'शून्य' द्वारा संभावित विभाजन के साथ संख्यात्मक एकीकरण

मैं एकीकृत करने की कोशिश कर रहा हूं

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

का एक साधारण परिवर्तन है

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

का उपयोग करते हुए क्योंकि यह संख्यानुसार अनुमानित अनुचित अभिन्न करना मुश्किल है। हालांकि, यह शून्य के पास नए इंटीग्रांड के मूल्यांकन की समस्या को जन्म देता है। यह देखने के लिए बहुत आसान होगा कि क्वाडरेचर नोड्स को उचित संख्या में देखा जाए क्योंकि अंतराल केवल लंबाई 1 का है (इसलिए तुलनीय को बहुत छोटा बनाया जा सकता है), लेकिन शून्य के करीब होने पर मुझे किस तरह के विचार करने चाहिए? $t = \frac1{x}$ $dt$

कुछ स्तर पर, मुझे लगता है कि बस एक अच्छा विचार है जहां कुछ छोटी संख्या है । हालांकि, मुझे किस नंबर का चयन करना चाहिए? क्या यह मशीन एप्सिलॉन होना चाहिए? क्या मशीन एप्सिलॉन द्वारा विभाजन एक अच्छी तरह से निर्धारित संख्या है? इसके अलावा, यदि विभाजन मेरी मशीन एप्सिलॉन (या इसके करीब) एक अविश्वसनीय रूप से बड़ी संख्या देता है, तो और भी बड़ा हो जाएगा। $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

मुझे इसका कैसे हिसाब देना चाहिए? क्या इस कार्य के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्यात्मक अभिन्न अंग है? यदि नहीं, तो फ़ंक्शन को एकीकृत करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

quadrature accuracy

— drjrm3
स्रोत

क्या आपने मोंटे कार्लो का उपयोग करने पर विचार किया है?

— फहीम मीठा

मुझे लगता है कि यह समस्या को ठीक नहीं करेगा। मोंटे कार्लो एकीकरण अक्सर उच्च आयामी इंटीग्रल के लिए आरक्षित है। मैं मोंटे कार्लो के साथ ठीक उसी समस्याओं में भागूंगा, जहां मेरे कार्य का मूल्यांकन किया जा रहा है, मैं बस उस पर कम नियंत्रण रखूंगा।

— drjrm3

तुम सही हो सकते हो।

— फहीम मीठा

मुझे लगता है कि यह जवाब देना अच्छा होगा (शायद एक अलग, अधिक सामान्य प्रश्न के लिए) यह समझाते हुए कि सामान्य स्थिति के लिए फ़ंक्शन एक सीमा पर होने पर संख्यात्मक एकीकरण कैसे करता है, सामान्य मामले के लिए जहां अभिन्न विश्लेषणात्मक रूप से करना संभव नहीं है। तो फिर, कि सिर्फ न्यूमेरिकल व्यंजनों में पाया जा सकता है ...

— डेविड Z

@ फहीम: "मोंटे कार्लो एक बेहद खराब तरीका है; इसका इस्तेमाल तभी किया जाना चाहिए जब सभी वैकल्पिक तरीके खराब हों।" - एलन सोकल

— JM

जवाबों:

यह भागों द्वारा एकीकरण द्वारा किया जा सकता है: और प्रेरण ताकि और ।

\int_{1}^{\infty} x e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{a} \int_{1}^{\infty} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{e^{- a}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}} e^{- a}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x^{k} e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

I (k) = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} I (k - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

— मैट नेप्ले
स्रोत

बिल्कुल नहीं पता कैसे मैं इस अनदेखी की। धन्यवाद।

— drjrm3

चतुर प्रतिस्थापन और भागों द्वारा एकीकरण हमेशा पहली चीजों में से एक होना चाहिए जो आप अनियंत्रित इंटीग्रल्स के साथ करते हैं।

— जेएम

जब भी आपके पास इस तरह का अभिन्न अंग होता है, तो कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली से पूछना अक्सर एक अच्छा विचार होता है। मेपल " तुरंत" "से करता है ; मुझे यकीन है कि गणितज्ञ भी ऐसा ही करता है। (फिर भी इसे संख्यात्मक रूप से सत्यापित करने का एक अच्छा विचार है, निश्चित रूप से, जिसे ये लोग आमतौर पर भी कर सकते हैं।)

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

— एरिक पी।

वास्तव में मैथेमैटिका एक्सपैन्ग्रेटल [-2 n, ar] के रूप में उत्तर का प्रतिनिधित्व करने का विकल्प चुनता है। यदि आप इस पर FunctionExpand चलाते हैं, तो यह मेपल के समान उत्तर देता है।

— 21

QUADPACK पर एक नज़र डालें । इसमें (अधिक) अनंत डोमेन पर एकीकरण के लिए दिनचर्या है।

— GertVdE
स्रोत