संख्यात्मक द्विघात के लिए विधि चयन

संख्यात्मक चतुर्भुज के लिए विधियों के कई परिवार मौजूद हैं। अगर मेरे पास विशिष्ट वर्ग का पूर्णांक है तो मैं आदर्श विधि का चयन कैसे करूं?

अभिन्न के बारे में दोनों से पूछने के लिए प्रासंगिक प्रश्न क्या हैं (जैसे यह चिकनी है? क्या इसमें विलक्षणता है?) और कम्प्यूटेशनल समस्या (जैसे त्रुटि सहिष्णुता, कम्प्यूटेशनल बजट)।

इन सवालों के जवाब तरीकों के विभिन्न परिवारों को कैसे प्रभावित या बढ़ावा देते हैं? सादगी के लिए केवल एकल या निम्न-आयामी अभिन्नता पर विचार करने देता है।

उदाहरण के लिए QUADPACK पर विकिपीडिया लेख बताता है कि काफी सामान्य QAGSदिनचर्या " पीटर वीन के एप्सॉन एल्गोरिथ्म द्वारा त्वरण के साथ, प्रत्येक उप-केंद्र के भीतर 21-बिंदु गॉस-क्रोनरॉड क्वाड्रैचर पर आधारित वैश्विक अनुकूली क्वाड्रैचर का उपयोग करता है "

यह निर्णय कैसे किया गया? अधिक ज्ञात होने पर कोई एक जैसा निर्णय कैसे ले सकता है?

quadrature

— MRocklin
स्रोत

इसका उत्तर देने के लिए संभवतः अधिक विशिष्ट जानकारी की आवश्यकता है। कोई एक आकार-फिट-सभी मानदंड नहीं है, गॉसियन क्वाडरेचर अक्सर बहुत चिकनी समस्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है जबकि अन्य चतुर्थांशों का उपयोग हल्के विलक्षणताओं की उपस्थिति में किया जा सकता है। लेकिन अगर आप आवधिक हैं, तो सरल ट्रेपॉइड इसे काट सकता है।

— रीड.टेकसन

@ Reid.Atcheson, मुझे लगता है कि आप अभी प्रश्न का उत्तर दे रहे हैं। मैं यह नहीं पूछ रहा हूं कि सबसे अच्छी विधि क्या है, मैं पूछ रहा हूं कि आप किस प्रकार के प्रश्न पूछेंगे और वे उत्तर आपको क्या बताएंगे? सामान्य रूप से समस्याओं के इन प्रकारों के बारे में कैसे पता चलता है?

— मैरॉकलिन

सबसे पहले, आपको अपने आप से यह सवाल पूछने की ज़रूरत है कि क्या आपको एक चौतरफा नियमित दिनचर्या की आवश्यकता है जिसे एक ब्लैक बॉक्स के रूप में एक इंटीग्रांड लेना चाहिए। यदि ऐसा है, तो आप अनुकूली चतुष्कोण के लिए नहीं जा सकते हैं जहाँ आप आशा करते हैं कि अनुकूलन अभिन्नता में "मुश्किल" स्थानों को पकड़ लेगा। और यह एक कारण है कि पिएसेन्स एट अल। एक गॉस-क्रोन्रॉड नियम के लिए चुना गया (इस प्रकार का नियम आपको एक अनुकूली योजना में लागू मामूली आदेश के अभिन्न अंग और एक ही फ़ंक्शन मूल्यांकन का उपयोग करके अनुमानित त्रुटि का अनुमान लगाने की अनुमति देता है) उच्चतम त्रुटि) जब तक आवश्यक सहनशीलता नहीं हो जाती। Wynn-epsilon एल्गोरिथ्म अभिसरण त्वरण प्रदान करने की अनुमति देता है और आमतौर पर उन मामलों में मदद करता है जहां अंत-बिंदु विलक्षणताएं हैं।

लेकिन अगर आप अपने अभिन्न अंग के "फॉर्म" या "प्रकार" को जानते हैं, तो आप अपनी विधि को दर्ज़ कर सकते हैं कि आपको क्या ज़रूरत है ताकि कम्प्यूटेशनल लागत आपके द्वारा आवश्यक सटीकता के लिए सीमित हो। तो आपको क्या देखना चाहिए:

integrand:

चिकनाई: यह एक ऑर्थोगोनल बहुपद परिवार से एक बहुपद द्वारा (अच्छी तरह से) प्रत्यारोपित किया जा सकता है (यदि हां, तो गौसियन चतुर्भुज अच्छा करेगा)
विलक्षणताएं: अभिन्न को केवल अंतिम-बिंदु-विलक्षणताओं के साथ इंटीग्रल में विभाजित किया जा सकता है (यदि हां, तो आईएमटी-नियम या डबल घातीय चतुर्थांश प्रत्येक उप-अंतराल पर अच्छा होगा)
मूल्यांकन के लिए कम्प्यूटेशनल लागत?
क्या अभिन्न की गणना की जा सकती है? या केवल सीमित बिंदु-वार डेटा उपलब्ध है?
अत्यधिक ऑसिलेटरी इंटीग्रैंड: लेविन-प्रकार के तरीकों की तलाश करें।

$|x-c|^{-\alpha}$ $c$ $\alpha$

एकीकरण अंतराल: परिमित, अर्ध-अनंत या अनंत। अर्ध-अनंत या अनंत अंतराल के मामले में, क्या उन्हें परिवर्तनशील परिवर्तन द्वारा एक परिमित अंतराल तक कम किया जा सकता है? यदि नहीं, तो लॉजेरे या हर्माइट बहुपद का उपयोग गॉसियन क्वाड्रचर दृष्टिकोण में किया जा सकता है।

मेरे पास सामान्य रूप से चतुर्भुज के लिए एक वास्तविक प्रवाह पत्र का संदर्भ नहीं है, लेकिन QUADPACK पुस्तक (नेटलिब मैनपेज नहीं है, लेकिन वास्तविक पुस्तक) में एक प्रवाह पत्र है, जिसे आप अभिन्न मूल्यांकन के आधार पर उपयुक्त दिनचर्या का चयन करना चाहते हैं। पुस्तक में पिएसेन्स एट अल द्वारा किए गए एल्गोरिदम में विकल्पों का भी वर्णन किया गया है। विभिन्न दिनचर्या के लिए।

निम्न-आयामी अभिन्न के लिए, आमतौर पर नेस्टेड-आयामी द्विघात के लिए जाता है। द्वि-आयामी इंटीग्रल्स (क्यूबचर) के विशेष मामले में, एकीकरण डोमेन के विभिन्न मामलों के लिए एकीकरण नियम मौजूद हैं। आर। कूल्स ने अपने ज्ञानकोश सूत्रों के एनसाइक्लोपीडिया में बड़ी संख्या में नियम एकत्र किए हैं और क्यूबपैक पैकेज के मुख्य लेखक हैं । उच्च आयामी अभिन्न के लिए, एक आम तौर पर मोंटे कार्लो प्रकार के तरीकों का समर्थन करता है। हालाँकि, किसी को उचित सटीकता प्राप्त करने के लिए आम तौर पर एक बहुत बड़ी संख्या में एकीकृत मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। निम्न-आयामी इंटीग्रल्स के लिए, क्वाडरेचर / क्युबिटर / नेस्टेड क्वाड्रैचर जैसे सन्निकटन विधियाँ अक्सर इन स्टोचैस्टिक विधियों को करती हैं।

सामान्य रोचक संदर्भ:

क्वाडपैक, पिएसेन्स, रॉबर्ट; डी डोनर-कपेंगा, एलिस; एबरहुबर, क्रिस्टोफ़ डब्ल्यू।; काहनर, डेविड (1983)। QUADPACK: स्वचालित एकीकरण के लिए एक सबरूटीन पैकेज। स्प्रिंगर-वर्लग। आईएसबीएन 978-3-540-12553-2
न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन के तरीके: दूसरा संस्करण, पीएच। डेविस और पीएच। रैबिनोविट, 2007, डोवर बुक्स ऑन मैथमेटिक्स, आईएसबीएन 978-0486453392

— GertVdE
स्रोत

अच्छी प्रतिक्रिया। क्वैडपैक ने विशेष रूप से 21 बिंदु गॉस-क्रोन्रोड पद्धति को क्यों चुना है? क्यों जादू नंबर?

— MRocklin

@ मॉकलिन: मुझे लगता है कि यह सटीकता और दक्षता के बीच एक अच्छा व्यापार था: आप अपने चतुर्भुज नियम (महंगा) को ओवरक्ल करना नहीं चाहते हैं, लेकिन आप इसे न तो बहुत कमजोर होना चाहते हैं और न ही अनुकूलन भाग में बहुत अधिक उपखंड। )। पूर्ण होने के लिए: QAG दिनचर्या में, उपयोगकर्ता को द्विघात नियम निर्दिष्ट करना होगा; QAGS में (एक्सट्रपलेशन के साथ), डिफॉल्ट 21 पॉइंट रूल है, लेकिन विस्तारित कॉलिंग रूटीन QAGSE का उपयोग करके इसे ओवरराइड किया जा सकता है।

— GertVdE

@GertVdE वास्तव में बहुत अच्छी प्रतिक्रिया। क्या आप मध्य-अंतराल की विलक्षणताओं को पकड़ने या संदर्भ प्रदान करने के लिए क्लेन्शॉ-कर्टिस के उपयोग के बारे में विस्तार से बता सकते हैं? मैंने पहले इस तरह से इसका इस्तेमाल नहीं किया है, और एक त्वरित googling से कोई विवरण नहीं मिल सका। धन्यवाद!

— ऑस्करबी

@OscarB: लंबे समय तक देरी के लिए खेद है, बिना नेट एक्सेस (आह अच्छा जीवन) के बाहर था। क्वाडपैक बुक देखें §2.2.3.3 और आगे; ब्रैंडर्स, पिएसेन्स, "क्लेन्शॉ-कर्टिस क्वाड्रैचर का एक विस्तार", 1975, जे। कॉम। एपल .मैथ, 1, 55-65; पिएसेन्स, ब्रांडर्स, "कुछ संशोधित क्षणों का मूल्यांकन और अनुप्रयोग", 1973, बीआईटी, 13, 443-450; पिएसेन्स, ब्रैंडर्स, "अभिकलन अभिन्न अंग की गणना", 1975, जे। कॉम। एपल .मैथ।, 1, 153-164। यदि आप 1972 और 1980 के बीच कहीं "रॉबर्ट पियेंस" के लिए एक साहित्य खोज करते हैं, तो आपको बहुत सारे दिलचस्प पेपर मिलेंगे।

— GertVdE