संख्‍याओं के साथ सांख्यिक चतुर्भुज

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द्विघात के लिए अधिकांश संख्यात्मक विधियां एक ब्लैक-बॉक्स फ़ंक्शन के रूप में इंटीग्रैंड का इलाज करती हैं। यदि हमारे पास अधिक जानकारी हो तो क्या होगा? विशेष रूप से, क्या लाभ, यदि कोई हो, तो हम इंटीग्रैंड के पहले कुछ डेरिवेटिव जानने से प्राप्त कर सकते हैं? अन्य जानकारी क्या मूल्यवान हो सकती है?

विशेष रूप से व्युत्पन्न के लिए: बुनियादी द्विघात (आयत / ट्रेपोज़ॉइड / सिम्पसन के नियम) के लिए त्रुटि अनुमान बारीकी से संबंधित हैं। शायद गतिशील अनुकूलनशीलता पर भरोसा करने के बजाय नमूना चयन पूर्व-चयन का एक तरीका है?

मुझे अविभाजित और बहुआयामी मामले में दिलचस्पी है।

quadrature error-estimation

— MRocklin
स्रोत

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बस एक मामूली सुधार: आयत, ट्रेपोज़ॉइड, और सिम्पसन का नियम न्यूटन-कोट्स प्रकार के नियम हैं, न कि गॉसियन क्वाड्रिस।

— पेड्रो

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मुझे लगता है कि यह काफी नहीं है जो आपके मन में था, लेकिन पूर्णता के लिए, आइए कुछ मूल बातों के साथ शुरू करें। इस तरह के न्यूटन-कोट्स और गॉस के रूप में सबसे क्षेत्रकलन सूत्रों विचार पर आधारित हैं कि आदेश लगभग एक समारोह का अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए, आप, उदाहरण के लिए, एक बहुपद है कि आप तो बिल्कुल एकीकृत कर सकते हैं द्वारा समारोह का अनुमान लगा सकता:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

न्यूटन-कोट्स और गॉस लैग्रेग इंटरपोलेशन पर आधारित हैं , जिसका अर्थ है कि आप दिए गए फ़ंक्शन को नोड्स (जो न्यूटन-कॉट्स के लिए समान रूप से फैलाए गए हैं और गॉस के लिए एक निश्चित अर्थ में बेहतर रूप से चुने गए हैं) का उपयोग करके प्रक्षेपित करते हैं। इस स्थिति में, , और बहुपद नोडल आधार फ़ंक्शंस पर इंटीग्रल वास्तव में द्विघात भार हैं। $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

एक ही दृष्टिकोण हर्माइट प्रक्षेप के साथ काम करता है , अर्थात, एक फ़ंक्शन के मूल्यों का उपयोग करके प्रक्षेप और नोड के सेट पर एक निश्चित क्रम तक इसके डेरिवेटिव। समारोह और पहले व्युत्पन्न मूल्यों केवल, आप के मामले में (इसका एकमाटलब कार्यान्वयनहै, यदि आप यह देखना चाहते हैं कि यह कैसे काम करता है।)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

इस गॉस-लेगेंद्रे क्षेत्रकलन बुलाया गॉस क्षेत्रकलन का एक प्रकार है, जहां नोड्स ठीक चुना जाता है वजन बनाने के लिए से संबंधित है गायब (जो वास्तव के लिए एक और स्पष्टीकरण यह है कि साथ गॉस क्षेत्रकलन नोड्स आदेश की सही है )। मुझे लगता है कि यह कम से कम आंशिक रूप से दूसरे पैराग्राफ में आपके प्रश्न का उत्तर देता है। इस कारण से, गॉस क्वाडचर का उपयोग आमतौर पर हर्माइट प्रक्षेप के बजाय किया जाता है, क्योंकि आपको समान क्रम में समान अंक मिलते हैं, लेकिन व्युत्पन्न जानकारी की आवश्यकता नहीं होती है। $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

बहुआयामी चतुर्भुज के लिए, आपको समस्या का सामना करना पड़ता है कि ऑर्डर बढ़ने पर डेरिवेटिव (मिश्रित डेरिवेटिव सहित) की संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है।

अपने प्रश्न पर वापस आना: व्युत्पन्न जानकारी का शोषण करने का एक सीधा तरीका यह होगा कि आप अपने एकीकरण डोमेन के एक उपखंड का उपयोग करें और हर डिवीजन के लिए एक अलग क्वाड्रैचर का उपयोग करें। यदि आप जानते हैं कि डोमेन के कुछ हिस्से में आपके फ़ंक्शन का डेरिवेटिव बड़ा है, तो आप या तो छोटे डोमेन का उपयोग करेंगे (प्रभाव में, एक सममित चतुर्भुज सूत्र) या उच्चतर द्विआधारी क्रम। यह परिमित तत्व विधियों में क्रमशः h- और p- अनुकूलता से संबंधित है।

— ईसाई क्लैसन
स्रोत

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कई "सही" एकीकरण नियम हैं जो समापन बिंदु के डेरिवेटिव को आमंत्रित करते हैं। एक सरल उदाहरण सही ट्रेपोज़ाइडल नियम है। मान लीजिए कि हम अभिन्न को अनुमानित करना चाहते हैं

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

$n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

$h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

सटीकता को बढ़ाता है। उदाहरण के लिए, विचार करें

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

क्रमशः। त्रुटियां हैं

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

तथा

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

सटीकता में उल्लेखनीय वृद्धि दिखा रहा है। उच्चतर डेरिवेटिव्स में अन्य सुधार शामिल हैं, या अन्य न्यूटन-कोट्स नियमों या गौसियन प्रकार के नियमों से शुरू होते हैं।

— Alasdair
स्रोत

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अन्य उत्तरों में उल्लिखित न्यूटन-कोट्स पर आधारित विधियों के अलावा, अब गॉस-तुरान क्वाडरेचर कहा जाता है (उदाहरण के लिए यह और इसे देखें , साथ ही वाल्टर गौत्स्की द्वारा आदरणीय संदर्भ )। यह सामान्य गॉसियन क्वाडरेचर का एक सामान्यीकरण है, जहां व्यक्ति अब एब्ससिस और वेट के एक इष्टतम सेट को खोजने में एक फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के ज्ञान का शोषण कर सकता है जो कि क्वाडरेचर नियम का उत्पादन करता है जो कि फॉर्म कार्यों को एकीकृत करता है $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ बिल्कुल सही। जैसा कि अपेक्षित था, इस नियम का उपयोग करने के लिए, किसी से अपेक्षा की जाती है कि वह आपके कार्य का मूल्यांकन करने में सक्षम हो और मनमाने वास्तविक बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न की संख्या हो। सामान्य स्थानों में एक खोज को कुछ और संदर्भों को बदलने में सक्षम होना चाहिए।

— जेएम
स्रोत

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हालांकि यह धागा काफी पुराना है, मैंने सोचा कि कुछ सामान्य द्विघात नियमों के सामान्यीकरण के लिए एक सहकर्मी की समीक्षा किए गए पेपर के संदर्भ में उपयोगी हो सकता है।

नेनाद जेविक, "संशोधित सिम्पसन के नियम और त्रुटि सीमा का एक सामान्यीकरण", एएनजियम जर्नल, वॉल्यूम। 47, 2005।

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

मैंने सोचा कि यह एक अच्छा संदर्भ देने के लिए उपयोगी होगा जो स्वतंत्र रूप से सुलभ हो, और जिसमें अन्य पत्रों का संदर्भ हो।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलादीन के डेरिवेटिव सहित, सटीकता को उल्लेखनीय रूप से बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, उज्ज्विक और रॉबर्ट्स ने दिखाया कि सिम्पसन के नियम में पहला डेरिवेटिव जोड़ने से ग्रिड रिक्ति में 6 वें क्रम में त्रुटि कम हो जाती है, जबकि यह डेरिवेटिव के बिना 4 वां क्रम है। Ujevic कागज से पता चलता है कि यहां तक कि तंग त्रुटि सीमाएं भी मिल सकती हैं।

एन। उज्ज्विक और ए जे रॉबर्ट्स, ए सही चतुर्भुज सूत्र और अनुप्रयोग, ANZIAM जे।, 45 (ई), (2004), ई 41-ई 56। http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(ईसाई क्लैसन ने सुझाव दिया कि मैं एक टिप्पणी करता हूं जो मैंने उत्तर में दी थी क्योंकि उन्होंने सोचा था कि मैं जो संदर्भ देता हूं वह अच्छे हैं और अगर किसी स्तर पर टिप्पणियों को रगड़ दिया जाता है तो वे खो सकते हैं।)

— Lysistrata
स्रोत

क्या आप लेख में प्रस्तुत परिणामों पर टिप्पणी कर सकते हैं?

— nicoguaro

अब मैं कह सकता हूं कि मेरे पास पर्याप्त प्रतिनिधि हैं! मैंने सोचा कि यह एक अच्छा संदर्भ देने के लिए उपयोगी होगा जो स्वतंत्र रूप से सुलभ हो, और जिसमें अन्य पत्रों का संदर्भ हो। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलादीन के डेरिवेटिव सहित, सटीकता को उल्लेखनीय रूप से बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, मैं जिस पेपर से जुड़ा था, उसके संदर्भ में 6, रॉबर्ट्स और उजेविक ने दिखाया कि सिम्पसन के नियम में पहला डेरिवेटिव जोड़ने से ग्रिड रिक्ति में 6 वें क्रम में त्रुटि कम हो जाती है, जबकि यह डेरिवेटिव के बिना 4 वां क्रम है। Ujevic कागज से पता चलता है कि यहां तक कि तंग त्रुटि सीमाएं भी मिल सकती हैं।

— लाइसिस्टाटा

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@Lysistrata यह एक अच्छा संदर्भ है। क्या आप अपनी टिप्पणियों को उत्तर में ही संपादित कर सकते हैं? टिप्पणियाँ दूर जा सकती हैं, और उन्हें खोना एक दया होगी।

— ईसाई क्लैसन