परिमित मात्रा पद्धति का उपयोग करते समय सीमा की शर्तें कैसे लागू की जानी चाहिए?

अपने पिछले प्रश्न के बाद, मैं इस गैर-समरूप परिमित मात्रा जाल में सीमा स्थिति लागू करने का प्रयास कर रहा हूं,

बाएं हाथ की सीमा में भूत कोशिका शामिल है।

मैं डोमेन के lhs ( लिए रॉबिन प्रकार की सीमा स्थिति लागू करना चाहूंगा , जैसे कि, $x=x_L)$

σ_{L} = (d u_{x} + a u) |_{x = x_{L}}

$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$

जहां सीमा मान है, क्रमशः सीमा, उत्तोलन और प्रसार पर परिभाषित गुणांक हैं; $\sigma_L$ $a, d$ ,सीमा पर मूल्यांकन किए गएकाव्युत्पन्न हैऔरवह चर है जिसके लिए हम हल कर रहे हैं। $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ $u$ $u$

संभव दृष्टिकोण

मैं उपरोक्त परिमित मात्रा जाल पर इस सीमा स्थिति को लागू करने के दो तरीकों के बारे में सोच सकता हूं:

एक भूत सेल दृष्टिकोण।

को भूत कोशिका सहित एक परिमित अंतर के रूप में लिखें । $u_x$
$σ_{L} = d \frac{u_{1} - u_{0}}{h_{-}} + a u (x_{L})$ $\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$
A. तो अंक साथ रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करें $x_0$ मध्यवर्ती मान, को खोजने के लिए और । $x_1$ $u(x_L)$

बी वैकल्पिक रूप से कोशिकाओं से अधिक औसत से, $u(x_L)$ $u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

या तो मामले में, भूत सेल पर निर्भरता को सामान्य तरीके से समाप्त किया जा सकता है (परिमित मात्रा समीकरण में प्रतिस्थापन के माध्यम से)।
एक एक्सट्रपलेशन दृष्टिकोण।

( ) के मानों का उपयोग करके रैखिक (या द्विघात) फ़ंक्शन को फ़िट करें । यह पर मूल्य प्रदान करेगा $u(x)$ $x_1, x_2$ $x_3$ $u(x_L)$ । फिर रैखिक (या द्विघात) फ़ंक्शन को सीमा पर व्युत्पन्न, के मूल्य के लिए एक अभिव्यक्ति खोजने के लिए विभेदित किया जा सकता है । यह दृष्टिकोण भूत सेल का उपयोग नहीं करता है । $u_x(x_L)$

प्रशन

तीनों में से कौन सा दृष्टिकोण, (1 ए, 1 बी या 2) "मानक" है या आप सिफारिश करेंगे?
कौन सा दृष्टिकोण सबसे छोटी त्रुटि का परिचय देता है या सबसे स्थिर है?
मुझे लगता है कि मैं खुद भूत सेल दृष्टिकोण को लागू कर सकता हूं, हालांकि, एक्सट्रपलेशन दृष्टिकोण कैसे लागू किया जा सकता है, क्या इस दृष्टिकोण का नाम है?
क्या रैखिक फ़ंक्शन या द्विघात समीकरण को फिट करने के बीच कोई स्थिरता अंतर है?

विशिष्ट समीकरण

मैं इस सीमा को अ-रेखीय स्रोत शब्द के साथ संवहन-विसरण समीकरण (संरक्षण रूप में) के लिए लागू करना चाहता हूं,

u_{t} = - a u_{x} + d u_{x x} + s (x, u, t)

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

इसके बाद के संस्करण पर इस समीकरण Discretising का उपयोग कर जाल -method देता है, $\theta$

w_{j}^{n + 1} - θ r_{a} w_{j - 1}^{n + 1} - θ r_{b} w_{j}^{n + 1} - θ r_{c} w_{j + 1}^{n + 1} = w_{j}^{n} + (1 - θ) r_{a} w_{j - 1}^{n} + (1 - θ) r_{b} w_{j}^{n} + (1 - θ) r_{c} w_{j + 1}^{n} + s (x_{j}, t_{n})

$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$

हालांकि सीमा बिंदु (के लिए ) मैं एक पूरी तरह से निहित योजना (का उपयोग करना पसंद ) जटिलता को कम करने के लिए, $j=1$ $\theta=1$

w_{1}^{n + 1} - r_{a} w_{0}^{n + 1} - r_{b} w_{1}^{n + 1} - r_{c} w_{2}^{n + 1} = w_{1}^{n} + s_{1}^{n}

$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$

भूत बिंदु , यह सीमा स्थिति लागू करके हटा दिया जाएगा। $w_0^{n+1}$

गुणांक की परिभाषाएँ हैं,

r_{a} = \frac{Δ t}{h_{j}} (\frac{a h_{j}}{2 h_{-}} + \frac{d}{h_{-}})

$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$

r_{b} = - \frac{Δ t}{h_{j}} (\frac{a}{2} [\frac{h_{j - 1}}{h_{-}} - \frac{h_{j + 1}}{h_{+}}] + d [- \frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}}])

$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$

r_{c} = \frac{Δ t}{h_{j}} (- \frac{a h_{j}}{2 h_{+}} + \frac{d}{h_{+}})

$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$

सभी " " चर को उपरोक्त आरेख के रूप में परिभाषित किया गया है। अंत में, जो समय कदम है ( एनबी $h$ $\Delta t$ यह एक है सरलीकृत निरंतर के मामले में और गुणांक, व्यवहार में " $a$ $d$ " गुणांकों से थोड़ा अधिक इस कारण के लिए जटिल कर रहे हैं)। $r$

boundary-conditions finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
स्रोत

LeVeque की परिमित मात्रा के तरीकों पर हाल ही की पुस्तक भूत कोशिकाओं की वकालत करती है, कार्यान्वयन की उनकी सादगी के कारण, लेकिन मुझे त्रुटि शर्तों की चर्चा याद नहीं है।

— ज्योफ ऑक्सीबेरी

क्या आप उन समीकरणों को नीचे रख सकते हैं जिन्हें आप हल करना चाहते हैं? जाने का रास्ता भी समस्या पर निर्भर करेगा। उदाहरण के लिए, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि 'न्यूमैन' भाग के कारण, सीमा की स्थिति स्वाभाविक रूप से असतत निर्माण में हल हो गई है।

— जन

@GeoffOxberry सुझाव के लिए धन्यवाद। मैं भूत सेल का उपयोग करके खुश हूं, मैं कोशिश करूंगा और उस तरह से लागू करूंगा।

— बॉयफ्रेल

@ जान मैं शुरू में गैर-वर्दी जाल विवेक के कारण जटिलता के कारण समीकरणों को टालने से बचता था, लेकिन मैंने इन विवरणों के साथ सवाल को अपडेट कर दिया। यह एक प्रशंसा-प्रसार की समस्या है। मुझे यकीन नहीं है कि आप "स्वाभाविक रूप से हल" से क्या मतलब है।

— बॉयफ्रेल

जैसे कि न्यूमैन बीसी को स्वाभाविक रूप से एफईएम योजनाओं में हल किया जाता है, उदाहरण के लिए, पॉइसन का eqn। FVM के लिए मैं के बारे में सोच: प्रथम कक्ष पर विचार करें

। यदि आपके पास

लिए एक मूल्य है

\int_{0}^{h} d_{x} (a u + d u_{x}) d x = (a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (a u + d u_{x}) |_{x = 0} = \int s

$\int_0^h d_x (au+du_x) \text{d}x = (au+du_x)|_{x=h_1}-(au+du_x)|_{x=0} = \int s$

u_{x}

$u_x$ सीमा पर, इसे विवेकाधीन करने की आवश्यकता नहीं है।

— Jan

यह ठोस सवालों के जवाब के बजाय FVM पर एक सामान्य टिप्पणी है। और यह संदेश यह है कि सीमा शर्तों के ऐसे तदर्थ विवेक की आवश्यकता नहीं होनी चाहिए।

एफई- या एफडी-तरीकों के विपरीत, जहां शुरुआती बिंदु समाधान के लिए एक असतत एनाज़ैट है, एफवीएम दृष्टिकोण समाधान को अछूता छोड़ देता है (पहले) लेकिन डोमेन के विभाजन पर औसत। समाधान का विवेकाधिकार केवल तभी खेल में आता है, जब संतुलन समीकरणों की प्राप्त प्रणाली को अंतरों में प्रवाह को सन्निकट करके बीजगणितीय समीकरण प्रणाली में बदल दिया जाता है।

इस अर्थ में, सीमा की स्थितियों को देखते हुए, मैं यथासंभव लंबे समय तक समाधान के निरंतर रूप से चिपके रहने और केवल अंत में असतत अनुमानों को पेश करने की सलाह देता हूं।

कहो, समीकरण पूरे डोमेन पर रखती है। तब यह उपडोमेन , और अंतरिक्ष में एक एकीकरण

u_{t} = - a u_{x} + d u_{x x} + s (x, u, t)

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

[0, h_{1})

$[0,h_1)$

\begin{aligned} \int_{0}^{h_{1}} u_{t} d x & = & \int_{0}^{h_{1}} \partial_{x} (- a u + d u_{x}) d x & + & \int_{0}^{h_{1}} s (x, u, t) d x \\ = & (- a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (- a u + d u_{x}) |_{x = 0} & + & \int_{0}^{h_{1}} s (x, u, t) d x, \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$

u

$u$

लेकिन अब, एक बीजीय समीकरण में इस बारी करने के लिए, एक आम तौर पर माना जाता है कि सेल पर समारोह अंतरिक्ष में स्थिर है, यानी $C_i$ $u$ $u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$ $u(x_i)\approx u_i$ $u_x|_{h_i}$ $u_{i}$ $u_{i+1}$ $u$ सेल बोर्डर्स में एक इंटरपोलेशन (यानी केंद्रीय अंतर या अपवर्ज योजनाओं) का उपयोग कर सकते हैं।

सीमा पर क्या करना है? उदाहरण में, यह अनुमान लगाने के बारे में है $(-au + du_{x})|_{x=0}$ $u$

$u|_{x=0}=g_D$ $u_0$ $u_1$ $g_D$
${u_x|}_{x=0} = g_N$ $u_0$ $u_1$ $g_N$
$(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$

हालांकि, मुझे यकीन नहीं है, इस मामले में क्या करना है कि रॉबिन टाइप बीसी हैं जो फ्लक्स से सीधे मेल नहीं खाते हैं। इसके लिए कुछ नियमितीकरण की आवश्यकता होगी, क्योंकि वियोजन और प्रसार मापदंडों की छूट।

===> FVM पर कुछ व्यक्तिगत विचार <===

एफवीएम एक स्केल एफडीएम नहीं है, क्योंकि नियमित ग्रिड पर 1 डी पॉइसन के समीकरणों के उदाहरण अक्सर सुझाव देते हैं
FVM में एक ग्रिड नहीं होना चाहिए, इंटरफेस के साथ सेल होना चाहिए और, यदि आवश्यक हो, केंद्र
इसलिए मुझे लगता है कि विवेक का एक स्टैंसिल निरूपण उपयुक्त नहीं है
$i$ $\Omega_i$ $u_i$
यह 2 डी या 3 डी समस्याओं के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, लेकिन 1 डी में एक स्पष्ट संकेतन रखने में भी मदद कर सकता है: सेल की मात्रा (1 डी: लंबाई) के बीच अंतर करें, यहां , और केंद्रों के बीच की दूरी, शायद में 1 डी: $h_i$ $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$

— जनवरी
स्रोत

आपके मार्गदर्शन के लिए धन्यवाद जब मैं इस पद्धति के बारे में सीख रहा था। शायद मैं अपने विचार भी साझा कर सकूं। मैं मानता हूं कि जब तक संभव हो, एफवीएम फॉर्म के साथ कहना सबसे अच्छा है; विशेष रूप से सीमा स्थितियों के लिए जैसा कि आपने दिखाया है! लेकिन मुझे लगता है कि मैट्रिक्स के रूप में समीकरण लिखने के लिए लागू करते समय यह बहुत उपयोगी है ; यह एक सटीक और स्पष्ट अंकन है। साथ ही, स्थिरता और अन्य संख्यात्मक गुण महत्वपूर्ण रूप से इस बात पर निर्भर करते हैं कि समस्या कैसे उत्पन्न होती है (FVM के लिए इसका मतलब है कि सेल के चेहरे कैसे फ़्लक्स होते हैं)। उस संबंध में, मैं कोशिकाओं पर पुनरावृत्ति के लिए एक मैट्रिक्स समीकरणों को प्राथमिकता देता हूं।

— बॉयफ्रेल

शायद मेरा आखिरी बिंदु अस्पष्ट था। अंत में, आपके पास एक गुणांक मैट्रिक्स और एक चर वेक्टर होगा। मैं अपनी पोस्ट संपादित करूंगा। मैं वास्तव में करने की तुलना में अधिक व्याख्या करने वाला था।

— Jan

शानदार, मैं आपकी बात समझता हूं। धन्यवाद।

— बॉयफ्रेल