संख्यात्मक त्रुटियों के लिए वैज्ञानिक मानक

Question

मेरे शोध के क्षेत्र में प्रायोगिक त्रुटियों के विनिर्देश आमतौर पर स्वीकार किए जाते हैं और प्रकाशन जो उन्हें प्रदान करने में विफल होते हैं, उनकी अत्यधिक आलोचना की जाती है। उसी समय मैं अक्सर पाता हूं कि संख्यात्मक गणनाओं के परिणाम संख्यात्मक त्रुटियों के किसी भी खाते के बिना प्रदान किए जाते हैं, भले ही (या शायद क्योंकि) अक्सर संदिग्ध संख्यात्मक पद्धतियां काम पर होती हैं। मैं उन त्रुटियों के बारे में बात कर रहा हूं जो संख्यात्मक अभिकलन आदि के विवेक और परिमित परिशुद्धता के परिणामस्वरूप होते हैं। निश्चित रूप से, इन त्रुटि अनुमानों को प्राप्त करना हमेशा आसान नहीं होता है, जैसे कि हाइड्रो-डायनेमिक समीकरणों के मामले में, लेकिन अक्सर ऐसा लगता है कि मुझे लगता है कि आलस्य से परिणाम प्रायोगिक परिणामों के लिए संख्यात्मक त्रुटि अनुमानों की विशिष्टता उतनी ही मानक होनी चाहिए जितनी वे हैं। इसलिए मेरा सवाल:

Answer 1

आपका प्रश्न मॉडल सत्यापन के बारे में पूछ रहा है। आप सत्यापन और सत्यापन ( Roache 1997 , 2002 , 2004 , Oberkampf & Trucano 2002 , Salari & Knupp 2000 , Babuska & Oden 2004 ), साथ ही अनिश्चित परिमाण के व्यापक विषय पर खोज करके विधियों और मानकों पर कई संसाधन पा सकते हैं । तरीकों पर विस्तार करने के बजाय, मैं एक ऐसे समुदाय पर प्रकाश डालना चाहूंगा, जिसने इस मुद्दे पर कड़ा रुख अपनाया।

1986 में, Roache, Ghia, और व्हाइट ने न्यूमेरिकल सटीकता के नियंत्रण पर तरल पदार्थ इंजीनियरिंग संपादकीय नीति विवरण के जर्नल की स्थापना की, जो इसके साथ खुलता है

कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी समुदाय में एक पेशेवर समस्या मौजूद है और कम्प्यूटेशनल भौतिकी के व्यापक क्षेत्र में भी है। अर्थात्, संख्यात्मक सटीकता के नियंत्रण पर उच्च मानकों की आवश्यकता है।

[...] यह समस्या निश्चित रूप से JFE के लिए अद्वितीय नहीं है और 1980-81 AFOSRHTTM- स्टैनफोर्ड कॉन्फ्रेंस इन कॉम्प्लेक्स टर्बुलेंट फ्लो पर भी अधिक ध्यान केंद्रित किया। यह उस सम्मेलन की मूल्यांकन समिति का एक निष्कर्ष था कि, उस सम्मेलन में अधिकांश प्रस्तुतियाँ में, विभिन्न अशांति मॉडल की सटीकता का मूल्यांकन और तुलना करना असंभव था, क्योंकि कोई एल्गोरिदम और से संबंधित संख्यात्मक त्रुटियों से शारीरिक मॉडलिंग त्रुटियों को अलग नहीं कर सकता था। ग्रिड। यह विशेष रूप से फर्स्ट-ऑर्डर सटीक तरीकों और हाइब्रिड तरीकों के लिए मामला है।

वे बहुत ही सीधे दिशानिर्देशों के साथ समाप्त होते हैं:

तरल पदार्थ इंजीनियरिंग जर्नल एक तरल पदार्थ इंजीनियरिंग समस्या के संख्यात्मक समाधान की रिपोर्टिंग करने वाले किसी भी पेपर को प्रकाशित करने के लिए स्वीकार नहीं करेगा जो व्यवस्थित ट्रंकेशन त्रुटि परीक्षण और सटीकता के आकलन के कार्य को संबोधित करने में विफल रहता है।

[...] हमें यह स्पष्ट करना चाहिए कि एक निश्चित ग्रिड में एक भी गणना स्वीकार्य नहीं होगी , क्योंकि इस तरह की गणना से सटीकता का अनुमान लगाना असंभव है। साथ ही, संपादकों ने प्रायोगिक डेटा के साथ एक उचित समझौते को सटीकता का पर्याप्त प्रमाण नहीं माना है, खासकर अगर कोई समायोज्य पैरामीटर शामिल है, जैसा कि अशांति मॉडलिंग में है।

वर्तमान संस्करण मापदंड के एक व्यापक सेट शामिल है और एक मानक है कि, मेरी राय में, अन्य क्षेत्रों के मैच के लिए कामना करनी चाहिए प्रतिनिधित्व करता है। यह शर्मनाक है कि आज भी, मॉडल सत्यापन के महत्व के बारे में जागरूकता इतने सारे क्षेत्रों में अनुपस्थित है।

Comments

ट्यून करने योग्य मापदंडों के बारे में अंतिम बिंदु मुझे जॉन वॉन न्यूमैन के एक उद्धरण की याद दिलाता है, "चार मापदंडों के साथ मैं एक हाथी को फिट कर सकता हूं, और पांच के साथ मैं उसे अपने ट्रंक को विगलित कर सकता हूं।"

— जेड ब्राउन

यह केवल विवेकाधीन त्रुटि के प्रभाव को संबोधित करता है, राउंडिंग त्रुटियों का नहीं, जो कि तरल पदार्थों के सिमुलेशन में लगभग सार्वभौमिक रूप से नजरअंदाज कर दिया जाता है क्योंकि वे आम तौर पर कुल त्रुटि में कम योगदान करते हैं। लेकिन अंतर समीकरणों या अभिन्नताओं को शामिल नहीं करने वाले अनुप्रयोगों में, कोई विवेकाधीन त्रुटि नहीं है। इन समस्याओं में, राउंडिंग त्रुटियां और पुनरावृति ट्रंकेशन त्रुटियां त्रुटियों का प्रमुख स्रोत हैं।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

क्या आपको लगता है कि एक कठोर पोस्टीरियर का अनुमान ग्रिड स्वतंत्रता की आवश्यकता को बदल सकता है? जैसा कि कहा गया है कि यह थोड़ा अस्पष्ट है, आप स्वतंत्रता सुनिश्चित करने के लिए ग्रिड को कितना परिष्कृत करते हैं? दूसरी तरफ एक अच्छा पोस्टीरियर अनुमानक अस्पष्टता के लिए कोई जगह नहीं छोड़नी चाहिए।

— रीड.टेकन

@ रीड.टेकसन "यो डॉग, मैंने आपको त्रुटि अनुमानों की तरह सुना है इसलिए मुझे आपकी त्रुटि अनुमान के लिए एक त्रुटि अनुमान मिला है ताकि आप अपने ..." में त्रुटि का अनुमान लगा सकें, लेकिन दुर्भाग्य से, व्यावहारिक त्रुटि अनुमान कठोर नहीं हैं। सबसे बुरा मामला है। जो भी सीमाएँ उपलब्ध हैं वे अक्सर निराशावादी होती हैं और उन मान्यताओं पर भरोसा करती हैं जो अधिकांश इंजीनियरिंग समस्याओं के लिए सही नहीं हैं। सर्वोच्च त्रुटि अनुमानक के साथ भी, आपको यह सत्यापित करने की आवश्यकता है कि इसे सही तरीके से लागू किया गया था। हर तरह से, यदि आपके पास एक त्रुटि अनुमानक का उपयोग करें, लेकिन त्रुटि अनुमानक स्टैंड-अलोन सत्यापन नहीं है।

— जेड ब्राउन

Answer 2

इस तरह के कोई मानक मौजूद नहीं हैं, क्योंकि विश्वसनीय त्रुटि अनुमान अक्सर अनुमानित गणनाओं की तुलना में बहुत अधिक होता है।

मूलतः चार प्रकार के त्रुटि अनुमान हैं:

(i) सैद्धांतिक विश्लेषण यह साबित करता है कि एक संख्यात्मक विधि संख्यात्मक रूप से स्थिर है। यह वास्तव में एक त्रुटि बार नहीं देता है क्योंकि विश्लेषण केवल गारंटी देता है कि बनाई गई त्रुटि इनपुट तर्कों में एक मात्राबद्ध त्रुटि से भी बदतर नहीं है। यह अधिकांश वैज्ञानिक गणनाओं के लिए पर्याप्त है क्योंकि इनपुट भी लगभग अनुमानित हैं, इसलिए संख्यात्मक रूप से स्थिर विधि के साथ की गई त्रुटि थोड़ा अलग (लेकिन अज्ञात) इनपुट का उपयोग करने से भी बदतर नहीं है। सबसे उच्च माना संख्यात्मक विधियों के साथ एक संख्यात्मक stabitly विश्लेषण के साथ कर रहे हैं, हालांकि किसी को शायद ही कोई कार्यान्वयन है कि परिणामी तथाकथित पिछड़ी त्रुटि के अनुरोध पर रिपोर्ट करता है।

(ii) असममित त्रुटि अनुमान। ये मानते हैं कि सभी त्रुटियों (इनपुट त्रुटियों, गोलाई त्रुटियों या सबसे सामान्य स्रोत होने के नाते विवेकाधिकार त्रुटियों) के उत्पादों को उपेक्षित किया जा सकता है (संदिग्ध यदि कार्य बहुत ही अस्वाभाविक हैं), और इनपुट त्रुटियों को फैलाने के लिए संवेदनशीलता विश्लेषण का उपयोग करें। एक संख्यात्मक स्थिरता विश्लेषण के साथ, यह गोलाई त्रुटियों या विवेकाधीन त्रुटियों के प्रभाव को भी पकड़ सकता है। परिणामी त्रुटि पट्टियाँ उन मान्यताओं की वैधता के समान हैं, जिन पर वे आधारित हैं। स्वचालित विभेदीकरण साधनों का उपयोग करते हुए, त्रुटि अनुमान की लागत आमतौर पर सन्निकटन के लिए लागत के अतिरिक्त 1 या 2 का कारक है। इस प्रकार इस तरह की त्रुटि का अनुमान व्यवहार में लगातार होता है।

[संपादित करें] उदाहरण के लिए, ओटली-प्रागेर प्रमेय रैखिक प्रणालियों के समाधान के लिए आसानी से गणना योग्य पिछड़े त्रुटि अनुमान देता है। संवेदनशीलता विश्लेषण बताता है कि इन त्रुटियों को मैट्रिक्स व्युत्क्रम के मानक से गुणा किया जाना चाहिए, जिसका अनुमान हैगर के अनुमानक (आधुनिक स्थिति संख्या अनुमानकों में निर्मित) का उपयोग करके लगाया जा सकता है।

(iii) स्टोकेस्टिक त्रुटि विश्लेषण: (CESTAC, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378475488900705) यह एक स्टोकेस्टिक संस्करण के साथ सभी ऑपरेशनों को ओवरलोड करके किया जाता है जो तर्कों के तीन सेटों का मूल्यांकन करता है और बाद में एक कृत्रिम यादृच्छिक राउंडिंग त्रुटि जोड़ता है। अंतिम तीन परिणाम एक माध्य और एक मानक विचलन की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है (2 = 3-1 से विभाजित माध्य से विचलन के वर्गों का योग)। यह गोलाई त्रुटि भाग का एक काफी उपयोगी सटीकता अनुमान देता है। हालांकि, यह विवेकाधीन त्रुटि का खाता नहीं है, जो आमतौर पर ODE और PDE संगणना में प्रमुख त्रुटि है। ओवरलोड संचालन को अंजाम देने में ओवरहेड के कारण लागत प्रोग्रामिंग भाषा पर निर्भर करती है। यह मानते हुए (जो लगभग कभी नहीं होता है) ओवरलोडिंग का कोई समय का दंड नहीं होता है, परिणाम प्लस त्रुटि अनुमान के लिए लागत केवल अनुमान लगाने की तुलना में 3 का एक कारक है।

(iv) अंतराल विश्लेषण: यह ठीक से किए जाने पर सभी त्रुटि स्रोतों के लिए कठोर सीमा प्रदान करता है, लेकिन साधारण मामलों को छोड़कर इसमें बहुत अनुभव (या सॉफ्टवेयर को मूर्त रूप देने) की आवश्यकता होती है, इसे इस तरह से करना है कि सीमाएं सही त्रुटियों को गंभीर रूप से अनदेखा न करें। । रेखीय बीजगणित (उदाहरण के लिए, IntLab http://www.ti3.tu-harburg.de/rump/intlab/) के लिए अन्य लोगों के बीच अच्छा अंतराल सॉफ्टवेयर उपलब्ध है ; यदि आयाम बड़ा है, तो लगभग 6 का एक कारक लागत; और वैश्विक अनुकूलन (जैसे , COCONUT http://www.mat.univie.ac.at/~coconut/coconut-environment/; समस्या के फीचर्स के आधार पर कहीं अधिक महंगा हो सकता है या अनुमानित वैश्विक अनुकूलन से सस्ता भी हो सकता है)। लेकिन समस्याओं के कई अन्य वर्गों में लगभग इलाज करना आसान है (उदाहरण के लिए, 10 वर्षों में सौर मंडल के बड़े ग्रहों के प्रक्षेपवक्र को घेरना) अंतराल की वर्तमान पीढ़ी के लिए पूरी तरह से पहुंच से बाहर हैं।

Comments

धन्यवाद। मैं काम पर (ii) देखना चाहूंगा। क्या आप एक उदाहरण दे सकते हैं जहां लेखक वैश्विक त्रुटि अनुमानों को निर्धारित करने के लिए संवेदनशीलता विश्लेषण और संख्यात्मक स्थिरता विश्लेषण को जोड़ते हैं।

— highsciguy

@highsciguy:

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

धन्यवाद। याकूब मैट्रिक्स?

— हाईस्कूलग्यु

@highsciguy: आपके आखिरी सवाल को नहीं समझेंगे। उदाहरण समीकरणों के एक रेखीय प्रणाली को हल कर रहा था, कोई जेकबियन आंकड़े नहीं।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

मैंने रेखीय की अनदेखी की। तब यह स्पष्ट है। क्या ओटली-प्रेगर प्रमेय को गैर-रैखिक प्रणालियों में सामान्य करने का प्रयास किया जाता है?

— Highsciguy

Answer 3

की तरह। सैद्धांतिक त्रुटि सीमाएं हैं जो संख्यात्मक विश्लेषकों द्वारा प्राप्त की गई हैं जो आमतौर पर overestimates हैं, और व्यवहार में उतने उपयोगी नहीं हो सकते हैं, क्योंकि वे ऐसी जानकारी शामिल कर सकते हैं जो अभ्यास में समस्याओं के लिए प्राप्त करना मुश्किल है। एक अच्छा उदाहरण साधारण समीकरणों के समाधान में संख्यात्मक त्रुटियों पर सीमा होगी, जिसे आप हेअर और वानर की पुस्तकों में पा सकते हैं। निक हिगम की पुस्तक, न्यूमेरिकल एल्गोरिदम की सटीकता और स्थिरता (मैं शीर्षक के बारे में थोड़ा हटकर हो सकता है) भी सामान्य संख्यात्मक संचालन और रैखिक बीजगणित एल्गोरिदम पर कुछ त्रुटि सीमा प्रदान करता है। संख्यात्मक विश्लेषण साहित्य ऐसी सीमाओं के साथ व्याप्त है।

त्रुटि विश्लेषण की गणना के लिए अंतराल विश्लेषण विधियों का भी उपयोग किया गया है; ये विधियां कठोर हैं, और सैद्धांतिक त्रुटि सीमा की तुलना में अधिक मजबूत त्रुटि सीमा प्रदान करती हैं, लेकिन ये विधियां अभी भी संख्यात्मक रूप से त्रुटि में स्थूलता से अधिक हो सकती हैं। इन तरीकों का वैश्विक अनुकूलन में सबसे अच्छा शोषण किया गया है (मेरे ज्ञान के लिए), लेकिन अनिश्चितता मात्रा में उपयोग भी पा रहे हैं। अर्नोल्ड न्यूमैयर ने अंतराल विश्लेषण विधियों पर कम से कम एक पुस्तक लिखी है, और इस विषय पर विस्तार से टिप्पणी करने के लिए बेहतर योग्य है। संभावित overestimation मुद्दों के अलावा, अंतराल विश्लेषण के तरीकों को अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल बुनियादी ढांचे की आवश्यकता होती है जो मौजूदा बड़े संख्यात्मक सिमुलेशन पैकेजों (जैसे PETSc, Trilinos, CLAWPACK / PyClaw, आदि) के रेट्रोफिटिंग की आवश्यकता होती है। ) अंतराल अंकगणित और स्वचालित भेदभाव (टेलर-आधारित विधियों के लिए) को शामिल करने के लिए। मैंने जो देखा है, वहां से कई अनुज्ञापत्रिक रूप से लाइसेंस प्राप्त अंकगणित और स्वचालित भेदभाव पैकेज नहीं हैं, हालांकि कुछ हैं। फिर भी, कभी-कभी, इन पुस्तकालयों में सीमित कार्यक्षमता होती है; बीएलएएस जैसी कार्यक्षमता के साथ एक अनुज्ञेय-लाइसेंस प्राप्त (एलजीपीएल, या बीएसडी-जैसे) अंतराल अंकगणित पुस्तकालय को खोजना मुश्किल है।

एक पश्चगामी त्रुटि का अनुमान अधिक आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन कठोर नहीं हैं। मैं सामान्य अंतर समीकरणों पर काम से इन अनुमानों से सबसे अधिक परिचित हूं, लेकिन वे आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई तरीकों के लिए भी मौजूद हैं।

अधिक मोटे तौर पर, अनिश्चितता मात्रा का ठहराव के तरीके, जैसे कि बहुपद अराजकता विस्तार, मोंटे कार्लो के तरीकों का उपयोग, या अन्य नमूना तरीकों का उपयोग इनपुट मापदंडों में भिन्नता के कारण गणना में अनिश्चितता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। इन विधियों को मापदंडों में भिन्नता के कारण कुछ प्रकार के हेयुरिस्टिक "एरर बार" प्रदान करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन कठोर सीमाएं नहीं देंगी।

मेरा मानना ​​है कि जब आप संख्यात्मक त्रुटियों के विनिर्देशन पर आते हैं, तो आप बिल्कुल सही हैं: कम्प्यूटेशनल विज्ञान को अपने परिणामों को प्रयोग आधारित भौतिक विज्ञान के रूप में प्रस्तुत करने के बारे में कठोर होना चाहिए। इस क्षेत्र में बहुत काम किया जा रहा है (छतरी की शर्तों के तहत "अनिश्चितता मात्रा का ठहराव" और "संख्यात्मक विश्लेषण"), और यह मेरी आशा है कि भविष्य में किसी बिंदु पर सबसे कम्प्यूटेशनल परिणामों की चर्चा करते समय त्रुटि सलाखों को शामिल किया जाएगा। ।

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क्या आप इन बहुपद अराजकता विस्तार पर एक अवलोकन लेख का एक अच्छा संदर्भ है? मैंने शब्द को नियमित रूप से पॉप अप करते हुए देखा है और उनके बारे में थोड़ा और सीखना चाहूंगा। धन्यवाद।

— GertVdE

डोंगबिन शीउ आम तौर पर बहुपद अराजकता विस्तार पर सुलभ पत्र लिखते हैं। यहाँ उनके द्वारा लिखे गए अधिक सामान्य अवलोकन पत्रों में से एक है: dam.brown.edu/scicomp/media/report_files/BrownSC-2003-07.pdf

— ज्यॉफ ऑक्सबेरी

Answer 4

अन्य उत्तरों के अलावा, विचार करने के लिए कुछ अतिरिक्त बिंदु हैं।

1. संख्यात्मक विवेकाधीन त्रुटियां, या कम से कम योजनाओं का क्रम, विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। इन त्रुटियों की चर्चा को कागजात से हटा दिया जा सकता है यदि वे एक सामान्य रूप से ज्ञात योजना का उपयोग करते हैं।
2. ग्रिड शोधन अध्ययन जहां एक ही समस्या, आमतौर पर कुछ सरल है, उत्तरोत्तर महीन ग्रिड पर चलाया जाता है। इनकी तुलना एक सटीक समाधान, या हास्यास्पद रूप से ठीक ग्रिड पर समाधान, एल-आदर्श, आमतौर पर एल 2 को खोजने के लिए की जाती है। इस त्रुटि अनुमान का ढलान सटीकता का क्रम देता है।
3. ऐसी समस्याओं में जहां विभिन्न संख्यात्मक योजनाएं उपलब्ध हैं, लेकिन ग्रिड शोधन या सटीक समाधान नहीं हैं, रिचर्डसन एक्सट्रैपलेशन नामक एक अन्य विधि त्रुटि शर्तों पर सीमाएं देगी। इन विधियों का वर्णन करने वाली एक अच्छी समीक्षा इस पेपर में मिल सकती है
4. अन्त में, प्रत्येक जर्नल स्वीकृति के लिए अपने स्वयं के मानक निर्धारित करता है। कुछ सख्त हैं, अन्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, AIAA ने यहां अपने मानक निर्धारित किए हैं । अन्य पत्रिकाओं में लेखकों के लिए समान जानकारी है।

Comments

मैं सिर्फ 2 बिंदु पर टिप्पणी करना चाहता हूं। मुझे लगता है कि संख्यात्मक रूप से एक वास्तविक दुनिया की समस्या को हल करने में, यह बहुत अधिक संभावना है कि मानदंड दो क्रमिक शोधन के बीच अंतर की तुलना करता है, बजाय "हास्यास्पद हास्यास्पद ग्रिड" के। यदि आप बहुत ही महीन ग्रिड को हल कर सकते हैं, तो आप बहुत मोटे लोगों से क्यों परेशान हैं?

— गॉड्रिक सीयर

ग्रिड शोधन अध्ययन आम तौर पर वास्तविक समस्याओं पर अव्यावहारिक है। यही कारण है कि बिंदु 3 में आता है, यह योजना क्रम को बदलकर ग्रिड को परिष्कृत करने की तुलना में त्रुटि सीमा निर्धारित करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, हम एक अमान्य भंवर का उपयोग करके हमारे कोड को मान्य करते हैं जो अभी भी गैर-रैखिक है लेकिन सटीकता को सत्यापित करने के लिए हम बहुत ही सटीक "सटीक" समाधान चला सकते हैं। लेकिन एक पूर्ण भंवर दहन पर, हम व्यावहारिक रूप से ऐसा नहीं कर सकते हैं इसलिए हम विभिन्न योजनाओं का उपयोग करते हैं।

— tpg2114

यह भी ध्यान दें कि ग्रिड को परिष्कृत करना और उत्तर में अंतर की जांच करना ग्रिड स्वतंत्रता को दर्शाता है, जो त्रुटि सीमा की जांच करने से अलग बात है। व्यावहारिक मामलों में भी ग्रिड शोधन की आवश्यकता होती है, हालांकि बड़े एडी सिमुलेशन जैसे ग्रिड शोधन से कीड़े के पूरे डिब्बे खुल सकते हैं।

— tpg2114

धन्यवाद, मुझे त्रुटि सीमा के साथ गलत तरीके से संबंधित ग्रिड स्वतंत्रता थी। मुझे लगता है कि मैंने हमेशा मान लिया था कि ग्रिड स्वतंत्रता ने विवेकशीलता त्रुटि पर कुछ गुणात्मक स्तर की गारंटी दी है।

— गोड्रिक सीर

ग्रिड की स्वतंत्रता का अर्थ है एक महीन ग्रिड उत्तर में सुधार नहीं करेगा, लेकिन यह आपको यह नहीं बताता है कि आपका उत्तर कितना सटीक है या ग्रिड को कितनी तेजी से परिष्कृत करने से सटीकता में सुधार हुआ है।

— tpg2114