टेट्राहेड्रॉन पर एक हार्मोनिक फ़ंक्शन को एकीकृत करना

Question

मान लें कि मेरे पास एक फ़ंक्शन जो मैं एक tetrahedron पर एकीकृत करना चाहता हूं । यदि मनमाना था, तो गॉस क्वाडचर एक अच्छा समाधान होगा, लेकिन मुझे पता है कि हार्मोनिक है। इस जानकारी का उपयोग करके गौस क्वाड्रेट को कितना तेज किया जा सकता है?$f : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$$T \subset \mathbf{R}^3$$f$$f$

उदाहरण के लिए, यदि को एक गोले के रूप में देखा जाता है , तो गोले के केंद्र में एक बार मूल्यांकन करने पर माध्य मान गुण द्वारा सटीक उत्तर मिलता है।$T$$f$

एक खोज ने निम्नलिखित पेपर को बदल दिया, जो दिलचस्प है लेकिन एक अलग दिशा में क्षेत्र को अलग करता है (गोले से दूर होने के बजाय पॉलीहार्मोनिक में):

बोजानोव और दिमित्रोव, गौसियन ने पॉलीहार्मोनिक कार्यों के लिए शंकुधारी सूत्र का विस्तार किया

Answer 1

मुझे कुछ ऐसा मिला जो दिलचस्प हो सकता है। http://www.math.kth.se/~gbjorn/exact.pdf

मुझे आशा है कि यह मदद करता है, टॉम

Comments

यह एक दिलचस्प पेपर है, लेकिन यह ऐसा दिखता है और इसके संदर्भ केवल हार्मोनिक कार्यों के अंतर ऑपरेटरों के अभिन्न व्यवहार करते हैं। क्या आप जानते हैं कि क्या उनका उपयोग सीधे अभिन्न अंग के लिए किया जा सकता है?

— जियोफ्रे इरविंग

मैं सोच रहा था कि तथाकथित "पॉइसन कर्नेल" ( en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ) के साथ एक चतुर्भुज सूत्र शुरू करने में मदद मिल सकती है ... अन्यथा मुझे पता है कि कुछ xfem तकनीक एफई स्पेस को समृद्ध करने के लिए हार्मोनल फ़ंक्शन का उपयोग करती हैं। और इसलिए परिवर्तनशील रूपों (?) को एकीकृत करने के लिए विशिष्ट द्विघात तरीकों का उपयोग करना चाहिए।

— टॉम