क्या दूसरे आदेश हेक्साहेड्रल परिमित तत्वों के लिए 8 गॉस अंक आवश्यक हैं?

Question

क्या यह संभव नहीं है कि बिना अव्यवस्थित मोड के 8 गॉस अंक से कम हेक्सहेड्रल परिमित तत्वों के लिए दूसरा आदेश सटीकता प्राप्त हो? एक एकल केंद्रीय गाऊस बिंदु एक अनियंत्रित कर्तन मोड का परिचय देता है, और 8 गौस बिंदुओं की मानक सममित व्यवस्था टेट्राहेड्रल विवेकों की तुलना में महंगी है।

संपादित करें : किसी ने समीकरणों के लिए कहा। जिन समीकरणों में मेरी दिलचस्पी है, वे नॉनलाइनियर इलास्टिसिटी हैं, जो डायनेमिक या क्वासिस्टेटिक हैं। क्वासिस्टेटिक समीकरण हैं

$$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$$\Omega \subset \mathbf{R}^3$$P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

$$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$$

Comments

आप वास्तव में क्या अनुकरण कर रहे हैं?

— दान

इस समय रैखिक लोच, लेकिन सवाल सामान्य रूप से nonlinear लोच के बारे में है।

— जेफ्री इरविंग

आपको संभवतः उन समीकरणों को शामिल करना चाहिए जिनमें आप रुचि रखते हैं, क्योंकि "अनफ़िज़िकल" की परिभाषा उन पर निर्भर करती है। या कम से कम "शारीरिक" कार्यों के स्थान को ठीक से परिभाषित करें।

— डेविड केचेसन

समीकरण जोड़े।

— ज्यॉफ्री इरविंग

DPhi / dx के साथ, क्या आपका मतलब ढाल है?

— वोल्फगैंग बंगर्थ

Answer 1

जहां तक ​​परिमित तत्व ठोस यांत्रिकी सिमुलेशन का संबंध है, तो आप स्थिरीकरण बलों का उपयोग किए बिना 8 से कम चतुष्कोणीय बिंदुओं का उपयोग नहीं कर सकते। अयोग्य सामग्री (आपका मामला) के मामले में, सटीकता के उद्देश्य के लिए सबसे अच्छा समाधान मिश्रित सूत्रीकरण का उपयोग करना है। आप पुस्तक को सिमो और ह्यूजेस: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC द्वारा संदर्भित कर सकते हैं ।

Answer 2

यह अपेक्षाकृत स्पष्ट है कि आप सामान्य रूप से प्रति कोशिका से कम क्वाड्रचर अंकों के साथ दूर नहीं हो सकते हैं, जहां तक ​​स्वतंत्रता की डिग्री है। एक 3 डी हेक्साहेड्रोन पर ट्रिलिनियर तत्वों के मामले में, 8 डिग्री की स्वतंत्रता (एक प्रति शीर्ष) होती है, इसलिए न्यूनतम चतुर्थांश अंक आठ के समान होंगे।

जो उल्टा नहीं है और परिणामस्वरूप पूरी तरह से बेकार है। इसका कारण यह है कि एक-सूत्रीय द्विघात सूत्र सभी रैखिक कार्यों (परीक्षण स्थान का हिस्सा) के बीच अंतर नहीं कर सकता है जो कि द्विघात बिंदु पर समान मूल्य है; दूसरे शब्दों में, मध्यबिंदु नियम के लिए, आकृति फ़ंक्शन 'x' फ़ंक्शन के समान है '0' फ़ंक्शन '-x' के समान है। दूसरे शब्दों में, जबकि ट्रायल स्पेस में आयाम 2 सटीक इंटीग्रल्स के साथ हैं, मिडपॉइंट नियम के लिए स्पेस में आयाम 1 है, भले ही स्वतंत्रता के दो डिग्री हैं - यह एक ऐसी जगह की परिभाषा है जो एकतरफा नहीं है।) मध्यबिंदु नियम के लिए, आकृति फ़ंक्शन 'x' फ़ंक्शन '0' के समान है, फ़ंक्शन '-x' के समान है। दूसरे शब्दों में, जबकि ट्रायल स्पेस में आयाम 2 सटीक इंटीग्रल्स के साथ हैं, मिडपॉइंट नियम के लिए स्पेस में आयाम 1 है, भले ही स्वतंत्रता के दो डिग्री हैं - यह एक ऐसी जगह की परिभाषा है जो एकतरफा नहीं है।) मध्यबिंदु नियम के लिए, आकृति फ़ंक्शन 'x' फ़ंक्शन '0' के समान है, फ़ंक्शन '-x' के समान है। दूसरे शब्दों में, जबकि ट्रायल स्पेस में आयाम 2 सटीक इंटीग्रल्स के साथ हैं, मिडपॉइंट नियम के लिए स्पेस में आयाम 1 है, भले ही स्वतंत्रता के दो डिग्री हैं - यह एक ऐसी जगह की परिभाषा है जो एकतरफा नहीं है।)

Comments

मुझे लगता है कि ज्योफ का सवाल अधिक सूक्ष्म है। अच्छी तरह के आकार के डोमेन (जैसे अलग-थलग तत्वों के बिना) में टेट्राहेड्रा पर निरंतर परिमित तत्व रिक्त स्थान के लिए, आप एकल-बिंदु क्वाड्रेट्स के साथ दूर हो सकते हैं जो स्पष्ट रूप से अंडर-इंटीग्रेशन है। सवाल यह है कि क्या हेक्साहेल्ड तत्वों के साथ किसी तरह से अंडर-इंटीग्रेट करना भी संभव है। मुझे उत्तर नहीं पता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि क्वाडरेचर पॉइंट के बाद से यह कितना बड़ा सौदा है, अतिरिक्त मेमोरी मोशन की आवश्यकता नहीं है। एक बार जब आप परिमित तत्व अवशिष्ट मूल्यांकन को वेक्टर कर लेते हैं, तो इसके लिए मेमोरी बाउंड होना आम है, इसलिए आप फ्लॉप का उपयोग करना बेहतर हो सकते हैं।

— जेड ब्राउन

स्मृति गति के बारे में अच्छी बात।

— ज्योफ्री इरविंग

जेड के बिंदु पर विस्तार करने के लिए: उपरोक्त "स्पष्ट" तर्क गलत होने का कारण यह है कि प्रत्येक चतुर्थांश बिंदु मैट्रिक्स को देखता है । टेट्राहेड्रा के लिए, जो समान अनुवाद को छोड़कर कोने के सभी गतियों को कवर करता है, जो ऊर्जा या बलों को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए प्रथम क्रम सटीकता के लिए एक चतुर्भुज बिंदु पर्याप्त है। $3 \times 3$

— ज्यॉफ्री इरविंग

बल्कि असुविधाजनक है कि टिप्पणी में newlines शामिल नहीं हो सकते हैं।

— ज्योफ्री इरविंग

@JedBrown: अच्छी बात है। Tets पर रैखिक कार्यों की ढाल निरंतर हैं और इसलिए एक एकल द्विघात बिंदु पर्याप्त है, इस तर्क के बाद मैंने द्रव्यमान मैट्रिक्स के लिए बनाया (कठोरता मैट्रिक्स gradients के लिए बड़े पैमाने पर मैट्रिक्स है)। दूसरी ओर, हेक्साहेड्रा पर त्रैमासिक कार्यों के ग्रेडिएंट्स (अनिसोट्रोपिक) द्विघात कार्य हैं, इसलिए किसी को निर्देशांक निर्देश के अनुसार निश्चित रूप से केवल एक चतुर्थांश बिंदु से अधिक की आवश्यकता होती है।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ