वोरोनोई टेसेलेशन और डेलॉना ट्राइंगुलेशन समस्याएं एक दूसरे के दोहरे कैसे हैं?


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मुझे हमेशा बताया गया है कि वोरोनोई आरेख डेलायने ट्राइंगुलेशन समस्या का दोहराव है। किस मायने में वे एक दूसरे के दोहरे हो सकते हैं? मैंने सोचा था कि दोहरी समस्याओं (यानी रैखिक प्रोग्रामिंग में) को एक ही उत्तर का उत्पादन करना चाहिए। स्पष्ट रूप से, दो समस्याओं का एक ही समाधान नहीं है। हम उन्हें दोहरे कैसे मान सकते हैं?


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विभिन्न संदर्भों में द्वंद्व के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन रिक्त स्थान में दोहरे स्थान हो सकते हैं; एक समारोह अंतरिक्ष की दोहरी अंतरिक्ष पर सभी रैखिक functionals का सेट है वीगणित में द्वंद्ववाद पर विकिपीडिया लेख देखें और उदाहरण के लिए द्वैत सिद्धांतों की सूची । उस पृष्ठभूमि को देखते हुए, यह सवाल "दोहरी समस्या होने का क्या मतलब है" बहुत अस्पष्ट और व्यापक दोनों है, क्योंकि यह संदर्भ-निर्भर है। VV
जियोफ ऑक्सबेरी

यह सच है, लेकिन इस मामले में, मैं इस विशेष समस्या के अर्थ में द्वंद्व के लिए विशेष रूप जिक्र कर रहा हूँ
पॉल

मुझे लगा, इसलिए मैंने उस हिस्से को संपादित किया जहां आपने पूछा था "दोहरी समस्या होने का क्या मतलब है?" अधिक सामान्य सेटिंग में।
ज्योफ ऑक्सबेरी

जवाबों:


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इसका सरल उत्तर यह है कि वे दोहरी हैं क्योंकि प्रत्येक डेलुनाय त्रिभुज के लिए एक और केवल एक ही वोरोनोई टेसलेशन और विसे वर्सा मौजूद है। अधिकांश मामलों के लिए यह सही है, लेकिन ऐसे मामले हैं जो पत्राचार एक से एक नहीं है। उदाहरण के लिए मामले में जब वोरोनोई टेसलेशन एक नियमित वर्ग ग्रिड है।

वोरोनोई टेसेलेशन और डेलॉना ट्राइएंगुलेशन दोनों अंकों के दिए गए सेट के लिए गणना करने के लिए गैर-तुच्छ हैं। लेकिन एक बार जब आप एक दूसरे को पा लेते हैं तो ढूंढना आसान होता है।

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PRRiPiP

Delaunay triangulation को देखते हुए बस पड़ोसी त्रिकोण circumcircle केंद्रों को जोड़ते हैं।

PP


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केवल यह बताने के लिए कि अन्य क्या कह रहे हैं: नीचे का नीला भाग वोरोनोई आरेख है, लाल रंग का दोहरी डेलुनाय त्रिभुज। वे एक दूसरे के लिए ज्यामितीय विमान रेखांकन के रूप में दोहरे हैं। वोरोनोई आरेख से डेलौनाय त्रिभुज को प्राप्त करने के लिए तुच्छ है। रिवर्स दिशा इतनी स्पष्ट नहीं है, लेकिन यह सच है कि डेलॉनाय त्रिकोण और कुछ गणना से आप वोरोनोई आरेख की गणना कर सकते हैं।
          वोर दिग डेल त्रि
मैंने कम्प्यूटेशनलगोमेट्री पैकेज का उपयोग करके गणित के 50 यादृच्छिक अंकों के लिए इन आरेखों की गणना की । मेरे कोड के लिए इस लिंक को देखें ।


जानकारी के लिए धन्यवाद। यह बहुत बुरा है कि मैथेमेटिका केवल वोरोनोई टेसलेशन को अनवैलिड करता है; हम एक परियोजना के लिए कुछ महीने पहले ऐसी क्षमता का इस्तेमाल कर सकते थे!
ऐनीमिज़ल

पायथन में भी यह करना बहुत आसान है। Scipy.spatial देखें।
मेवप्लप

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PGGiPiPjP,jiP

एक अर्थ में, यह सांख्यिकीय भौतिकी में त्रिकोणीय और हेक्सागोनल अक्षांशों के बीच मौजूद द्वैत के समान है। एक समबाहु त्रिकोणीय जाली में कोशिकाओं के मध्यबिंदु, जब जुड़े हुए एक हेक्सागोनल जाली, और इसके विपरीत

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी वोरोनोई tessellations Delaunay त्रिकोण के दोहरे नहीं हैं; यह संबंध संभवतः केवल अनधिकृत वोरोनोई टेसलेशन के लिए मान्य है । भारित टेसेलेशन विधियों के लिए, जिसमें यूक्लिडियन दूरी के अलावा कुछ और किनारों को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जिससे अनुनाद टूट जाता है।


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ज्योफ की टिप्पणी पर विस्तार से बताने के लिए: Delaunay triangulation और Voronoi आरेख "समस्या" के बजाय "ऑब्जेक्ट" हैं। इसलिए, "समाधान" बोलना थोड़ा बंद है।

द्वैतता tessalations और triangulations के बीच है: triangulation से tesselation में जाने के लिए, आप त्रिकोण के कोने के वोरोनोई सेट को बनाते हैं। वोरोनोई टेस्यूलेशन से डिलायने ट्राइंगुलेशन में जाने के लिए, आप दो कोशिकाओं के "मिडपॉइंट" को एक दूसरे से जोड़ते हैं।


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