बड़े घने निम्न रैंक असाइनमेंट की समस्या

क्या बड़े, घने, कम रैंक असाइनमेंट की समस्या को हल करने के लिए एक उचित सस्ता तरीका है $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ , जहां सभी permutations.of पर चलता है ? $\pi$ $1:n$

यहाँ एक है कम रैंक के मैट्रिक्स । विशिष्ट आकार (संभवतः बहुत बड़ा), । $A$ $n\times n$ $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
स्रोत

द्वारा आप उत्पाद मतलब है, ताकि आप अलग के लिए मैट्रिक्स के माध्यम से कर रहे हैं लम्बे ?

π i

$\pi i$

π

$\pi$

— बिल बर्थ

π

$\pi$ सभी क्रमपरिवर्तन पर चलता है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

क्या यह नहीं होना चाहिए ?

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$

— जैक पोल्सन

@JackPoulson: और क्रमपरिवर्तन तहत की छवि के लिए दो अलग-अलग संकेतन हैं ।

\i (i)

$\i(i)$

π i

$\pi i$

i

$i$

π

$\pi$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

दिलचस्प सवाल! क्या आप स्टोरेज कारणों से निम्न-श्रेणी की संरचना का दोहन करना चाहते हैं --- यानी, पारंपरिक असाइनमेंट एल्गोरिथ्म को लागू करते समय पूरे मैट्रिक्स को बनाने से बचाने के लिए? या क्या आप खोज को तेज करने के लिए निम्न रैंक का फायदा उठाने का रास्ता तलाश रहे हैं?

— माइकल ग्रांट

चूँकि साथ , हमारे पास जहां के लिए इसी परिवर्तन मैट्रिक्स है । $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

किसी भी , ट्रेस को रूप में गणना की जा सकती है। (इस मात्रा को उत्पाद , ) के रूप में भी जाना जाता है । $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

यह विचार सभी फ्रोबेनियस उत्पादों की अधिकतम के लिए सभी क्रमपरिवर्तन और ब्रूट-बल खोज से गुजरने का बोझ नहीं , और वास्तव में को स्पष्ट रूप से गणना करने के रूप में एक ही अंकगणितीय जटिलता है । हालाँकि, इसकी स्मृति की आवश्यकताएं बहुत कम हैं क्योंकि आपको वास्तव में नहीं । $A=R_1R_2^T$ $A$

— निको श्लोमर
स्रोत