पावर वर्णक्रमीय घनत्व बनाम ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व

Question

मैं विकिपीडिया पर निम्नलिखित पढ़ता हूँ :

बिजली की वर्णक्रमीय घनत्व:

ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व की उपरोक्त परिभाषा संक्रमणों यानी पल्स-जैसे संकेतों के लिए सबसे उपयुक्त है, जिसके लिए संकेतों के फूरियर रूपांतरण मौजूद हैं । उदाहरण के लिए, स्थिर भौतिक प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले निरंतर संकेतों के लिए, एक पावर वर्णक्रमीय घनत्व (पीएसडी) को परिभाषित करने के लिए यह अधिक समझ में आता है, जो बताता है कि सिग्नल या समय श्रृंखला की शक्ति अलग-अलग आवृत्तियों पर कैसे वितरित की जाती है, जैसे कि सरल उदाहरण में पहले दिया गया।

मैं उस पैराग्राफ को काफी नहीं समझता। पहला भाग कहता है कि " कुछ संकेतों के लिए .. फूरियर रूपांतरण मौजूद नहीं है "।

• किन संकेतों के लिए (जिस संदर्भ में हम चर्चा कर रहे हैं) क्या फूरियर रूपांतरण मौजूद नहीं है, और इसलिए हमें ऊर्जा वर्णक्रमीय घनत्व का उपयोग करने के बजाय PSD का सहारा लेने की आवश्यकता है?

• पावर स्पेक्ट्रल घनत्व प्राप्त करते समय, हम सीधे इसकी गणना क्यों नहीं कर सकते? हमें इसका अनुमान लगाने की आवश्यकता क्यों है ?

• अंत में, इस विषय पर, मैंने उन तरीकों के बारे में पढ़ा है जो समय के साथ PSD की गणना करते समय Kayser-windows का उपयोग करते हैं। PSD अनुमान में इन खिड़कियों का उद्देश्य क्या है?

Comments

आपके प्रश्नों में से एक का उत्तर: एक नियतात्मक संकेत , आप इसकी शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व की गणना कर सकते हैं। हालांकि, पावर वर्णक्रमीय घनत्व को व्यापक-अर्थ स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए भी परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, PSD को प्रक्रिया के ऑटोक्रॉलेशन फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है। उस परिदृश्य में, आप आम तौर पर किसी विशेष यादृच्छिक प्रक्रिया के सटीक ऑटोक्रॉलेशन फ़ंक्शन को नहीं जानते हैं जो आप देख रहे होंगे, इसलिए आप अपनी टिप्पणियों से इसकी PSD का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं। $x(t)$

— जेसन आर

एक नियतात्मक संकेत जिसके लिए मौजूद है, इसे (परिमित) ऊर्जा संकेत कहा जाता है और इसका फूरियर परिवर्तन मौजूद है। लेकिन अगर सीमा मौजूद नहीं है, तो फूरियर ट्रांसफॉर्म इस अर्थ में मौजूद नहीं है कि एक डाइवर्जेंट इंटीग्रल है । यदि मौजूद है, तो सिग्नल को पावर सिग्नल कहा जाता है और इसके फूरियर रूपांतरण एक सामान्यीकृत अर्थ में मौजूद है (जिसका अर्थ है कि आवेग आमतौर पर शामिल होते हैं)। $x(t)$ $$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$$ $\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$ $$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$$

— दिलीप सरवटे

Answer 1

यादृच्छिक प्रक्रिया कभी भी समाप्त नहीं होती है, गैर-आवधिक घटना, इसलिए इसके अहसास का फूरियर रूपांतरण करना कोई मतलब नहीं है, या तो संभव नहीं है। हालांकि अगर यादृच्छिक प्रक्रिया स्थिर है, तो यह सुनिश्चित है कि यह कुछ बैंड आवृत्तियों पर कुछ परिमित शक्ति है। अब, यहां यह सवाल उठता है कि इस स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया की शक्ति की गणना कैसे की जाए, (फूरियर ट्रांसफॉर्म को सीधे लेना संभव नहीं है)? इसलिए क्या करना है? हम दिए गए यादृच्छिक प्रक्रिया के ऑटो-सहसंबंध समारोह पाते हैं, जिनके फूरियर रूपांतरण हमेशा मौजूद होते हैं। अंत में, हम दिए गए स्थिर प्रक्रिया की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व प्राप्त करने के लिए इस ऑटोकार्ट्रेशन फ़ंक्शन के फूरियर ट्रांसफॉर्म को लेते हैं।

यदि आप किसी दिए गए स्थिर प्रक्रिया के पावर वर्णक्रमीय घनत्व को अंतराल से एकीकृत करते हैं - to आप प्राप्त की गई यादृच्छिक प्रक्रिया में निहित कुल शक्ति प्राप्त करेंगे।$\infty$$\infty$

Comments

जब आपने कहा: "However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."- ऐसा क्यों है? और यह जरूरी होना जरूरी है स्थिर आवृत्तियों के कुछ बैंड पर परिमित शक्ति है?

— एमेलियो वाज़क्वेज़-रीना

Staionary प्रक्रियाओं में हमेशा परिमित माध्य और परिमित विचरण होता है। इसका अर्थ है कि स्टेयोनरी प्रक्रिया में हमेशा परिमित शक्ति होती है। चूँकि, शक्ति परिमित है, इसका मतलब है कि स्टैओनेरी प्रक्रिया की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व आवृत्तियों के कुछ बैंड पर परिमित है। (आवृत्ति बैंड अनंत हो सकता है)।

— काका

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.यह गलत है। प्रति-उदाहरण के लिए इस उत्तर का दूसरा पैराग्राफ देखें ।

— दिलीप सरवटे