मैट्रिक्स तर्कों के साथ एक रैखिक प्रणाली को हल करना

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हम सभी मानक रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए कई कम्प्यूटेशनल तरीकों से परिचित हैं

A x = b .

$Ax=b.$ हालाँकि, मैं उत्सुक हूँ अगर फॉर्म के अधिक सामान्य (परिमित आयामी) रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए कोई "मानक" कम्प्यूटेशनल तरीके हैं

L A = B,

$LA=B,$ जहाँ, कहते हैं,

A

$A$ एक

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$ मैट्रिक्स है,

B

$B$ एक

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$ मैट्रिक्स है, और

L

$L$ एक रैखिक ऑपरेटर है जो

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$ मैट्रिक्स को

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$ मैट्रिक्स में ले जा रहा है, B जोमैट्रिक्स vectorizing शामिल नहीं करता है, मानक के लिए सब कुछ परिवर्तित यानी

A x = b

$Ax=b$ प्रपत्र।

मेरे द्वारा पूछे जाने का कारण यह है कि मुझे लिए निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है $u$ :

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$ जहां

R

$R$ , 2 डी रेडॉन बदलना है

R^{*}

$R^*$ अपने adjoint, और दोनों

u

$u$ और

f

$f$ 2 डी सरणियों (चित्र) कर रहे हैं। इस समीकरण को वेक्टर करना संभव है, लेकिन यह एक दर्द है, खासकर अगर हम 3 डी में जाते हैं।

अधिक आम तौर पर, $nD$ सरणियों के बारे में क्या ? उदाहरण के लिए, हल करना $LA=B$ जहां $A$ और $B$ 3 डी सरणियां हैं (मुझे कुछ बिंदु पर रेडॉन ट्रांसफॉर्म के साथ ऐसा करने की आवश्यकता होगी)।

आगे धन्यवाद, और अगर आप की जरूरत महसूस करने के लिए मुझे एक और StackExchange करने के लिए स्वतंत्र महसूस हो रहा है।

linear-algebra

— icurays1
स्रोत

1

आप एक प्रभावी बहुस्तरीय पूर्वनिर्मित करने में सक्षम हो सकते हैं तब संयुग्म ढाल का उपयोग कर सकते हैं। मेरे पास एक समान समस्या है जहां यह काफी प्रभावी है और बहुत समानांतर है। यदि आप प्रत्यक्ष विधियाँ चाहते हैं, तो इस पेपर में लियपुनोव

— निक

उत्कृष्ट, रेफरी के लिए धन्यवाद! मुझे बस प्रभावी ढंग से काम करने के लिए सीजी मिला, इसलिए मैं खुश हूं।

— icurays1

9

$\mathbb{R}^n$ $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

एक बात आप जब आप सामान्य रैखिक ऑपरेटरों के साथ तटरक्षक (या इसी तरह पुनरावृत्ति दृष्टिकोण) लागू कर रहे हैं के सावधान रहना होगा लागू करने के लिए है adjoint अपने रैखिक ऑपरेटर की ठीक से। यही है, लोगों को अक्सर सही मिलता है, लेकिन लागू करने में गलती करें । $y=F(x)$ $z=F^*(y)$

मैं एक साधारण परीक्षण को लागू करने की सलाह देता हूं जो निम्न पहचान का लाभ उठाता है: किसी भी अनुरूप और , तो जो आप करते हैं, वह और यादृच्छिक मान उत्पन्न करता है , उन्हें क्रमशः अपने आगे और आस-पास के संचालन के माध्यम से चलाएं, और ऊपर के दो आंतरिक उत्पादों की गणना करें। सुनिश्चित करें कि वे उचित परिशुद्धता के भीतर मेल खाते हैं, और कुछ बार दोहराएं। $x$ $y$

⟨ y, F (x) ⟩ = ⟨ F^{*} (y), x ⟩ .

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

संपादित करें: यदि आपका रैखिक ऑपरेटर सममित माना जाता है तो आप क्या करते हैं? ठीक है, आपको उस समरूपता को भी सत्यापित करने की आवश्यकता है। तो एक ही परीक्षण का उपयोग करें, ध्यान दें कि --- और लिए एक ही ऑपरेशन लागू करें । बेशक, ओपी में एक असममित संचालक और एक सममितीय दोनों हैं जिनसे निपटने के लिए ... $F=F^*$ $x$ $y$

— माइकल ग्रांट
स्रोत

धन्यवाद @ChristianClason! मैं अनुभव से जानता हूं कि आसन्न गणनाओं में गलतियां कैसे हो सकती हैं। :) हमारे पैकेज TFOCS में हमने linop_test.mइस कारण से एक दिनचर्या लागू की है । यह पैकेज वेक्टर स्पेस में मैट्रीस, एरे और कार्टेशियन उत्पादों का भी समर्थन करता है।

— माइकल ग्रांट

3

जैसा कि यह पता चला है, क्योंकि मेरी प्रणाली सममित और सकारात्मक निश्चित है (चूंकि मेरे रैखिक ऑपरेटर को रूप में लिखा गया है ), संयुग्म ढाल को इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। आंतरिक उत्पादों की गणना करते समय एकमात्र संशोधन आता है - अर्थात CG में एक विशिष्ट आंतरिक उत्पाद गणना या तरह दिखता है । संशोधित संस्करण में, हम फ्रोबेनियस इनर उत्पाद का उपयोग करते हैं, जिसे हैडमार्ड (पॉइंटवाइज़) उत्पाद की प्रविष्टियों को जोड़कर गणना की जा सकती है। अर्थात $R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

मुझे संदेह है कि जब मैं 3 डी सरणियों में अपग्रेड करता हूं तो यह ठीक हो जाएगा, हालांकि मुझे अभी तक 3 डी सरणियों पर परिभाषित फ्रोबेनियस इनर उत्पाद को देखना है (मैं इस धारणा के तहत काम करूंगा कि मैं फिर से बिंदुवार उत्पाद को योग कर सकता हूं)।

मुझे अभी भी और अधिक सामान्य तरीकों में दिलचस्पी होगी अगर किसी को कोई भी जानता है!

— icurays1
स्रोत