अत्यधिक दोलन अभिन्न संगणना में अत्याधुनिक क्या है?

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मनमाना परिशुद्धता के लिए एक आयाम और उच्च आयाम दोनों में अत्यधिक दोलन अभिन्नों के सन्निकटन में अत्याधुनिक क्या है?

quadrature precision numerical-analysis

इसका बुरा .. अब तक कोई सामान्य तरीका नहीं है .. बस कई प्रयास हैं, लेकिन उम्मीद करते हैं कि वे अब और फिर असफल हो जाएंगे ... कुछ लेखों का दावा है कि उनके पास जैकपॉट है, लेकिन जब यह सच होने के लिए बहुत अच्छा लगता है ... यह है।

@ गीगी: SciComp में आपका स्वागत है! आपकी टिप्पणी थोड़ी अस्पष्ट है; क्या आप इस बारे में विस्तृत रूप से सोच सकते हैं कि अत्यधिक ऑसिलेटरी इंटीग्रल्स के सन्निकटन में कला की स्थिति खराब क्यों है?

— ज्योफ ऑक्सीबेरी

खैर, यह वास्तव में सच है कि अत्यधिक थरथरानवाला अभिन्नों की गणना में अभी तक कोई "जादू की गोली" नहीं है, लेकिन हम जो करते हैं उसके साथ करते हैं, और यदि वे काम करते हैं तो हम हमेशा आभारी हैं।

— JM

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मैं अब क्यूबर्स (बहुआयामी एकीकरण) के लिए क्या किया है, से पूरी तरह परिचित नहीं हूं, इसलिए मैं खुद को द्विघात सूत्र में सीमित करूंगा।

द्विघात अभिन्न के चतुर्भुज के लिए कई प्रभावी तरीके हैं। परिमित दोलन अभिन्न के लिए उपयुक्त तरीके हैं, और अनंत दोलन अभिन्न के लिए विधियाँ हैं।

अनंत ओसीलेटररी इंटीग्रल्स के लिए, इस्तेमाल किए जाने वाले दो अधिक प्रभावी तरीके हैं लॉन्गमैन की विधि और Ooura और मोरी के कारण संशोधित डबल घातीय द्विघात। (लेकिन आर्यह आइसेर्ल्स द्वारा इन दो पत्रों को भी देखें ।)

लॉन्गमैन की विधि एकीकरण अंतराल को विभाजित करके ऑसिलेटरी इंटीग्रल को एक वैकल्पिक श्रृंखला में परिवर्तित करने पर निर्भर करती है, और फिर अनुक्रम परिवर्तन विधि के साथ वैकल्पिक श्रृंखला को समेटती है। उदाहरण के लिए, जब एक ऑसिलेटरी अभिन्न रूप को एकीकृत करता है

\int_{0}^{\infty} f (t) \sin t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

व्यक्ति इसे प्रत्यावर्ती योग में परिवर्तित करता है

\sum_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} f (t) \sin t d टी

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

इस वैकल्पिक राशि की शर्तों की गणना रोमबर्ग की स्कीम या गौसियन क्वाडरेचर जैसे कुछ क्वाडरेचर विधि से की जाती है। लॉन्गमैन की मूल पद्धति में यूलर ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग किया गया था , लेकिन आधुनिक कार्यान्वयन शॉन ट्रांसफॉर्मेशन या लेविन ट्रांसफॉर्म जैसे अधिक शक्तिशाली अभिसरण त्वरण विधियों के साथ ईयूलर की जगह लेते हैं ।

डबल घातीय क्षेत्रकलन विधि, दूसरे हाथ पर, चर का एक चतुर परिवर्तन करता है, और फिर समलम्बाकार नियम का उपयोग करता संख्यानुसार तब्दील अभिन्न मूल्यांकन करने के लिए।

परिमित दोलित्र अभिन्न अंग के लिए, दो कागजों में पाइसेनस (क्वैडपीक के योगदानकर्ताओं में से एक) और ब्रैंडर्स, क्लेंशॉ-कर्टिस क्वाड्रैचर के एक संशोधन का विस्तार करते हैं (जो कि इंटीग्रैंड के अप्रतिष्ठित भाग के चेबिसिव पोलिनोमियल विस्तार का निर्माण करते हैं)। दूसरी ओर, लेविन की विधि , द्विघात के लिए एक संघनन विधि का उपयोग करती है। (मुझे बताया गया है कि अब पुराने स्टैंडबाय, फिलॉन की विधि का अधिक व्यावहारिक संस्करण है, लेकिन मुझे इसके साथ कोई अनुभव नहीं है)।

ये वे तरीके हैं जो मुझे याद हैं; मुझे यकीन है कि मैं थरथरानवाला अभिन्न के लिए अन्य अच्छे तरीकों को भूल गया हूं। मैं इस उत्तर को बाद में संपादित करूंगा यदि मुझे याद है।

— जेएम
स्रोत

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$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

सबसे पहले, थरथरानवाला एकीकरण तरीकों विशिष्ट थरथरानवाला पर ध्यान केंद्रित किया। जैसा कि जेएम ने कहा, प्रमुख लोगों में फिनाइल रेंज इंटीग्रल्स के लिए फिलोन की विधि और क्लेन्शव-कर्टिस विधि (ये दोनों निकट से संबंधित हैं) शामिल हैं, और श्रृंखला एक्सट्रपलेशन आधारित तरीकों और अनंत रेंज इंटीग्रल्स के लिए ऊरा और मोरी की डबल-एक्सपोनेंशियल विधि शामिल हैं।

हाल ही में, कुछ सामान्य तरीके पाए गए हैं। दो उदाहरण:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
Huybrechs और Vandewalle की पद्धति एक जटिल पथ के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता पर आधारित है जहां इंटीग्रैंड गैर- ऑसिलेटरी ( Huybrechs और Vandewalle 2006 ) है।

परिमित और अनंत रेंज अभिन्न तरीकों के लिए अधिक सामान्य तरीकों के बीच कोई अंतर आवश्यक नहीं है, क्योंकि एक कॉम्पैक्ट परिवर्तन को एक अनंत रेंज इंटीग्रल पर लागू किया जा सकता है, जिससे एक सीमित रेंज ओसीलेटरल इंटीग्रल हो सकता है जो अभी भी सामान्य विधि के साथ संबोधित किया जा सकता है, यद्यपि एक अलग थरथरानवाला।

लेविन की विधि को कई आयामों और अन्य तरीकों से पुनरावृत्ति करके कई आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन जहां तक मुझे पता है कि साहित्य में वर्णित सभी तरीकों के अब तक नमूना अंक हैं जो कि एक-आयामी नमूना बिंदुओं या किसी अन्य चीज का बाहरी उत्पाद हैं आयाम के साथ तेजी से बढ़ता है, इसलिए यह तेजी से हाथ से निकल जाता है। मुझे उच्च आयामों के लिए अधिक कुशल तरीकों की जानकारी नहीं है; यदि कोई पाया जा सकता है कि उच्च आयामों में एक विरल ग्रिड पर नमूना अनुप्रयोगों में उपयोगी होगा।

अधिक सामान्य तरीकों के लिए स्वचालित दिनचर्या बनाना सबसे प्रोग्रामिंग भाषाओं (सी, पायथन, फोरट्रान, आदि) में मुश्किल हो सकता है जिसमें आप सामान्य रूप से अपने इंटीग्रैंड को एक फ़ंक्शन / दिनचर्या के रूप में प्रोग्राम करने और इसे इंटीग्रेटर रूटीन में पास करने की अपेक्षा करेंगे, क्योंकि अधिक सामान्य तरीकों को इंटीग्रैंड की संरचना (कौन से हिस्से थरथरानवाला, किस प्रकार के थरथरानवाला, आदि) को जानने की जरूरत है और इसे "ब्लैक बॉक्स" के रूप में नहीं माना जा सकता है।

— एंड्रयू मोयलान
स्रोत

Huybrechs / Vandewalle कागज एक ऐसी चीज़ है जिसे मैंने पहले से नहीं देखा है, इसलिए उसके लिए +1 है। यह विशेष कार्यों के मूल्यांकन के लिए टेम्मी और अन्य द्वारा किए गए शोध के समान लगता है, सिवाय इसके कि स्पर्शोन्मुख विस्तार Huybrechs / Vandewalle में शामिल नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, मुझे लगता है कि कुछ सॉल्वरों द्वारा ट्रेफेथेन की सौ अंकों की चुनौती की पहली समस्या के लिए एक समान दृष्टिकोण किया गया था।

— JM

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आप Marnix Van Daele और सह-लेखकों के काम को भी देख सकते हैं। उदाहरण के लिए देखें यह और यह ।

— GertVdE
स्रोत