हाइपरमेट्रिक कार्यों के मूल्यांकन के लिए कुशल, सटीक एल्गोरिदम क्या हैं?

Question

मैं यह जानने के लिए उत्सुक हूं कि सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन (या श्रृंखला) के मूल्यांकन के लिए अच्छे संख्यात्मक एल्गोरिदम मौजूद हैं , जिन्हें परिभाषित किया गया है

$${}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}$$

सामान्य तौर पर, यह श्रृंखला बहुत तेज़ी से (या बिल्कुल) अभिसरण करने के लिए आवश्यक नहीं है, इसलिए एक-एक करके शब्दों को आदर्श से कम लगता है। क्या कोई वैकल्पिक विधि है जो बेहतर काम करती है? विशिष्ट होने के लिए, मैं एक ऐसी चीज़ की तलाश कर रहा हूं, जो गणना की उचित संख्या के साथ सटीक के 4 या 5 अंक दे।

सबसे आम मामले जो मैं आमतौर पर इस्तेमाल करता हूं वह और , लेकिन जिस विशेष परियोजना में मैं काम कर रहा हूं, उसके लिए मुझे । स्पष्ट रूप से किसी भी और लिए एक सामान्य एल्गोरिथ्म आदर्श है, लेकिन मैं वही ले सकता हूं जो मुझे मिल सकता है।$p=1,q=1$$p=2,q=1$$p=1,q=2$$p$$q$

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यदि आपका मामला Abramowitz और Stegun's Handbook ( people.math.sfu.ca/~cbm/aands/subj.htm ) में शामिल नहीं है, जो कि यह नहीं है, तो आप मूल रूप से अपने आप से यह पता लगाने के लिए बर्बाद हैं, मैं ' एम डर ...

— Jaime

Answer 1

$z$$a_i, b_i$

$p \le q + 1$$|z|$$p < q + 1$$|z|$

के लिये ${}_1F_2$$a_1, b_1, b_2$

$z$

$p = q + 1$$1/z$$p > q + 1$

एक पूर्ण कार्यान्वयन के लिए, अन्य मुद्दों पर भी विचार करना है (उदाहरण के लिए, उन मापदंडों से निपटना जो बहुत बड़े या नकारात्मक पूर्णांक के बहुत करीब हैं)। पर्याप्त रूप से खराब मापदंडों के लिए, दोहरी सटीकता के साथ सटीक मान प्राप्त करना बहुत मुश्किल होगा, चाहे आप कुछ भी करें, इसलिए मनमाना-सटीक अंकगणित की आवश्यकता हो सकती है।

मुझे ध्यान देना चाहिए कि मैंने mpmath लाइब्रेरी के लिए सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन का लगभग पूरा संख्यात्मक कार्यान्वयन लिखा है (यह वर्तमान में फ़ंक्शन से अधिक के लिए असममित श्रृंखला याद कर रहा है ${}_2F_3$

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अति उत्कृष्ट! दुर्भाग्य से मैं वास्तव में पैरामीटर मानों के बारे में अधिक विशिष्ट नहीं हो सकता क्योंकि फ़ंक्शन विभिन्न स्थानों में विभिन्न मूल्यों के साथ पॉप अप करता है। मैं निश्चित रूप से कुछ बिंदु पर mpmath में आपके कार्यान्वयन का उपयोग करने और / या देखने में रुचि रखूंगा।

— डेविड जेड

फ्रेड्रिक का जवाब सही है। मैं केवल यह इंगित करूंगा, कि मैंने "a" और "b" गुणांक के विशेष मूल्यों के लिए एक तर्कसंगत सन्निकटन (Mathematica से) का उपयोग करके समाप्त किया, क्योंकि यह सभी वास्तविक "z" के लिए सटीक है (मैं अंतराल में वास्तविक अक्ष को विभाजित करता हूं) और प्रत्येक पर एक अलग तर्कसंगत सन्निकटन का इस्तेमाल किया) और बहुत तेज। मैंने फोर्ट्रान में अपने दोहरे परिशुद्धता कार्यान्वयन की सटीकता की जांच करने के लिए एमएमएथ का उपयोग किया।

— ओदिन्ज íertík

Answer 2

सभी विशेष कार्यों के लिए विहित संदर्भ Abramowicz और Stegun है। यह एक किताब है जो जल्द ही लगभग आधी सदी के लिए है और अगर आपको इसमें कुछ नहीं मिल रहा है, तो "अपडेटेड दूसरे संस्करण" पर एक नज़र डालें जो वास्तव में राष्ट्रीय मानक संस्थान (एनआईएसटी) द्वारा आयोजित एक वेबसाइट है )। मेरे पास सटीक URL नहीं है, लेकिन इसे खोजना बहुत मुश्किल नहीं होना चाहिए।

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अब इसे "डिजिटल लाइब्रेरी ऑफ़ मैथमेटिकल फ़ंक्शंस" कहा जाता है; हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन अध्याय 15 का विषय हैं ।

— ईसाई क्लासन

$_2F_1$$_1F_2$