एक एसपीडी ट्रिडिएगलल लीनियर सिस्टम को देखते हुए, क्या हम पूर्वगामी हो सकते हैं ताकि किसी भी तीन सूचकांकों को ओ (1) समय में जोड़ा जा सके?

एक सममितीय सकारात्मक निश्चित त्रिदलीय रैखिक प्रणाली पर विचार करें जहां और । तीन सूचकांकों को देखते हुए , अगर हम केवल समीकरण पंक्तियों को कड़ाई से और पकड़ के बीच मान लेते हैं, तो हम प्रपत्र समीकरण को प्राप्त करने के लिए मध्यवर्ती चरों को समाप्त कर सकते हैं जहाँ । इस समीकरण के मूल्य से संबंधित है को "बाहर" प्रभाव से स्वतंत्र (जैसे कि, अगर एक बाधा को प्रभावित करने पेश किया गया था)।

A x = b

$A x = b$

A \in R^{n \times n}

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

b \in R^{n}

$b \in \mathbb{R}^n$

0 \leq i < j < k < n

$0 \le i < j < k < n$

i

$i$

k

$k$

u x_{i} + v x_{j} + w x_{k} = c

$u x_i + v x_j + w x_k = c$

v > 0

$v > 0$

x_{j}

$x_j$

x_{i}, x_{k}

$x_i,x_k$

x_{0}

$x_0$

प्रश्न : क्या समय में रैखिक प्रणाली को प्रीप्रोसेस करना संभव है ताकि किसी भी लिए लिंकिंग समीकरण को समय में निर्धारित किया जा सके ? $Ax = b$ $O(n)$ $(i,j,k)$ $O(1)$

यदि का विकर्ण 2 है, तो ऑफडागोनल्स और , वांछित परिणाम विवेकीकृत पॉइसन समीकरण के लिए विश्लेषणात्मक परिणाम है। दुर्भाग्यवश, सामान्य एसपीडी ट्राइडीगोनल सिस्टम को ट्राइडियोगल संरचना को तोड़ने के बिना एक निरंतर गुणांक पॉइज़न समीकरण में बदलना संभव नहीं है, अनिवार्य रूप से क्योंकि विभिन्न चर में "स्क्रीनिंग" (स्थानीय रूप से सख्त सकारात्मक संवेदनशीलता) के विभिन्न स्तर हो सकते हैं। का एक सरल विकर्ण स्केलिंग , उदाहरण के लिए, आधे से समाप्त कर सकते हैं के DOFs नहीं बल्कि अन्य आधा। $A$ $-1$ $b = 0$ $x$ $2n-1$ $A$

सहज रूप से, इस समस्या के समाधान के लिए समस्या को व्यवस्थित करने की आवश्यकता होगी ताकि स्क्रीनिंग की मात्रा को रैखिक आकार के सरणी में संचित किया जा सके और फिर दिए गए ट्रिपल के लिए लिंकिंग समीकरण में आने के लिए किसी तरह "रद्द" किया जा सके।

अद्यतन (अधिक अंतर्ज्ञान) : पीडीई के संदर्भ में, मेरे पास 1 डी में एक विवेकाधीन रैखिक अण्डाकार समस्या है, और मैं जानना चाहता हूं कि क्या मैं किसी प्रकार के "विश्लेषणात्मक" समाधान का उत्पादन करने के लिए प्री-कॉम्प्लेक्शन में खर्च कर सकता हूं जिसे देखा जा सकता है में समय है, जहां मैं अलग-अलग है, जहां सीमा की स्थिति कर रहे हैं की अनुमति दी हूँ। $O(n)$ $O(1)$

linear-algebra poisson

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

जवाबों:

यहाँ कुछ अस्थिर समाधान है जो केवल तब काम करता है जब चर के बीच युग्मन हमेशा नोंडेगेंरेट होता है। सादगी के लिए मान लें कि । सबसे पहले, लिए लिंकिंग समीकरणों को pre , के लिए कहें, $b = 0$ $n$ $(0,i,n-1)$ $0 \le i < n$

x_{i} = a_{i} x_{0} + b_{i} x_{n - 1}

$x_i = a_i x_0 + b_i x_{n-1}$

अब, देखते हुए , हम th और th को समीकरणों को जोड़ सकते हैं और प्राप्त करने के लिए को समाप्त कर सकते हैं $i < j$ $i$ $j$ $x_{n-1}$

\begin{aligned} b_{j} x_{i} & = a_{i} b_{j} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{i} x_{j} & = a_{j} b_{i} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{j} x_{i} - b_{i} x_{j} & = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) x_{0} \\ x_{i} & = \frac{a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}}{b_{j}} x_{0} + \frac{b_{i}}{b_{j}} x_{j} \end{aligned}

$\begin{aligned} b_j x_i &= a_i b_j x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_i x_j &= a_j b_i x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_j x_i - b_i x_j &= (a_i b_j - a_j b_i) x_0 \\ x_i &= \frac{a_i b_j - a_j b_i}{b_j} x_0 + \frac{b_i}{b_j} x_j \end{aligned}$

यह प्रक्रिया दिए गए को समाप्त करने के लिए एक बार फिर से दोहराई जा सकती है । दुर्भाग्य से, हम पास स्थिरता खो देते हैं , या सामान्य तौर पर अगर प्रणाली स्वतंत्र ब्लॉक में बदल जाती है। अगर यह कोई समस्या नहीं है, लेकिन मैं छोटे लेकिन सकारात्मक मूल्यों के टूटने के बारे में चिंतित हूं। $x_0$ $(i,j,k)$ $b_j = 0$ $b_j = 0$

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

इसे लागू करने के बाद, मैं पुष्टि कर सकता हूं कि (1) यह सटीक अंकगणित में काम करता है और (2) यह बेहद अस्थिर है। सहज रूप से, यह समाधान घातीय कार्यों के एक्सट्रपलेशन का एक गुच्छा करता है, जो अण्डाकार समस्याओं के अच्छे प्रक्षेप चरित्र को तोड़ता है।

— ज्योफ्री इरविंग

ऐसा लगता है कि आपके दृष्टिकोण को सभी आंतरिक सूचकांकों के लिए ग्रीन के कार्य की तरह कुछ पूर्ववर्ती करना है। यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि जब आपको परेशानी होगी , क्योंकि सीमा मूल्यों के बारे में जानकारी शायद ही ब्याज के बिंदु पर फैल सकती है। मुझे नहीं लगता कि इसके आसपास कोई सामान्य रास्ता होगा। ऐसा लगता है कि आप एक ट्री स्ट्रक्चर बनाने से बेहतर हो सकते हैं (शायद यह प्रीकंप्यूटिंग प्रयास है) जो आपको संभावित परेशानी स्पॉट को बायपास करने के लिए डोमेन के सब-ग्रीन के लिए ग्रीन के फ़ंक्शन को प्राप्त करने की अनुमति देता है।

b_{j} \approx 0

$b_j\approx 0$

n \log n

$n\log n$

— विक्टर लियू

ट्री वर्ज़न प्रीकम्प्यूट प्लस प्रति ट्रिपल है। दुर्भाग्य से मैं विशेष रूप से रैखिक समय के समाधान के लिए खोज रहा हूं।

O (n)

$O(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— जेफ्री इरविंग

मुझे आश्चर्य है कि यदि आप ए के चक्रीय-कमी कारक के साथ कुछ उपयोगी कर सकते हैं (जो मुझे लगता है कि अभी भी ओ (एन) आकार है), ए के एक सन्निहित प्रिंसिपल सबमेट्रिक्स को फैक्टरिंग करते समय अपरिवर्तित रहने वाले ब्लॉक के रूप में अधिक से अधिक। यह आपको O (1) देता है, लेकिन शायद O (log n) ...

— रॉबर्ट ब्राइडसन
स्रोत

हाँ, समाधान तत्काल है, लेकिन दुख की बात है वांछित कागज शीर्षक ("बाध्य बाधाओं के साथ उत्तल त्रिदलीय चतुर्भुज कार्यक्रमों के लिए एक रैखिक समय प्रत्यक्ष सॉल्वर")।

O (\log n)

$O(\log n)$

— ज्योफ्री इरविंग

परिशोधन का कोई मौका आपकी मदद नहीं कर रहा है?

— रॉबर्ट ब्रिडसन

बहुत अधिक अन्य परिशोधन चल रहा है, इसलिए यह काफी संभव है। मैं नहीं जानता कि कैसे अभी तक, हालांकि।

— ज्योफ्री इरविंग

यह वही है जो मुझे लागत को दूर करने की आवश्यकता है: cstheory.stackexchange.com/questions/18655/… ।

— ज्योफ्री इरविंग

महान! किसी ने उस अद्भुत प्रश्न का अद्भुत समाधान पोस्ट किया, इसलिए मुझे अब इस प्रश्न के उत्तर की आवश्यकता नहीं होनी चाहिए। उस प्रश्न में अर्धसम गुणा गुणन एक मध्यवर्ती चर को समाप्त कर रहा है।

— जेफ्री इरविंग

यहां एक और प्रयास किया गया है, जो रद्द करने की विधि की तुलना में अधिक स्थिर है लेकिन फिर भी बहुत अच्छा नहीं है।

यदि एक SPD ट्रिडियोनियल मैट्रिक्स है, तो Meurant [1] की प्रविष्टियों के लिए निम्न स्थिर सूत्र देता है। $A$ $B = A^{-1}$

B_{i j} = b_{i + 1} \dots b_{j} \frac{d_{j + 1} \dots d_{n}}{δ_{i} \dots δ_{n}}

$B_{ij} = b_{i+1}\cdots b_j \frac{d_{j+1}\cdots d_n}{\delta_i \cdots \delta_n}$

जहां , नकारात्मक offdiagonal प्रविष्टियों और कर रहे हैं से प्राप्त कर रहे और की factorizations । के लिए जोड़ने सूत्र रूप है $i \le j$ $b_i$ $d_i,\delta_i$ $UL$ $LU$ $A$ $i < j < k$

x_{j} = {(\begin{matrix} B_{j i} \\ B_{k i} \end{matrix})}^{T} {(\begin{array}{cc} B_{i i} & B_{i k} \\ B_{k i} & B_{k k} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} x_{i} \\ x_{k} \end{matrix})

$x_j = \left(\begin{array}{c}B_{ji} \\ B_{ki}\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc}B_{ii} & B_{ik} \\ B_{ki} & B_{kk}\end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c}x_i \\ x_k\end{array}\right)$

दुर्भाग्य से, यह सूत्र अस्थिर रहता है। Intuitively, अगर और यथोचित पास एक डेल्टा स्रोत हैं पर में एक के समान है , और उल्टे मैट्रिक्स विलक्षण के करीब है। $i$ $k$ $i$ $k$ $2 \times 2$

[१]: जेरार्ड मयूरेंट (१ ९९ २), "सममित विकर्ण और ब्लॉक ट्राइडियोगनल मैट्रिस के व्युत्क्रम पर एक समीक्षा"।

— जेफ्री इरविंग
स्रोत