चोल्स्की कारक की गणना

Question

तो चोल्स्की अपघटन प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी वास्तविक सममित सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स में एक चोल्स्की अपघटन जहां एक कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।$M$$M= LL^\top$$L$

को देखते हुए , हम पहले से ही जानते हैं कि इसके चोल्स्की फैक्टर गणना करने के लिए तेज़ एल्गोरिदम हैं ।$M$$L$

अब, मान लीजिए कि मुझे एक आयताकार मैट्रिक्स दिया गया था , और मुझे पता था कि सकारात्मक निश्चित था। क्या के चोल्स्की फैक्टर की गणना के बिना स्पष्ट रूप से गणना करने और फिर कोलेस्की फैक्टराइजेशन एल्गोरिदम को लागू करने का एक तरीका है?$m\times n$$A$$A^\top A$$L$$A^\top A$$A^\top A$

यदि एक बहुत बड़ा आयताकार मैट्रिक्स है, जो प्रदर्शन करता है, तो स्पष्ट रूप से बहुत महंगा है और इसलिए यह प्रश्न है।$A$$A^\top A$

Comments

क्रॉस-उत्पाद मैट्रिक्स बनाने के खर्च से अधिक, यह दृष्टिकोण आपके की स्थिति संख्या को भी । यदि आपका लगभग रैंक-डिफेक्ट है, तो यह निश्चित रूप से आगे बढ़ने का एक खराब तरीका है। $\mathbf A$$\mathbf A$

— जेएम

यह सवाल और यह सवाल अलग-अलग तरीकों से एक ही बात पूछता है। इन थ्रेड्स में उत्तर (और नीचे दिए गए उत्तर) आपके लिए उपयोगी होने चाहिए।

— डेमियन

Answer 1

हाँ, आप क्यूआर अपघटन का उपयोग करके कारक (प्रविष्टियों के संकेतों तक) प्राप्त कर सकते हैं; इस उत्तर को देखें । ध्यान दें कि यदि आप सभी में रुचि रखते हैं तो कम से कम वर्गों की समस्या को हल कर रहे हैं जो जुड़े सामान्य समीकरणों तक ले जाते हैं , तो आप सीधे क्यूआर अपघटन का उपयोग कर सकते हैं।$A^T A$

Answer 2

हाँ। कारक की गणना और ; की पंक्तियों को पुनर्विक्रय करें यदि आवश्यक हो (उनके कुछ संकेतों को बदलकर) विकर्ण के संकेत को अप्रतिष्ठित करने के लिए (जैसा कि चोल्स्की कारक को एक nonnegative विकर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है)।$QR$$L=R^T$$R$

विरल QR कारक के लिए देखें, उदाहरण के लिए, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408