बीजगणितीय मल्टीग्रिड सॉल्वर के लिए एक लम्बी और प्रतिबंध संचालक का निर्माण कैसे करें?

Question

मैं समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली को हल करने की कोशिश कर रहा हूं जो विरल है, लेकिन किसी भी तरह की बंधी हुई संरचना का अभाव है। मैंने सुना है कि एक सामान्य रैखिक समस्या (यदि मैं गलत नहीं हूँ, तो इसे बीजगणितीय मल्टीग्रिड सॉल्वर कहा जाता है) में निहित परिमित अंतर योजनाओं के लिए एक मल्टीग्रिड सॉल्वर के सिद्धांतों का विस्तार करने का एक तरीका है। इस पर कुछ साहित्य पढ़ने के बाद, मैं अभी भी बहुत उलझन में हूं कि एक परिमित अंतर योजना से उन जैसे बैंडेड मैट्रिस की अच्छी संरचना का शोषण किए बिना मोटे और महीन ग्रिड के बीच अंतर (यानी लम्बा और प्रतिबंधित) कैसे किया जाए। क्या इसका कुछ अनुमान है? क्या कोई उदाहरण दे सकता है?

Answer 1

सबसे पहले, यदि आपके पास एक संरचित ग्रिड है, तो आप कुछ सैद्धांतिक और दक्षता लाभों (जैसे गैलरकिन मोटे ग्रिड ऑपरेटरों का उपयोग करने के बजाय पुनर्वितरण करने की क्षमता) के कारण बीजीय मल्टीग्रेड के बजाय ज्यामितीय का उपयोग करना चाह सकते हैं। बीजगणितीय मल्टीग्रिड विधियां आम तौर पर दो श्रेणियों में आती हैं।

शास्त्रीय बीजगणितीय मल्टीग्रिड

यह विधि 1982 में ब्रांट, मैककॉर्मिक और रूज द्वारा शुरू की गई थी और इसमें -मैट्रिस के लिए मजबूत सिद्धांत है । ब्रांट (1986) में मानक अभिसरण सिद्धांत है। एक लोकप्रिय और अत्यधिक स्केलेबल समानांतर कार्यान्वयन के लिए हाइपर पैकेज से बूमरैमजी देखें । एक अधिक मजबूत और सामान्य संस्करण को बूटस्ट्रैप एएमजी कहा जाता है, ब्रांट, ब्रनिक, काहल और लिवित्स के हालिया पेपर को देखें ।$M$

चिकना एग्रीगेशन

Vaněk, Mandel, और Brezina (1996) से स्मूद एकत्रीकरण एक अधिक हालिया तरीका है जो लोच जैसी वेक्टर समस्याओं के लिए उपयोगी साबित हुआ है। सामान्य दृष्टिकोण वैक्टर के साथ शुरू करना है जो ऑपरेटर के निकट-रिक्त स्थान (जैसे कि लोच में शरीर के मोड) को चिह्नित करता है, मैट्रिक्स की कनेक्टिविटी का उपयोग करके समुच्चय का निर्माण करता है (आमतौर पर का एक अधिकतम स्वतंत्र सेट ढूंढकर ), और चिकनी "कम ऊर्जा मोटे आधार कार्यों को बनाने के लिए समुच्चय (ऑपरेटर का उपयोग करके)। लोकप्रिय समानांतर कार्यान्वयन हैं एमएल Trilinos से , प्रोमेथियस मार्क एडम्स से (2004 गॉर्डन बेल पुरस्कार), PCGAMG PETSc में$A^T A$(मार्क एडम्स से भी, ज्यादातर प्रोमेथियस के लिए एक पूर्ण प्रतिस्थापन), और CUDA आधारित GPU कोड CUSP का सुचारू एकत्रीकरण घटक है ।

ध्यान दें कि ऊपर वर्णित सभी सॉफ़्टवेयर को पेट्सक का उपयोग करके एक सामान्य इंटरफ़ेस के माध्यम से एक्सेस किया जा सकता है ।

Answer 2

ट्रॉटेनबर्ग द्वारा "मल्टीग्रिड", एट अल, एक उत्कृष्ट पुस्तक है और ऐसा लगता है कि यह अधिकांश Google पुस्तकों पर उपलब्ध है। इसमें एएमजी पर एक परिशिष्ट है और आपको शेष पुस्तक से एमजी में कुछ पृष्ठभूमि प्राप्त करने की आवश्यकता होगी। "एक मल्टीग्रिड ट्यूटोरियल" भी एक अच्छी किताब है।

Answer 3

मैं WL ब्रिग्स, वीई हेंसन और एसएफ मैककॉर्मिक द्वारा "ए मल्टीग्रिड ट्यूटोरियल" (2 ईडी) के अध्याय 8 का सुझाव दूंगा। यह बीजगणितीय चिकनाई और मजबूत निर्भरता जैसी कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाओं पर एक सामान्य विचार देता है। यह भी बताता है कि इंटरपोलेशन ऑपरेटर (मोटे-ग्रिड ऑपरेटर भी) को कैसे परिभाषित किया जाए और मोटे ग्रिड का चयन कैसे किया जाए।

Comments

बर्नार्डो, में आपका स्वागत है scicomp! आपका दूसरा पैराग्राफ उत्तर की तुलना में प्रश्न की तरह दिखता है। क्या आप कृपया इसे अपने उत्तर से काटकर एक अलग प्रश्न में पेस्ट कर सकते हैं? आपके दूसरे पैराग्राफ में आप जो प्रश्न पूछते हैं, वह उस प्रकार के प्रश्न का एक अच्छा उदाहरण है जिसे हम देखना चाहते हैं scicomp।

— ज्योफ ऑक्सीबेरी