क्या क्रमिक ओवर-रिलैक्सेशन (SOR) विधि के अनुकूलन के लिए कोई अनुमान है?

Question

जैसा कि मैं इसे समझता हूं, विश्राम पर लगातार काम करता है एक पैरामीटर का चयन करके और (quasi) के एक रैखिक संयोजन का उपयोग करके गॉस-सीडल पुनरावृत्ति और पिछले टाइमस्टेप पर मूल्य ... यह है $0\leq\omega\leq2$

${u}^{k+1} = (\omega){u_{gs}}^{k+1} + (1-\omega)u^{k}$

मैं 'quasi' क्योंकि में इस नियम के अनुसार अद्यतन की गई नवीनतम जानकारी शामिल है, किसी भी समय पर। (ध्यान दें कि at , यह बिल्कुल गॉस-सेडेल है)। ω=${u_{gs}}^{k+1}$$\omega=1$

किसी भी मामले में, मैंने पढ़ा है कि इष्टतम विकल्प के लिए (जैसे कि पुनरावृत्ति किसी अन्य की तुलना में तेजी से परिवर्तित होती है) पोइसोन समस्या के लिए 2 दृष्टिकोण 2 के रूप में स्थानिक संकल्प शून्य के करीब पहुंचता है। क्या अन्य सममित, तिरछे प्रमुख समस्याओं के लिए एक समान प्रवृत्ति मौजूद है? यही है, क्या ओमेगा को एक अनुकूलन अनुकूलन योजना में एम्बेड किए बिना बेहतर तरीके से चुनने का एक तरीका है? क्या अन्य प्रकार की समस्याओं के लिए अन्य आंकड़े हैं? किस प्रकार की समस्याएं कम-विश्राम ( ) इष्टतम होंगी?ω < $\omega$$\omega<1$

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आपका प्रश्न काफी नहीं है, लेकिन सलाखुद्दीनोव और रोविस, अनुकूली अतिसंबंधित बाउंड ऑप्टिमाइज़ेशन मेथड्स 2003, 8 पी देखें। ( अनुकूली स्पीडअप में प्रति हिरन का उच्च धमाका होता है, लेकिन इसका विश्लेषण करना असंभव है, इसलिए यहां से ऑफ-टॉपिक।)

— डेनिस

Answer 1

नम जैकोबी

मान लीजिए कि मैट्रिक्स में विकर्ण D है । तो के स्पेक्ट्रम डी - 1 एक अंतराल में निहित है [ एक , ख ] सकारात्मक असली धुरी के, कारक उदासीनता के साथ जैकोबी की तो यात्रा मैट्रिक्स ω बी जैकोबी = मैं - ω डी - 1 एक रेंज में स्पेक्ट्रम है [ 1 - ω ख , 1 - ω एक ] , साथ वर्णक्रमीय त्रिज्या कम से कम इतना ω ऑप्ट = $A$$D$$D^{-1}A$$[a,b]$$\omega$

$$B_\text{Jacobi} = I - \omega D^{-1} A$$ $[1 - \omega b,1 - \omega a]$ ,ρऑप्ट=1-2aका अभिसरण कारक देता $$\omega_{\text{opt}} = \frac 2 {a + b}$$ यदिएक«खहै, तो इस अभिसरण कारक बहुत गरीब, अपेक्षा के अनुरूप है। ध्यान दें किक्रायलोव विधि का उपयोग करकेबीकाअनुमान लगाना अपेक्षाकृत आसान है, लेकिन अनुमान लगाने के लिए काफी महंगाहै। $$\rho_\text{opt} = 1 - \frac{2a}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}.$$ $a \ll b$$b$$a$

क्रमिक छूट (SOR)

$D^{-1}A$ मैं - डी - 1 एक μ अधिकतम < 1 ω ऑप्ट = 1 + ( μ $\mu_\max$$I - D^{-1} A$$\mu_\max < 1$ρऑप्ट=ωऑप्ट-1.ωऑप्टμअधिकतम→

$$\omega_\text{opt} = 1 + \left( \frac{\mu_\max}{1 + \sqrt{1 - \mu_\max^2}} \right)^2$$ $$\rho_\text{opt} = \omega_\text{opt} - 1.$$ $\omega_\text{opt}$2 जब ।$\mu_\max \to 1$

टिप्पणियाँ

यह 1950 के किसी भी अधिक नहीं है और यह वास्तव में ठोस के रूप में स्थिर पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग करने के लिए समझ में नहीं आता है। इसके बजाय, हम उन्हें मल्टीग्रिड के लिए स्मूदी के रूप में उपयोग करते हैं। इस संदर्भ में, हम केवल स्पेक्ट्रम के ऊपरी छोर को लक्षित करने का ध्यान रखते हैं। SOR में छूट कारक का अनुकूलन करने से SOR को उच्च आवृत्तियों (कम आवृत्तियों पर बेहतर अभिसरण के बदले) के बहुत कम भिगोने का कारण बनता है, इसलिए आमतौर पर SOR में अनुरूप मानक गॉस-सेडेल का उपयोग करना बेहतर होता है । अत्यधिक परिवर्तनीय गुणांक वाले nonsymmetric समस्याओं और समस्याओं के लिए, अंडर-आराम SOR ( ) में बेहतर भिगोना गुण हो सकते हैं।ω < $\omega = 1$$\omega <1$

दोनों आइगेनवैल्यू का अनुमान लगाना महंगा है, लेकिन सबसे बड़े ईजेनवेल्यू का अनुमान कुछ क्रायलोव पुनरावृत्तियों का उपयोग करके लगाया जा सकता है। बहुपद चिकनी (जैकोबी के साथ पूर्वनिर्मित) नम जैकोबी के कई पुनरावृत्तियों की तुलना में अधिक प्रभावी हैं और कॉन्फ़िगर करना आसान है, इसलिए उन्हें प्राथमिकता दी जानी चाहिए। बहुपद स्मूदी पर अधिक के लिए यह उत्तर देखें ।$D^{-1}A$

कभी-कभी यह दावा किया जाता है कि क्रोरलोव जैसे जीएमआरईएस के लिए पूर्ववर्ती के रूप में एसओआर का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। यह अवलोकन से आता है कि इष्टतम छूट पैरामीटर को पुनरावृत्ति मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​को जगह देना चाहिए एक सर्कल पर मूल पर केंद्रित है। पूर्वनिर्धारित ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम(

$$B_\text{SOR} = 1 - \left(\frac 1 \omega D + L\right)^{-1} A$$ $(\frac 1 \omega D + L)^{-1} A$एक ही त्रिज्या के एक वृत्त पर eigenvalues ​​है, लेकिन 1 पर केंद्रित है। खराब हालत वाले ऑपरेटरों के लिए, वृत्त की त्रिज्या 1 के काफी करीब है, इसलिए GMRES कोणों की एक सीमा पर उत्पत्ति के करीब eigenvalues ​​को देखता है, जो आमतौर पर अच्छा नहीं होता है अभिसरण के लिए। व्यवहार में, जीएमआरईएस यथोचित रूप से परिवर्तित हो सकता है जब एसओआर के साथ पूर्व शर्त लगाई जाती है, खासकर उन समस्याओं के लिए जो पहले से ही काफी अच्छी तरह से वातानुकूलित हैं, लेकिन अन्य पूर्व शर्त अक्सर अधिक प्रभावी होते हैं।

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मैं मानता हूं कि यह अब और 1950 नहीं है: ओ), हालांकि, मैं असहमत हूं कि स्टेशनरी पुनरावृत्तियों का उपयोग करने का कोई मतलब नहीं है। हम उच्च-क्रम के नॉनलाइनर मुक्त सतह सॉल्वर (दोनों संभावित प्रवाह और यूलर समीकरण) के आधार पर एक इंजीनियरिंग अनुप्रयोग सॉल्वर के लिए एक स्टेशनरी पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग करके मल्टीग्रिड पाठ्यपुस्तक दक्षता प्राप्त कर सकते हैं। दक्षता प्राप्य सटीकता के भीतर एक पूर्वनिर्मित GMRES krylov subspace विधि के रूप में अच्छा था (हमारे हाल ही में पब यहाँ onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/fld.2675/abing प्रमाण-के-अवधारणा के रूप में सेवारत है)।

— एलन पी। इंग्सिग-करुप

आप मल्टीसिड के लिए गॉस-सेडेल को एक स्मूथी के रूप में उपयोग कर रहे हैं (जो कि एसओआर जैसे तरीके हैं)। यदि मल्टीग्रिड अच्छा प्रदर्शन कर रहा है, तो एक बाहरी क्रायलोव विधि भी आवश्यक नहीं है (हालांकि आपका पेपर उन तुलनाओं को नहीं दिखाता है)। जैसे ही मल्टीग्रिड दक्षता खोना शुरू कर देता है (जैसे कि विवेकाधीन त्रुटि तक पहुंचने के लिए 5 से अधिक पुनरावृत्तियों), आमतौर पर मल्टीग्रिड चक्र के चारों ओर क्रिलोव विधि को लपेटना सार्थक होता है।

— जेड ब्राउन

संपूर्ण विधि एक बहु-बहु-प्रकार है जिसमें जीएस प्रकार का चौरसाई होता है, हालांकि, पूरी विधि को एक स्थिर पुनरावृत्ति विधि के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि सभी ऑपरेटर स्थिर हैं। आप इसे मल्टीग्रिड विधि से निर्मित एक पूर्वनिर्मित एम के साथ एक पूर्वनिर्मित रिचर्डसन विधि के रूप में देख सकते हैं। विश्लेषण किया गया है, लेकिन अभी तक प्रकाशित नहीं हुआ है। दरअसल, यह काम दूसरी दिशा में चला गया था जिसे आप प्रस्तावित करते हैं। इस काम में क्रायलोव विधि (एक जीएमआरईएस) को छोड़ दिया गया था और फिर इसे एक उच्च-क्रम मल्टीग्रिड विधि में बदल दिया गया था क्योंकि हमने पाया कि यह सिर्फ कुशल था (और कम स्मृति आवश्यकताओं के साथ)।

— एलन पी। इंग्सिग-करुप

के उपयोग के - और -multigrid एक क्रीलोव विधि बाहर की दुनिया में प्रयोग किया जाता है कि क्या निश्चित रूप से स्वतंत्र होता है। सीपीयू की तुलना में विभिन्न ऑपरेशनों की सापेक्ष लागत निश्चित रूप से GPU के लिए अलग है, और कार्यान्वयन के बीच परिवर्तनशीलता है। पूर्ववर्ती रिचर्डसन सिर्फ एक दोष सुधार विधि है। तो न्यूटन और पिकार्ड (यदि इस तरह के रूप में लिखा गया है) nonlinear तरीके हैं। अन्य nonlinear तरीके (NGMRES, BFGS, आदि) भी इतिहास का उपयोग करते हैं, और nonlinearity की सापेक्ष शक्ति के आधार पर बेहतर हो सकते हैं। एच $p$$hp$

— जेड ब्राउन

ध्यान दें कि मल्टीग्रिड स्मूदी में, कभी-कभी उच्च-क्रम / कम-क्रम युग्मन गुणक बनाने के लिए यह बेहतर होता है (वास्तुकला अनुमति)। यह "पहले से तैयार रिचर्डसन" का भी विस्तार करता है। (मैंने पिछले हफ्ते एक सम्मेलन में एक ऐसे व्यक्ति के साथ एक चर्चा की थी जो अनिवार्य रूप से सभी तरीकों को देखना चाहता था क्योंकि रिचर्डसन को नेस्टेड पुनरावृत्ति के साथ पहले से ही देखा गया था, जो मुझे नहीं लगता कि सॉल्वर रचना के अन्य बयानों पर विशेष लाभ है। मुझे नहीं पता कि क्या है। आपके लिए प्रासंगिक है, लेकिन आपकी बातों ने मुझे चर्चा की याद दिला दी।)

— जेड ब्राउन