3 डी 4-नोड तत्व पर बहुपद अभिव्यक्ति को कैसे एकीकृत करें?

Question

मैं 3 डी में 4-नोड तत्व पर एक बहुपद अभिव्यक्ति को एकीकृत करना चाहता हूं। एफईए पर कई किताबें उस मामले को कवर करती हैं जहां एक मनमाना फ्लैट 4-नॉन तत्व पर एकीकृत किया जाता है। इस मामले में सामान्य प्रक्रिया जैकोबी मैट्रिक्स को खोजने के लिए है और इसका उपयोग करने के लिए यह निर्धारित किया जाता है कि एकीकरण के आधार को सामान्यीकृत एकीकरण में बदल दिया जाए, जिसमें मेरे पास सरल एकीकरण सीमा [-1]; 1] और गॉस-लीजेंड क्वाड्रिच तकनीक का आसानी से उपयोग किया जाता है।

दूसरे शब्दों में $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$$\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

लेकिन 2 डी मामले में मैं फ्लैट मनमाना तत्व को फ्लैट एक लेकिन अच्छी तरह से आकार 2 वर्ग 2 से बदल देता हूं।

3 डी 4-नेस्टेड तत्व सामान्य रूप से सपाट नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अभी भी 2 डी समन्वय प्रणाली के साथ मैप किया जा सकता है जो किसी तरह से कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से संबंधित है। मैं {x, y, z} को {e, n} के संदर्भ में कैसे व्यक्त कर सकता हूं और इस मामले में जैकोबी मैट्रिक्स का आकार क्या होगा (यह वर्ग होना चाहिए)।

Answer 1

आप में एम्बेडेड 2-आयामी कई गुना पर एक फ़ंक्शन को एकीकृत कर रहे हैं ; मैनिफोल्ड्स पर विश्लेषण की किताबें (जैसे मुनकेर्स की सुलभ पुस्तक, या ली की किताबें कई गुना) इस प्रकार के अभिन्न को परिभाषित करने वाले सिद्धांत पर चर्चा करने में सहायक हैं।$\mathbb{R}^{3}$

मान लेते हैं कि एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसे कई गुना पर परिभाषित किया गया है , जो कि आपका 4-नोड 3-डी तत्व है।$f$$\mathcal{M}$

आप गणना करना चाहते हैं:

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन है जो नक्शे से । फिर[ - 1 , 1 ] 2$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

(मैंने अपनी मेमोरी को रीफ्रेश करने के लिए नोटों के इस सेट का उपयोग किया ।) ऊपर, , याकूबियन मैट्रिक्स ऑफ , और इसका ट्रांज़िशन है।$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

एक बार जब आप पर अभिन्न लिख सकते हैं , तो आप इसका मूल्यांकन करने के लिए संख्यात्मक तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।$[-1,1]^{2}$

कुछ टिप्पणियां:

• मुझे पूरा यकीन है कि आपका 4-नोड 3-डी तत्व कई गुना है। यदि यह है, तो फ़ंक्शन मौजूद है (परिभाषा के अनुसार), टुकड़ा करने योग्य निरंतर (टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स के लिए), और उल्टा है। यह उन गुणों के साथ एक समारोह खोजने के लिए आप पर निर्भर है।$\varphi$
• ऊपर दिया गया तर्क मानता है कि एक सुचारु रूप से कई गुना है, जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है जो लगातार भिन्न होता है। आपके मामले में, आपके द्वारा वर्णित तत्व लगातार भिन्न नहीं हो सकता है। अगर यह सच है, तो आप शायद अभी भी अपने कई गुना को दो सुचारू रूप में विभाजित कर सकते हैं, और फिर ऊपर का तर्क अभी भी पकड़ में है। फिर से, आपको invertibility और निरंतर भिन्नता के गुणों को संतोषजनक खोजना होगा ।$\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद। मैं जिस किताब को पढ़ रहा हूं, वह केवल उस मामले को कवर करती है, जहां एक वर्ग (2 बाय 2) जैकोबी मैट्रिक्स चीजों को सरल रखने के लिए शामिल है। ऊपर की अभिव्यक्ति अगर मुझे सही लगी तो मनमाने आकार (2 बाय 3) जैकोबी मैट्रिस का उपयोग करना संभव बनाता है। दुर्भाग्य से मैं अभी भी हो रहा हूं, लेकिन अभी बहुत कुछ नहीं कर रहा हूँ पहले से बेहतर था। मैं मैपिंग फ़ंक्शन के उचित विकल्प पर एक और धागा बनाऊंगा। एक बार फिर धन्यवाद। $\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

आपका याकूबियन मैट्रिक्स 3 से 2 होना चाहिए, इसलिए एक 2 से 2 मैट्रिक्स होना चाहिए। D φ T D$\mathrm{D}\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— ज्योफ ऑक्सीबेरी

ज्योफ, यह सही है। मैंने एक सामान्य सामान्य सूत्र और प्लस

— वर्क