क्या मैं इस संख्यात्मक ट्रिपल मतलब से अभिन्न विश्वास कर सकता हूं?

कम्प्यूटेशनल विज्ञान के लोग:

मैंने मूल रूप से मैथ स्टैक एक्सचेंज में इस प्रश्न को पोस्ट किया और किसी ने टिप्पणी की कि मुझे यहां "बहुत बेहतर" उत्तर मिल सकते हैं:

मैं संख्यात्मक तरीकों और मतलाब पर एक नौसिखिया हूँ। मैं दो ट्रिपल इंटीग्रल के निम्नलिखित योग का मूल्यांकन करने का प्रयास कर रहा हूं (यह स्पष्ट रूप से अधिक सरल रूप से लिखा जा सकता है, लेकिन आप अभी भी प्रतीकात्मक रूप से (?) का मूल्यांकन नहीं कर सकते हैं। मुझे होने में दिक्कत हो रही है $\LaTeX$ यहां काम करने के लिए , इसलिए मैंने अनिच्छा से इसे यहां टुकड़ों में तोड़ दिया: मैं इसका योग ढूंढना चाहता हूं

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{{आर}_{1}} \int_{0}^{{आर}_{1} - {आर}_{0}} {एफ}_{1} ({आर}_{0}, {आर}_{1}, टी) \exp (- \frac{(0.3)^{2} {टी}^{2}}{4}) घ टी घ {आर}_{0} घ {आर}_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

तथा

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{r_{1} - r_{0}}^{r_{1} + r_{0}} F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0.3)^{2} t^{2}}{4}) d t d r_{0} d r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

कहाँ पे

F_{1} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{t^{2} r_{0}^{3} * (0.3)^{3}}{2 r_{1}^{3} \sqrt{π}}

$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$

तथा

F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{(0.3)^{3} π^{3 / 2} (r_{0} + r_{1} - t)^{4} (t^{2} + 2 t (r_{0} + r_{1}) - 3 (r_{1} - r_{0})^{2})^{2}}{288 (\frac{4}{3} π r_{0}^{3}) (\frac{4}{3} π r_{1}^{3})} .

$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$

EDIT (2 मार्च 2013): किसी ने जवाब दिया कि उन्हें प्रतीकात्मक रूप से इंटीग्रल करने के लिए मैथमेटिका मिली है। मैंने ऐसा करने का प्रयास किया (इंटीग्रल के सरलीकृत संस्करणों के साथ) और गणितज्ञ केवल पहले एक के बाहरी दो कर सकते थे, और दूसरे पर रुक गए। मैं कुछ मदद की सराहना करेंगे। मैंने जो किया था यह रहा।:

मैंने मूल्यांकन करने का प्रयास किया

माध्यम से

\int_{1}^{2} \int_{1}^{r_{2}} \int_{0}^{r_{2} - r_{1}} \frac{r_{1}^{3} t^{2} \exp (- t^{2})}{r_{2}^{3}} d t d r_{1} d r_{2}

$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$

एकीकृत करें [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * ऍक्स्प (-t ^ 2), {t, 0, r2 - r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

और गणितज्ञ रिटर्न (मुझे साथ परेशानी थी यहां क्योंकि परिणाम लंबा है। मैंने इसे दो समीकरणों में तोड़ दिया। अगर किसी को यह प्रदर्शित करने का एक अच्छा तरीका पता है तो कृपया मुझे बताएं): $\LaTeX$

\int_{1}^{2} \frac{1}{64 r 2^{2}} e^{- 1 - r 2^{2}} (2 e^{2 r 2} (25 + r 2 (19 + 2 r 2 (1 + r 2))) -

$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$

इ^{1 + आर 2^{2}} (32 आर 2 (2 + आर 2^{2})) + \sqrt{π} (1 1 + 4 आर 2^{2} (9 + आर 2^{2})) ERF [1 - आर 2]) घ आर 2।

$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$

फिर मैंने मूल्यांकन करने की कोशिश की

\int_{1}^{2} \int_{1}^{{आर}_{2}} \int_{{आर}_{2} - {आर}_{1}}^{{आर}_{2} + {आर}_{1}} ...

$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$

... \frac{\exp (- {टी}^{2}) ({आर}_{1} + {आर}_{2} - टी)^{4} ({टी}^{2} + 2 टी ({आर}_{1} + {आर}_{2}) - 3 ({आर}_{2} - {आर}_{1})^{2})^{2}}{{आर}_{1}^{3} {आर}_{2}^{3}} घ टी घ {आर}_{} घ {आर}_{2}

$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$

का उपयोग करते हुए

इंटीग्रेट [(r1 + r2 - t) ^ 4 * (t ^ 2 + 2 * t * (r1 + r2) - 3 * (r2 - r1) ^ 2) ^ 2 * Exp [-t ^ 2] / rn ^ 3 / r2 ^ 3, {r2, 1, 2}, {r1, 1, r2}, {t, r2-r1, r2 + r1}]

अभी, और गणितज्ञ ने लगभग आधे घंटे के बाद एक उत्तर नहीं दिया है (लेकिन मुझे अभी कंप्यूटर नेटवर्क की समस्या हो रही है, और उन्हें दोष देना पड़ सकता है)।

[मार्च 2 EDIT के अंत]

मैंने माटलैब के "ट्रिपलप्लाड" कमांड का उपयोग किया, जिसमें कोई अतिरिक्त विकल्प नहीं था। मैंने हेवीसाइड फ़ंक्शंस के माध्यम से एकीकरण की चर सीमाओं को संभाला, क्योंकि मुझे ऐसा करने का कोई अन्य तरीका नहीं पता था। मतलाब ने मुझे दिया $0.007164820144202$ ।

मुझे पता है कि माटलब अच्छा सॉफ्टवेयर है, लेकिन मैंने सुना है कि संख्यात्मक ट्रिपल इंटीग्रल्स को सटीक रूप से करना मुश्किल है, और गणितज्ञों को संदेह है, इसलिए मैं इस उत्तर की सटीकता को सत्यापित करने के लिए कुछ तरीका चाहता हूं। अभिन्न एक निश्चित प्रयोग का अपेक्षित मूल्य देते हैं (यदि कोई भी चाहता है, तो मैं इस प्रश्न को प्रयोग का वर्णन करने के लिए संपादित कर सकता हूं): मैंने उचित रूप से उत्पन्न संख्याओं, एक लाख बार का उपयोग करके मतलब में प्रयोग को लागू किया, और परिणामों को औसत किया। मैंने इस प्रक्रिया को चार बार दोहराया। यहाँ परिणाम हैं (अगर मैं "अनुचित रूप से" परीक्षण शब्द का इस्तेमाल किया है तो माफी माँगता हूँ):

परीक्षण 1: $0.007133292603256$

परीक्षण 2: $0.007120455071989$

परीक्षण 3: $0.007062595022049$

परीक्षण 4: $0.007154940168452$

परीक्षण 5: $0.007215000289130$

यद्यपि प्रत्येक परीक्षण में एक मिलियन नमूने का उपयोग किया गया था, सिमुलेशन मूल्य केवल पहले महत्वपूर्ण अंक में सहमत हैं। वे यह निर्धारित करने के लिए एक दूसरे के करीब पर्याप्त नहीं हैं कि संख्यात्मक ट्रिपल इंटीग्रल सटीक है या नहीं।

तो क्या कोई मुझे बता सकता है कि क्या मैं यहां "ट्रिपलप्लाड" के परिणाम पर भरोसा कर सकता हूं, और किन परिस्थितियों में सामान्य रूप से इस पर भरोसा कर सकता हूं?

मैथ स्टैक एक्सचेंज में एक सुझाव मुझे अन्य सॉफ्टवेयर जैसे मैथेमेटिका, ऑक्टेव, मेपल और साइपीपी की कोशिश करने का था। क्या यह अच्छी सलाह है? क्या लोग वास्तव में गणितज्ञ और मेपल में संख्यात्मक कार्य करते हैं? ऑक्टेव एक मैटलैब क्लोन की तरह है, तो क्या मैं मान सकता हूं कि यह एक ही एकीकरण एल्गोरिदम का उपयोग करता है? मैंने पहले भी SciPy के बारे में नहीं सुना है और इसके बारे में किसी भी राय की सराहना करेंगे।

UPDATE: मैथ स्टैक एक्सचेंज के किसी व्यक्ति ने मेपल में यह किया और मिला $0.007163085468$ । यह तीन महत्वपूर्ण आंकड़ों के लिए समझौता है। यह एक अच्छा संकेत है।

इसके अलावा, मैं लंबे, बहु-पंक्ति अभिव्यक्ति में प्रवेश करने के सुझावों पर सराहना करूंगा $\LaTeX$ स्टैक एक्सचेंज में। क्या आप यहां "संरेखित" वातावरण का उपयोग कर सकते हैं? मैंने कोशिश की, और मैं इसे काम नहीं कर सका।

matlab

— स्टीफन स्मिथ
स्रोत

आपके सिमुलेशन परिणाम पूरी तरह से मैटलैब द्वारा लौटाए गए संख्यात्मक मूल्य के अनुरूप हैं: उनका मतलब

0.00713726

$0.00713726$ सिर्फ

- 1.11

$-1.11$ मतलाब ने जो वापसी की उससे कम मानक त्रुटियां। एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, मैथमैटिक रिटर्न

0.00716308537 \dots

$0.00716308537\ldots$ । यह बहुपदों और त्रुटि कार्यों के संदर्भ में प्रतीकात्मक रूप से इन अभिन्नताओं का मूल्यांकन भी कर सकता है।

— व्हीबर

@whuber धन्यवाद। मैं शपथ ले सकता था कि मैंने मेपल में प्रतीकात्मक रूप से इसकी कोशिश की और मेपल ऐसा नहीं कर सका। मैं मेपल में फिर से कोशिश करूँगा, और अगर यह काम नहीं करता है, तो मैं इसे मैथेमेटिका में कोशिश करूँगा। BTW, मैंने मेपल में एक समान अभिन्न अंग किया, और मुझे एक बड़ा प्रतीकात्मक उत्तर मिला। यह बहुत बड़ी संख्या का एक योग और अंतर प्रतीत हुआ, जिसका भव्य कुल काफी छोटा था। मुझे लगता है कि अंतिम उत्तर में राउंडऑफ त्रुटि की संभावना थी। इस तरह की समस्या में, आपको प्रतीकात्मक उत्तर का उपयोग करना चाहिए, या केवल अभिन्न रूप से करना चाहिए?

— स्टीफन स्मिथ

प्रतीकात्मक उत्तरों में उन कार्यों के संयोजन होने का लाभ होता है जो (अक्सर) कुशलता से मनमानी परिशुद्धता के लिए गणना की जा सकती हैं। आमतौर पर, भी, प्रतीकात्मक समाधान खुद को तेजी से पुनर्संयोजन के लिए उधार देता है जब पैरामीटर विविध होते हैं। इन कारणों के लिए यह अक्सर एक प्रतीकात्मक समाधान की तलाश के लायक है।

— मारुब

@ वाउचर: मैंने मैथमेटिका में कुछ अनिवार्य रूप से समतुल्य अभिन्न अंग (कुछ स्थिरांक को हटाकर और कुछ गुणक स्थिरांक को हटाते हुए) करने की कोशिश की, और मैथमेटिका पहले अभिन्न के केवल बाहरी दो एकीकरण ही कर सकी, और लगता है कि दूसरे पर टिकी हुई है। मैंने अपना कोड और परिणाम ऊपर पोस्ट किया है।

— स्टीफन स्मिथ

2 मार्च को संपादित करें: ट्रिपल इंटीग्रल को प्रतीकात्मक रूप से एकल इंटीग्रल (आपके इंटीग्रल्स के पहले छमाही में) को कम करके आपने बहुत कुछ पूरा किया है। अभिन्न बहुत अच्छी तरह से व्यवहार किया है और एक दूसरे के एक अंश के भीतर बहुत उच्च परिशुद्धता के लिए संख्यात्मक रूप से एकीकृत किया जा सकता है।

— व्ह्यूबर

सबसे पहले, यह सॉफ़्टवेयर नहीं है (या कम से कम यह नहीं होना चाहिए) जो किसी समस्या के समाधान की गुणवत्ता निर्धारित करता है, यह एल्गोरिथ्म की गुणवत्ता और उपयुक्तता है जो लागू होता है। आपको यह देखना चाहिए कि मतलाब में ट्रिपलएक्वाड द्वारा किस एल्गोरिदम का उपयोग किया जा रहा है (मुझे लगता है कि यह एक नेस्टेड अनुकूली गौसियन क्वाडरेचर का उपयोग करता है)। और आपको जांचना चाहिए कि अनुरोधित सहिष्णुता क्या है (आवश्यक पूर्ण और सापेक्ष सहिष्णुता)। संभावना है कि डिफ़ॉल्ट रूप से, यह केवल के लिए पूछता है $10^{-8}$ सापेक्ष सटीकता।

मेपल से आने वाला उत्तर शायद कंप्यूटर बीजगणित द्वारा किया गया है और शायद यह एक बंद समाधान ढूंढ सकता है जो तब डबल सटीक फ़्लोटिंग पॉइंट का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया था। इसका यह फायदा है कि आप एक परिमित योग द्वारा अभिन्न का अनुमान नहीं लगा रहे हैं (और इसलिए सन्निकटन त्रुटियों का परिचय दे रहे हैं) लेकिन कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली अभिन्न के लिए एक अभिव्यक्ति पाएगी, जिसका मूल्यांकन किया जा सकता है। बेशक, इस अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करते समय ध्यान रखना चाहिए (राउंड-ऑफ के लिए)।

यदि आप SciPy के साथ ऐसा करना चाहते हैं, तो आपको अंतर्निहित Quadpack (Piessens et al।) रूटीन का उपयोग करके नेस्टेड एडेप्टिव गॉसियन क्वाडरेचर का भी सहारा लेना होगा। ऑक्टेव में, आपके पास एक ही दृष्टिकोण होगा। और मैं भी अगर मैटलैब भी क्षेत्रकलन इंजन के रूप में Quadpack का उपयोग करता है (क्योंकि यह है हैरान नहीं किया जाएगा संदर्भ)।

— GertVdE
स्रोत

@ ग्रेट: सूचना के लिए धन्यवाद। मैंने अभिन्न रूप से पहले सांकेतिक रूप से मूल्यांकन करने की कोशिश की, और मेपल ऐसा नहीं कर सका (इसलिए मानक कार्यों का उपयोग करते हुए यह शायद असंभव था), इसलिए मैंने मेपल को संख्यात्मक रूप से करने के लिए कहा। मुझे नहीं पता कि यह किस एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है।

— स्टीफन स्मिथ

@StefanSmith: आप मेपल में infolevel सेट करके पता लगा सकते हैं infolevel[`evalf/int`] := 4:। क्या आप सुनिश्चित हैं कि Mape एक बंद समाधान नहीं ढूंढ सकता है? अभिन्न बहुत जटिल नहीं लगता है। क्या आप अपनी मेपल शीट को कहीं सार्वजनिक कर सकते हैं?

— 13

@StefanSmith: मैं ऊपर के प्रश्न में मेपल कोड पोस्ट करूँगा।

— GertVdE

मुझे अभी अपने सिस्टम पर काम करने के लिए मेपल नहीं मिल सकता है, लेकिन मैंने मैथमेटिका में समकक्ष अभिन्नता का प्रयास किया, और मैथमेटिका ने पहले ट्रिपल इंटीग्रल के केवल आंतरिक दो किया, और दूसरे ट्रिपल इंटीग्रल पर रोक दिया। कृपया संपादित प्रश्न देखें।

— स्टीफन स्मिथ