एक रैखिक बाधा के साथ एक उत्तल कार्य (अवतल कार्य को कम करना) को अधिकतम करना

Question

$$\max f(\mathbf{x}) \text{ subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

जहाँ $f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)^2}}$ ,
$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ , और
$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

हम देख सकते हैं कि $f(.)$ के रूप में है $\sqrt{1+y^2}$ और है एक उत्तल समारोह।
यह भी दिखाया जा सकता है कि f (।) को $[\sqrt{2}, 2]$ ।

यह एक रैखिक कमी के साथ उत्तल न्यूनतम समस्या है।

इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए मानक एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है?

समस्या की विशिष्ट प्रकृति का उपयोग करते हुए, क्या किसी भी मानक अनुकूलन सॉफ्टवेयर / पैकेज का उपयोग करके इसे हल करना संभव है?

Comments

क्या आपने यह देखने के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग करने की कोशिश की है कि क्या यह कुछ और अधिक ट्रैफ़िक में बदल देता है?

— नथानिएल

Answer 1

आप समस्या की संरचना का लाभ उठा सकते हैं, हालांकि मुझे पता है कि आपके लिए ऐसा नहीं होगा।

अनिवार्य रूप से, आप जिस चीज की तलाश कर रहे हैं वह एक उत्तल पॉलीटोप (या उत्तल पॉलीहेड्रॉन) पर अवतल कार्य को कम कर रहा है। एक त्वरित खोज ने कुछ प्रासंगिक स्रोतों को खींच लिया (जब मैं चार साल पहले नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग पर एक क्लास लेता था तो मैं इनमें से एक का उल्लेख करता हूं)

फॉक, जेई और हॉफमैन, केएल अवतल कम से कम पॉलिथोप्स , संचालन अनुसंधान, 1986, वॉल्यूम के माध्यम से। 34, नंबर 6, पी। 919-929।

हॉफमैन, केएल ए विश्व स्तर पर उत्तल कार्यों को उत्तल करने के लिए एक विधि उत्तल सेट , गणितीय प्रोग्रामिंग, 1981, वॉल्यूम। 20, पी। 22-31।

बेंसन, एचपी एक बहुपत्नी , नेवल रिसर्च लॉजिस्टिक्स, 1985, वॉल्यूम पर अवतल कम करने के लिए एक परिमित एल्गोरिदम । 32, नंबर 1, पी। 165-177।

क्रिस्टोफ़ मेयर की वेब साइट पर संदर्भों का एक समूह ।

यदि आप Google "पॉलीटॉप पर अवतल कार्य को कम करते हैं" (या "पॉलीहेड्रॉन" को "पॉलीथोपोन" से बदलें) तो और भी स्रोत हैं।

Answer 2

मैंने कुछ साल पहले अनुकूलन पर एक व्याख्यान में भाग लिया। वापस तो हमने YALMIP के साथ संयोजन में Matlab का उपयोग किया।

YALMIP विकी

Answer 3

इस समस्या को उत्तल कार्यों (DC) प्रोग्रामिंग समस्या के अंतर के रूप में देखा जा सकता है। डीसी प्रोग्रामिंग पर एक व्यापक साहित्य है, आप संबंधित अध्ययनों की खोज कर सकते हैं। सबसे प्रसिद्ध विधि में से एक DCA विधि है, उदाहरण के लिए देखें: http://lma.univ-pau.fr/meet/mamern09/en/Lethi-MAMERN09.pdf

एक और हालिया पेपर जो कुछ हद तक डीसी साहित्य का सर्वेक्षण करता है और काम हो सकता है: https://arxiv.org/pdf/1511.01796.pdf

आप nonsmooth समस्याओं के लिए कुछ और सामान्य विधि का भी उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए दिए गए प्रॉक्सी-आधारित विधि: http://num.math.uni-goettingen.de/~ssabach/BST2013.pdf

Answer 4

मैं आपके विचार के लिए फ्रैंक वोल्फ एल्गोरिथ्म और संबंधित तरीकों की पेशकश करूंगा । मूल रूप से, आप वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन को रैखिक करते हैं और प्रत्येक पुनरावृत्ति पर परिणामी एलपी को हल करते हैं। हालांकि, मुझे लगता है कि इस दृष्टिकोण को प्रभावी बनाने के लिए आपको पर सीमाएं जोड़ने की आवश्यकता होगी ।$x$