है अगर और दोनों स्वतंत्र हैं? 2) "किसी भी सैंपलिंग के समय दो सिग्नल्स के शोर के साथ-साथ शोरों के कोरिअरेन्स का भी अनुमान लगाएं।" यहाँ 'किसी भी सैंपल सैंपलिंग के समय' का क्या मतलब है? 2x2 की गणना करने के लिए, हम दोनों संकेतों के सभी समय के नमूनों का उपयोग कर रहे हैं ... 3) "अब हमारे पास कुल 2N शोर नमूने हैं," मुझे लगता है कि मुझे यह समझ में नहीं आता है कि हम 'सही' से समझ सकते हैं कि हम केवल दो स्थानिक समवर्ती कर सकते हैं इस तरह के संकेत। हमें ऐसा करने की 'अनुमति' क्यों है?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

— स्पेसी