प्यूरिच मात्रा विधि के साथ पॉइसन समीकरण के लिए डिरिचलेट सीमा शर्तों को लागू करना

मैं यह जानना चाहूंगा कि सेल-केंद्रित गैर-यूनिफ़ॉर्म ग्रिड पर परिमित मात्रा पद्धति का उपयोग करते समय डिरिचलेट की स्थिति सामान्य रूप से कैसे लागू होती है,

सेल केंद्रित ग्रिड के बाएँ हाथ की ओर।

मेरा वर्तमान कार्यान्वयन केवल सीमा स्थिति को निर्धारित करता है, जो मेरे पहले सेल का मूल्य तय करता है,

ϕ_{1} = g_{D} (x_{L})

$\phi_1 = g_D(x_L)$

जहाँ समाधान चर है और डोमेन के lhs पर डिरिक्लेट सीमा स्थिति मान है ( NB )। हालांकि इस वजह से सीमा शर्त सेल का मान ठीक करना चाहिए सही नहीं है चेहरा नहीं की मूल्य सेल में ही। मुझे वास्तव में क्या लागू करना चाहिए, $\phi$ $g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

ϕ_{L} = g_{D} (x_{L})

$\phi_{L} = g_D(x_L)$

उदाहरण के लिए, पॉसन समीकरण को हल करने देता है,

0 = (ϕ_{x})_{x} + ρ (x)

$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$

प्रारंभिक स्थिति और सीमा शर्तों के साथ,

ρ = - 1 g_{D} (x_{L}) = 0 g_{N} (x_{R}) = 0

$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$

(जहाँ दाहिने हाथ की ओर एक न्यूमैन सीमा स्थिति है)। $g_N(x_R)$

पोइसन समीकरण का संख्यात्मक समाधान

ध्यान दें कि संख्यात्मक समाधान ने बाएं हाथ की तरफ सेल चर का मान सीमा स्थिति मान ( ) पर कैसे तय किया है। यह पूरे समाधान को ऊपर की ओर स्थानांतरित करने का प्रभाव है। बड़ी संख्या में मेष बिंदुओं का उपयोग करके प्रभाव को कम किया जा सकता है लेकिन यह समस्या का अच्छा समाधान नहीं है। $g_D(x_L)=0$

सवाल

परिमित मात्रा पद्धति का उपयोग करते समय डिरिचलेट सीमा की किन स्थितियों में आवेदन किया जाता है? मुझे लगता है मैं का मूल्य तय करने के लिए की जरूरत मान interpolating या का उपयोग कर extrapolating द्वारा (एक भूत बिंदु) या ऐसी सीधी रेखा इन बातों से गुजर रही पर वांछित मूल्य नहीं है । क्या आप एक गैर-वर्दी सेल-केंद्रित जाल के लिए यह करने के लिए कोई मार्गदर्शन या उदाहरण प्रदान कर सकते हैं? $\phi_1$ $\phi_0$ $\phi_2$ $x_L$

अपडेट करें

यहाँ मेरा सुझाव है कि आपके द्वारा सुझाए गए एक भूत सेल दृष्टिकोण का उपयोग करना उचित है?

कक्ष लिए समीकरण (जहां के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है ), $\Omega_1$ $\mathcal{F}$ $\phi$

F_{3 / 2} - F_{L} = \bar{ρ}

$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$

हमें एक भूत कोशिका का उपयोग करके सीमा स्थिति के संदर्भ में । $\mathcal{F}_{L}$ $\Omega_0$

F_{L} = \frac{ϕ_{1} - ϕ_{0}}{h_{-}} [1]

$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$

लेकिन हमें अंततः समीकरण से शब्द को समाप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए हम एक दूसरे समीकरण जो सेल के केंद्र से रैखिक प्रक्षेप है लिखने सेल के केंद्र के लिए । आसानी से यह रेखा से होकर , इसलिए यह है कि स्थिति कैसे विवेक में प्रवेश करती है (क्योंकि इस बिंदु पर मान सिर्फ ), $\phi_0$ $\Omega_0$ $\Omega_1$ $x_L$ $g_D(x_L)$

g_{D} (x_{L}) = \frac{h_{1}}{2 h_{-}} ϕ_{0} + \frac{h_{0}}{2 h_{-}} ϕ_{1} [2]

$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$

समीकरण 1 और 2 को मिलाकर हम को समाप्त कर सकते हैं और और संदर्भ में लिए एक अभिव्यक्ति पा सकते हैं , $\phi_0$ $\mathcal{F}_L$ $\phi_1$ $g_D(x_L)$

F_{L} = \frac{1}{h_{-}} (ϕ_{1} - \frac{1}{h_{1}} (2 g_{D} h_{-} - h_{1} ϕ_{1}))

$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$

यह मानते हुए कि हम भूत सेल हम सेट कर सकते हैं की मात्रा का चयन करने के लिए स्वतंत्र हैं को दे, $h_0 \rightarrow h_1$

F_{L} = - \frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 ϕ_{1}}{h_{-}}

$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$

इसे और सरल बनाया जा सकता है क्योंकि यदि कोशिकाएँ और समान आयतन हैं तो हम अंत में दे सकते हैं, $\Omega_0$ $\Omega_1$ $h_{-}\rightarrow h_1$

F_{L} = \frac{2}{h_{1}} (ϕ_{1} - g_{D})

$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$

हालांकि, इस दृष्टिकोण ने परिभाषा को पुनर्प्राप्त किया है जो अस्थिर है इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि कैसे आगे बढ़ना है? क्या मैंने आपकी सलाह को गलत तरीके से समझा (@जन)? अजीब बात यह है कि काम करने लगता है, नीचे देखें,

नीचे देखें, यह काम करता है,

अद्यतित संगणना, नया दृष्टिकोण विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के साथ बहुत अच्छी तरह से सहमत है।

boundary-conditions finite-volume poisson

— boyfarrell
स्रोत

सही है, आपकी व्युत्पत्ति सही है। और यह वास्तव में मेरे जवाब में (**) कहा जाता है जैसा दिखता है। और, इस प्रकार, यह स्थिर साबित होता है। मैं अपने उत्तर में एक टिप्पणी जोड़ूंगा।

— Jan

इसके अलावा, एक सामान्य टिप्पणी के रूप में, स्थिरता के परिणाम आम तौर पर पर्याप्त स्थिति होते हैं। यानी यदि कोई योजना शर्तों को पूरा नहीं करती है, तो कुछ स्थितियों में, यह अच्छी तरह से विश्वसनीय परिणाम दे सकता है।

— Jan

जवाबों:

Dirichlet BC के साथ दीर्घवृत्तीय समस्याओं के लिए FVM के विवेकाधिकार के स्थिरता-विश्लेषण में, एक केंद्रीय धारणा यह है कि आंतरिक कोशिकाएं, जहाँ आप PDE को , जिसका कोई चौराहा सीमा के साथ नहीं है, यानी यदि में एक सेट के रूप में देखा आपके डोमेन यदि जैसे, सीएफ,, [द्वारा पुस्तक Grossmann और Roos , पी। 92]

{\bar{Ω}}_{मैं} \cap Γ_{डी} = 0 (*)

$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$

R^{n - 1}

$\mathbb R^{n-1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega \subset \mathbb R^n$

इस प्रकार, यदि आपके सेटअप में, अप्रोच अस्थिर है, यह ज्ञात स्थिरता परिणामों के विपरीत ~~नहीं~~ है। EDIT : एक विशेष रूप से आयतन और दूरी के लिए भूत कोशिका और रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करके, एक प्रवाह के रूप में प्राप्त करता है । इस प्रकार, वास्तव में एक स्थिर योजना है।

(\frac{घ φ}{घ एक्स})_{1 / 2} = \frac{2}{ज_{1}} (φ_{1} - φ_{1 / 2}) (* *)

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$

(* *)

$(**)$

(* *)

$(**)$

पोइसन समस्या के लिए स्थैतिकता और अभिसरण (पहले क्रम में अधिकतम-आदर्श) ग्रॉसमैन एंड रूस द्वारा ग्रिड के लिए वास्तविक सीमा पर उनके "केंद्र" के साथ अलग-अलग सीमा कोशिकाओं के साथ साबित किया गया है, जैसा कि 1 डी मामले के लिए मेरी ड्राइंग में चित्रित किया गया है। यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

यहां, इंटरफ़ेस पर अंतर भागफल को एक सीधे-आगे तरीके से अनुमानित किया गया है।

मैं कहूंगा कि भूत कोशिकाएं दो कारणों से सामान्य दृष्टिकोण हैं।

वे मेरी ड्राइंग में वर्णित स्थिर स्थिति की नकल करते हैं, लेकिन एक प्रक्षेपित सीमा स्थिति के साथ
वे बस भौतिक सीमा से जुड़े होते हैं। इस प्रकार, कोई भी डोमेन के त्रिभुज का उपयोग कर सकता है, जो कि लाभप्रद भी है, क्योंकि एक में अक्सर प्राकृतिक बीसी भी होते हैं जो सीधे इंटरफ़ेस पर लगाए जाते हैं [ ग्रॉसमैन एंड रूज , पी। 101]।

तो, मेरा सुझाव है कि आप डिरिचलेट सीमा के लिए भूत कोशिकाओं का उपयोग करें। आपके उदाहरण में, यह आपके सिस्टम में जोड़ रहा होगा और यह शर्त कि , बीच एक इंटरपोलेंट , और शायद अन्य लोग सीमा पर बराबर । $\phi_0$ $\phi_0$ $\phi_1$ $g_D$

— जनवरी
स्रोत

शुक्रिया जान, यह वाकई दिलचस्प है। यह निश्चित रूप से अस्थिर होने के साथ कुछ दृष्टिकोणों के साथ मेरे अनुभव की नकल करेगा। क्या मैं सही हूं, अगर मैं भूत सेल दृष्टिकोण का उपयोग करता हूं तो मुझे अंतिम सेल को स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है ताकि केंद्र सीमा पर हो? मुझे सीमा सेल को स्थानांतरित करने की अवधारणा के साथ एक समस्या भी है; क्या इसका मतलब यह नहीं है कि उस सेल में शून्य मात्रा है?

— बॉयफ्रेंड

h_{Γ}

$h_\Gamma$

h_{Γ} \to 0

$h_\Gamma \to 0$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{0}

$\phi_0$

क्या भूत कोशिका के मूल्य पर निर्भरता को इस दृष्टिकोण से हटाया जा सकता है? मुझे लगता है कि इसे समीकरणों में शामिल नहीं किया जाना चाहिए , लेकिन केवल सीमा स्थितियों को लिखने के लिए एक उपकरण का उपयोग किया। "स्थानांतरित" सीमा सेल के बारे में। ऐसा लगता है कि बिंदु परिमित मात्रा पद्धति के बजाय परिमित अंतर का उपयोग करता है। क्या यह सही होगा?

— बॉयफ्रेल

ठीक है मै समझ गया! धन्यवाद। एक टाइपो है। दूसरे पैराग्राफ में "इस प्रकार, यदि आपकी स्थापना में, दृष्टिकोण [eqn] अस्थिर है, तो यह ज्ञात स्थिरता परिणामों के लिए कोई विरोधाभास नहीं है ।" "नहीं" होना चाहिए "में" । यह वाक्य का अर्थ जो आप चाहते हैं (मुझे लगता है) के विपरीत का अर्थ निकालता है!

— बॉयफ्रेल सेप

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$ $x_0$ $x_i$ $\phi_i$ $\phi_1$ $\phi_2$ $\phi_1$

आप यहां जो खोज रहे हैं, वह यह है कि परिमित मात्राओं का उपयोग अक्सर अण्डाकार समीकरणों के लिए नहीं किया जाता है, जिसके लिए कोई भी Dirichlet स्थिति बनाता है। उनका उपयोग संरक्षण कानूनों के लिए किया जाता है, जहां अधिक प्राकृतिक परिस्थितियों को फ्लक्स के संदर्भ में बताया जाता है।

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

मान लेते हैं कि पोइसन समीकरण आपका परिमित-रूप है

\frac{घ^{2} φ}{घ {एक्स}^{2}} = च

$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$

(\frac{घ φ}{घ एक्स})_{3 / 2} - (\frac{घ φ}{घ एक्स})_{1 / 2} = \int_{{एक्स}_{1 / 2}}^{{एक्स}_{3 / 2}} च घ एक्स

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$

(\frac{घ φ}{घ एक्स})_{3 / 2} = \frac{φ_{2} - φ_{1}}{ज_{+}}

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$

$(d\phi/dx)_{1/2}$ $\phi_{1/2}$ $x_{1/2}$ $x_1$ $x_2$ $h$

(\frac{घ φ}{घ एक्स})_{1 / 2} = \frac{1}{ज} (- \frac{1}{3} φ_{2} + 3 φ_{1} - \frac{8}{3} φ_{1 / 2})

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$

(\frac{घ φ}{घ एक्स})_{1 / 2} = \frac{2}{ज_{1}} (φ_{1} - φ_{1 / 2})

$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$

बेशक, एक चीज जिसे भी जांचना आवश्यक है, वह है सीमा पर दूसरे क्रमबद्धता के साथ आपके विवेक की स्थिरता। मेरे सिर के ऊपर से, मैं नहीं जानता कि क्या यह इंटीरियर में एक केंद्रित दूसरे क्रम सन्निकटन के साथ संयुक्त होगा। एक मैट्रिक्स स्थिरता विश्लेषण आपको निश्चित रूप से बताएगा। (मुझे लगभग निश्चित है कि सीमा पर पहला आदेश सन्निकटन स्थिर होगा।)

आप भूत बिंदुओं का उपयोग करने की संभावना का उल्लेख करते हैं। यह उस समस्या की ओर जाता है जिसे आपको भूत बिंदु में इंटीरियर से बाहर निकालने और प्रक्रिया में बीसी का उपयोग करने की आवश्यकता है। मुझे संदेह है, लेकिन इसे "साबित" नहीं किया है, कि कम से कम कुछ भूत बिंदु उपचार मैं ऊपर उल्लिखित दृष्टिकोण के प्रकार का उपयोग करने के बराबर हैं।

उम्मीद है कि यह थोड़ा मदद करता है।

— ब्रायन ज़तापटिक
स्रोत

हैलो ब्रायन। मुझे नहीं लगा कि फ्लक्स फॉर्म (यानी कमजोर रूप से) का उपयोग करके डिरिचलेट बाउंड्री शर्तों को लागू करना संभव था। वास्तव में मैंने उस सवाल को कुछ महीने पहले पूछा था, scicomp.stackexchange.com/questions/7777/… मैंने कुछ इस तरह से वापस लागू करने की कोशिश की, लेकिन, क्या कभी कारण के लिए, कार्यान्वयन अस्थिर था और हमेशा विफल रहा। क्या आप एक संदर्भ जानते हैं जिसमें पॉरिशॉन समीकरण के लिए डिरिचलेट की स्थिति लागू होती है, मुझे यह जानने में दिलचस्पी है कि मानक क्या है ? शायद यह अण्डाकार समीकरणों के लिए नहीं किया गया है?

— बॉयफ्रेल

मैं एक मानक के बारे में नहीं जानता, लेकिन मैं कल्पना नहीं कर सकता कि ऐसे सभी कार्यान्वयन अस्थिर हैं। क्या आपने मैट्रिक्स विश्लेषण की कोशिश की? इस मामले को अंजाम देना बहुत सरल होना चाहिए। लोग भूत-बिंदु उपचार और ऊपर दिए गए उपचारों के साथ नवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल करते हैं। (बेशक, वहाँ चिपचिपा प्रभाव इस हद तक हावी नहीं होता है कि आप पोइसन समीकरण को एक अच्छे मॉडल के रूप में मान सकते हैं।) शायद ये संदर्भ मदद करते हैं: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ … और nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf

— ब्रायन ज़ाटाप्टिक

हैलो ब्रायन। नहीं, मैंने मैट्रिक्स विश्लेषण की कोशिश नहीं की। सच कहूँ तो मुझे यकीन नहीं है कि कैसे करना है। मेरे पास इस समस्या को फिर से व्यक्त करने के लिए अगले सप्ताह का समय होगा ताकि मैं एक नया प्रश्न पोस्ट कर सकूं!

— बॉयफ्रेल

मेरी समझ यह भी है कि घोस्ट पॉइंट (द्विघात) एक्सट्रपलेशन क्लासिक शॉर्टले-वेलर परिमित अंतर के बराबर होता है जो अनियमित (घुमावदार) ड्यूरिचलेट सीमा स्थितियों के लिए होता है, उदाहरण के लिए मॉर्टन और मेयर्स न्यूमेरिकल सॉल्यूशन ऑफ पार्टिकल डिफरेंशियल इक्वेशन के p74 पर वर्णित है (दूसरा) संस्करण)। (। रैखिक एक्सट्रपलेशन संस्करण Gibou एट अल के सरल तरीका के बराबर है sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773 ) यह भी: दोनों रैखिक और द्विघात extrapolants 2 क्रम सही समाधान देते हैं, लेकिन केवल 1 आदेश ढ़ाल रैखिक।

— बैटी