क्या मैट्रिक्स को निष्क्रिय करने के लिए "कोफ़ेक्टर तकनीक" का कोई व्यावहारिक महत्व है?

Question

शीर्षक सवाल है। इस तकनीक में "कॉफ़ैक्टर्स के मैट्रिक्स", या "एडजगेट मैट्रिक्स" का उपयोग करना शामिल है, और एक वर्ग मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के घटकों के लिए स्पष्ट सूत्र देता है। तुलना में बड़े मैट्रिक्स के लिए हाथ से करना आसान नहीं है $3\times 3$। एक के लिए $n\times n$ मैट्रिक्स, यह मैट्रिक्स के ही निर्धारक कंप्यूटिंग और कंप्यूटिंग की आवश्यकता $n^2$ के निर्धारक $(n-1)\times(n-1)$ मैट्रिक्स। इसलिए मैं अनुमान लगा रहा हूं कि यह अनुप्रयोगों के लिए उपयोगी नहीं है। लेकिन मैं पुष्टि करना चाहता हूं।

मैं परिपक्वता के बारे में प्रमेयों को सिद्ध करने में तकनीक के सैद्धांतिक महत्व के बारे में नहीं पूछ रहा हूँ।

Answer 1

आप सही हैं - यह कंप्यूटिंग के लिए बिल्कुल कोई व्यावहारिक प्रासंगिकता नहीं है। यहां तक ​​कि अगर निर्धारक की गणना एक ऑपरेशन थी, तो विधि की जटिलता कम से कम O ( n 3 ) होगी और, परिणामस्वरूप, गाऊसी उन्मूलन के समान जटिलता। व्यवहार में, मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना वास्तव में घातीय जटिलता है, जिससे यह विधि पूरी तरह से अनुपयोगी हो जाती है।$O(n)$$O(n^3)$

Comments

$O(n!)$$O(n^3)$

$O(n!)$

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$$O(n^3)$

हां, आप सही हैं - एक अपघटन की कीमत पर निर्धारक की गणना की जा सकती है । (पुनरावर्ती विस्तार का उपयोग करके पाठ्य पुस्तकों में दिखाया गया भोली तरीका में घातीय है - पॉल द्वारा उल्लिखित जटिलतालेकिन यह अभी भी प्रस्तावित एल्गोरिथ्म के लिए की समग्र जटिलता पैदा करता है - गॉसियन उन्मूलन से कहीं अधिक, यदि कोई इसका उपयोग करने के लिए, और पुनरावृत्त सॉल्वर से भी अधिक था। $LU$$n$$n!$$O(n^5)$

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

सही बात। पंक्ति में कमी अपघटन की गणना का एक आधा हिस्सा है । यह से फैक्टर को कम करता है। काम का दूसरा हिस्सा मैट्रिक्स के उपज, पहचान मैट्रिक्स से शुरू होने वाले एक ही संचालन कर रहा है । यह सच है कि आप बाद वाले से बच सकते हैं यदि आप सभी के बारे में परवाह करते हैं, तो यह निर्धारक है। $LU$$A$$U$$L$

— वुल्फगैंग बैंगथ

Answer 2

मैं भीड़ के खिलाफ जा रहा हूँ - adjugate मैट्रिक्स वास्तव में छोटे आयाम (जैसे चार या उससे कम) के साथ कुछ विशेष अनुप्रयोगों के लिए बहुत उपयोगी है, विशेष रूप से जब आपको मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है लेकिन पैमाने की परवाह नहीं करते हैं।

दो उदाहरणों में एक व्युत्क्रम होमोग्राफी की गणना और बहुत छोटी समस्याओं के लिए रेलेह भागफल प्रतिधारण शामिल है (जो कि समीपवर्ती के उपयोग द्वारा सरलीकृत किए जाने के अलावा संख्यात्मक रूप से बेहतर है)।

Comments

मैं पूरी तरह से सहमत हूं, कुछ मामले हैं (सामान्य रूप से छोटे मैट्रिस के साथ) जहां यह बहुत मदद करता है! (उदाहरण के लिए, एक छोटे से सिम्प्लेक्स में

— बेरेंट्रिक