परिमित तत्व और परिमित मात्रा विधि के बीच वैचारिक अंतर क्या हैं?

Question

परिमित अंतर और परिमित मात्रा विधि के बीच एक स्पष्ट अंतर है (समीकरणों के बिंदु परिभाषा से चलकर कोशिकाओं पर अभिन्न औसत तक)। लेकिन मुझे FEM और FVM बहुत समान लगते हैं; वे दोनों अभिन्न रूप और कोशिकाओं पर औसत का उपयोग करते हैं।

FEM विधि क्या कर रही है कि FVM नहीं है? मैंने एफईएम पर एक छोटी पृष्ठभूमि पढ़ी है मैं समझता हूं कि समीकरण कमजोर रूप में लिखे गए हैं, यह विधि को एफवीएम की तुलना में थोड़ा अलग बताते हैं। हालाँकि, मैं एक वैचारिक स्तर पर नहीं समझता कि अंतर क्या हैं। क्या FEM कुछ धारणा बनाता है कि अज्ञात सेल के अंदर कैसे बदलता है, क्या यह FVM के साथ भी नहीं किया जा सकता है?

मैं ज्यादातर 1 डी के नजरिए से आ रहा हूं इसलिए शायद एफईएम के एक से अधिक आयामों के साथ फायदे हैं?

मुझे नेट पर इस विषय पर अधिक जानकारी उपलब्ध नहीं है। विकिपीडिया पर एक खंड है कि एफईएम परिमित अंतर विधि से कैसे भिन्न है, लेकिन यह इसके बारे में है, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_delference_method ।

Comments

यहाँ मेरी इस मुद्दे पर (अंत की ओर) है: math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

मैंने इसे अपने ब्लॉग में विस्तार से लिखा है FEM, FVM और FDM

— Renga

Answer 1

परिमित तत्व: वॉल्यूमेट्रिक इंटीग्रल्स, आंतरिक बहुपद क्रम

शास्त्रीय परिमित तत्व विधियां निरंतर या कमजोर रूप से निरंतर सन्निकटन रिक्त स्थान मानती हैं और कमजोर रूप से संतुष्ट होने के लिए बड़ा अभिन्न अंग पूछती हैं। तत्वों के भीतर सन्निकटन क्रम को बढ़ाकर सटीकता का क्रम बढ़ाया जाता है। विधियां बिल्कुल रूढ़िवादी नहीं हैं, इस प्रकार अक्सर बंद प्रक्रियाओं के लिए स्थिरता के साथ संघर्ष होता है।

परिमित मात्रा: सतह इंटीग्रल, असंतत डेटा से फ़्लक्स, पुनर्निर्माण क्रम

परिमित मात्रा विधियाँ टुकड़ा करने योग्य निरंतर सन्निकटन रिक्त स्थान का उपयोग करती हैं और संतुष्ट होने के लिए टुकड़े-टुकड़े निरंतर परीक्षण कार्यों के खिलाफ अभिन्नता पूछती हैं। यह सटीक संरक्षण बयान देता है। वॉल्यूम इंटीग्रल को सतह इंटीग्रल में बदल दिया जाता है और संपूर्ण भौतिकी उन सतह इंटीग्रल्स में फ्लक्स के संदर्भ में निर्दिष्ट होती है। प्रथम-क्रम हाइपरबोलिक समस्याओं के लिए, यह एक रीमैन समाधान है। दूसरा क्रम / अण्डाकार प्रवाह अधिक सूक्ष्म हैं। पड़ोसियों के लिए (रूढ़िवादी रूप से) तत्वों के अंदर राज्य के उच्च क्रम निरूपण (ढलान पुनर्निर्माण / सीमित) या फ़्लक्स (फ़्लक्स लिमिटिंग) का पुनर्निर्माण करके सटीकता का क्रम बढ़ाया जाता है। पुनर्निर्माण प्रक्रिया आम तौर पर समाधान की असंतत सुविधाओं के आसपास दोलनों को नियंत्रित करने के लिए गैर-रेखीय होती है, कुल भिन्नता (TVD) और अनिवार्य रूप से गैर-दोलन (ENO / WENO) विधियाँ देखें। एक गैर-विवेकीकरण आवश्यक है एक साथ दोनों चिकनी क्षेत्रों में पहले आदेश सटीकता से अधिक प्राप्त करने और छूट के पार कुल भिन्नता प्राप्त करने के लिए, देखेंगोडुनोव का प्रमेय ।

टिप्पणियाँ

एफई और एफवी दोनों असंरचित ग्रिड पर दूसरे क्रम सटीकता तक परिभाषित करना आसान है। FE असंरचित ग्रिड पर दूसरे क्रम से परे जाना आसान है। FV गैर-अनुरूपण जाल को अधिक आसानी से और मजबूती से संभालता है।

एफई और एफवी का मेल

विधियों को कई तरीकों से विवाहित किया जा सकता है। डिसकंट्रेस्स गेलरकिन विधियाँ परिमित तत्व विधियाँ हैं, जो विच्छिन्न आधार कार्यों का उपयोग करती हैं, इस प्रकार रिमैन सॉल्वरों का अधिग्रहण करती हैं और विच्छिन्न प्रक्रियाओं (विशेषकर हाइपरबोलिक) के लिए और अधिक मजबूती मिलती है। डीजी तरीकों का उपयोग नॉनलाइनियर लिमिटर्स (आमतौर पर सटीकता में कुछ कमी के साथ) के साथ किया जा सकता है, लेकिन सेल-वार एन्ट्रापी असमानता को सीमित किए बिना संतुष्ट करता है और इस प्रकार कुछ समस्याओं के लिए सीमित किए बिना उपयोग किया जा सकता है जहां अन्य योजनाओं के लिए सीमा की आवश्यकता होती है। (यह विशेष रूप से आसन्न-आधारित अनुकूलन के लिए उपयोगी है क्योंकि यह असतत adjoint को निरंतर adointoint समीकरणों के अधिक प्रतिनिधि बनाता है।) अण्डाकार समस्याओं के लिए मिश्रित FE विधियाँ आधारभूत कार्यों का उपयोग करती हैं और द्विघात के कुछ विकल्पों के बाद, मानक परिमित मात्रा विधियों के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती हैं। , इस जवाब को देखेंअधिक जानकारी के लिए। पुनर्निर्माण डीजी तरीके (उर्फ। या "रिकवरी डीजी") FV- जैसे रूढ़िवादी पुनर्निर्माण और आंतरिक क्रम संवर्धन दोनों का उपयोग करते हैं, और इस प्रकार FV और DG विधियों का सुपरसेट होता है।$P_N P_M$

Answer 2

FEM और FVM के वैचारिक अंतर एक पेड़ और एक देवदार के बीच के अंतर के रूप में सूक्ष्म हैं।

यदि आप एक निश्चित FEM योजना की तुलना किसी विशेष समस्या पर लागू FVM विवेकाधिकार से करते हैं तो आप मूलभूत अंतरों की बात कर सकते हैं जो विभिन्न कार्यान्वयन दृष्टिकोणों और विभिन्न सन्निकटन गुणों में स्पष्ट हो जाते हैं (जैसा कि @Jed Brown ने उनके उत्तर में दिया है)।

लेकिन सामान्य तौर पर मैं कहूंगा कि FVM FEM का एक विशेष मामला है, जो कोशिकाओं और टुकड़ों की निरंतर परीक्षण कार्यों के ग्रिड का उपयोग करता है। इस संबंध का उपयोग एफवीएम के अभिसरण विश्लेषण के लिए भी किया जाता है क्योंकि यह ग्रॉसमैन, रूस एंड स्टाइनस: न्यूमेरिकल ट्रीटमेंट ऑफ पार्टिकल डिफरेंशियल इक्वेशन की पुस्तक में पाया जा सकता है ।

Answer 3

मूल अंतर केवल परिणामों से जुड़े होने का अर्थ है। एफडीएम समाधान के किसी भी पहलू के बिंदु मूल्यों की भविष्यवाणी करता है। इन मूल्यों के बीच प्रक्षेप अक्सर उपयोगकर्ता की कल्पना पर छोड़ दिया जाता है। FVM विशिष्ट नियंत्रण संस्करणों के भीतर संरक्षित चर के औसत की भविष्यवाणी करता है। इसलिए यह एकीकृत संरक्षित चर की भविष्यवाणी करता है और इसे कमजोर (बंद) समाधानों में परिवर्तित करने के लिए दिखाया जा सकता है। एफईएम असतत मूल्यों का एक सेट देता है जिसमें से एक अनुमानित समाधान को आधार फ़ंक्शन के सेट को लागू करके हर जगह असंदिग्ध रूप से घटाया जा सकता है। आमतौर पर, लेकिन जरूरी नहीं कि इसमें शामिल चर रूढ़िवादी हों। एक विशेष चतुर्भुज नियम के अनुसार, कुछ अर्थों में रूढ़िवादी अंतर विधियां होना संभव है।

ये परिभाषा के मामले हैं। तीनों विधियों की कई विविधताएँ हैं। हर विधि एक प्रकार से साफ नहीं है, और विवरण आवेदन क्षेत्रों के बीच भिन्न होता है। एक नई विधि का आविष्कार करने वाले शोधकर्ता उन उपकरणों को रोजगार देते हैं जो उन गुणों को प्रदान करने में मदद करेंगे जिनकी वे तलाश कर रहे हैं। ऐसा लगता है, जैसा कि आपने पाया है, एक आधिकारिक चर्चा करना मुश्किल है और मेरे लिए एक प्रदान करना मुश्किल होगा। सबसे अच्छी सलाह जो मैं दे सकता हूं, वह है कि आप पूरी तरह से स्पष्ट उत्तर की उम्मीद किए बिना पढ़ना जारी रखें, लेकिन उन चीजों के लिए जो आपको समझ में आती हैं, उन पर विश्वास करना।