गणितीय रूप से, द्रव्यमान मैट्रिक्स / लोड वेक्टर लैम्पिंग क्यों काम करता है?

Question

मुझे पता है कि लोग अक्सर निरंतर द्रव्यमान वाले मैट्रिसेस को गांठ वाले विकर्ण मैट्रिसेस से बदल देते हैं। अतीत में, मैंने एक कोड भी लागू किया है जहां लोड वेक्टर एक FEM- सुसंगत फैशन के बजाय एक गांठदार फैशन में इकट्ठा होता है। लेकिन मैंने कभी इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि हमें पहले स्थान पर ऐसा करने की अनुमति क्यों दी गई है।

गांठ के पीछे अंतर्ज्ञान क्या है जो इसे द्रव्यमान और लोड वैक्टर को लागू करने की अनुमति देता है? इसके लिए गणितीय औचित्य क्या है? किन स्थितियों में गांठ की अनुमति नहीं है / मास और लोड वैक्टर के लिए एक अच्छा सन्निकटन नहीं है?

Answer 1

परिमित तत्व विधि में, मैट्रिक्स प्रविष्टियों और दाहिने हाथ की ओर की प्रविष्टियों को अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। हम, सामान्य रूप से, इनकी गणना बिल्कुल नहीं कर सकते हैं और इन्हें लागू कर सकते हैं। लेकिन कई द्विघात सूत्र हैं जिन्हें कोई भी चुन सकता है, और एक अक्सर उन्हें एक तरह से चुनता है ताकि (i) चतुर्भुज द्वारा पेश की गई त्रुटि उसी क्रम की हो जो विवेक के कारण, या कम से कम पर्याप्त रूप से खराब न हो, और (ii) मैट्रिक्स में कुछ गुण होते हैं जो सुविधाजनक होते हैं।

द्रव्यमान गांठ इस काम का एक उदाहरण है: यदि कोई एक विशेष चतुर्भुज सूत्र चुनता है (अर्थात्, परिमित तत्व के प्रक्षेप बिंदुओं पर स्थित चतुर्भुज बिंदुओं वाला), तो परिणामी द्रव्यमान मैट्रिक्स विकर्ण होता है। कम्प्यूटेशनल कार्यान्वयन के लिए यह काफी सुविधाजनक है, और यही कारण है कि लोग इन द्विघात सूत्रों का उपयोग करते हैं। यह भी कारण है कि यह "काम" क्यों करता है: चतुर्भुज सूत्र की यह विशेष पसंद अभी भी यथोचित उच्च क्रम है।

Comments

हमेशा की तरह, बहुत बढ़िया जवाब। मुझे सवाल के दूसरे भाग पर आपकी राय में भी बहुत दिलचस्पी होगी, जब कुछ भी दिमाग में आता है, तो लंपिंग की अनुमति नहीं है / खराब अनुमान नहीं है।

— एंटोन मेन्शोव

@AntonMenshov: ऐसा लगता है कि यह मुश्किल होगा (शायद असंभव?) उच्च आदेश तत्वों के लिए lumping के माध्यम से एक अच्छा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए, क्योंकि (जैसे विकर्ण) उस मामले में गांठ एक कम चतुर्थांश के बराबर होगा जो उच्चतर क्रम में लागू होता है बहुआयामी पद।

— पॉल

@WolfgangBangerth: मुझे लगता है कि मैं अब समझ गया हूं। तो, यह गॉसियन क्वाड्रेट के बजाय एकीकरण के लिए न्यूटन-कोट्स नियमों का उपयोग करने जैसा है। चूंकि प्रत्येक लैग्रेग इंटरपोलेशन कार्यों में एक विशिष्ट नोड पर यूनिट मान होते हैं, इसलिए नोड्यूज के लिए द्विघात परिणाम को माइग्रेट करने के लिए केवल विकर्ण शब्द (कम से कम रैखिक तत्वों के लिए) होते हैं।

— पॉल

$2n - 3$

महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि उच्च आदेश तत्वों के लिए, किसी को विशेष रूप से द्विघात सूत्रों के माध्यम से "गांठ" द्रव्यमान मैट्रिक्स को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। मूल रूप - जिसमें से "लम्प्ड" शब्द उत्पन्न होता है - ने विकर्ण प्रविष्टियों को विकर्ण में जोड़ा, लेकिन यह तभी काम करता है जब वे सभी सकारात्मक हों। यदि आप गॉसियन क्वाडरेचर लागू करते हैं, तो यह निम्नतम-ऑर्डर तत्वों के लिए सही है, लेकिन उच्च-क्रम वाले तत्वों के लिए नहीं।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

Answer 2

संख्यात्मक अभिकलन को गति देने में विकर्ण मैट्रिसेस के स्पष्ट लाभ हैं, और वोल्फगैंग बैंगर्थ का उत्तर एक विकर्ण द्रव्यमान मैट्रिक्स की गणना करने के तरीके का एक अच्छा विवरण है , लेकिन यह ओपी के सवाल का जवाब नहीं देता है "यह काम " क्यों "के अर्थ में है" यह उस भौतिकी के लिए एक अच्छा सन्निकटन है जिसे आप मॉडलिंग कर रहे हैं ”।

वैचारिक रूप से, आप एक तत्व की प्रतिक्रिया को तीन भागों में अलग कर सकते हैं: कठोर शरीर का अनुवाद गति, द्रव्यमान केंद्र के बारे में कठोर घुमाव और तत्व की विकृति।

तत्व द्रव्यमान मैट्रिक्स का मूल कार्य तत्व KE को द्विघात रूप (यानी रूप में दर्शाना है$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

इसलिए, आपको वास्तव में गति के कठोर शरीर के अंगों के लिए "अच्छे" सन्निकटन की आवश्यकता होती है, अर्थात 6 डीओएफ, और वास्तव में कठोर बॉडी ट्रांसलेशन से केवल केई के लिए एक अच्छा सन्निकटन , अर्थात 3 डीओएफ, तत्व के आकार के रूप में परिवर्तित हो जाएगा। कम किया हुआ।

तत्व मैट्रिक्स के विकर्ण शब्दों में पर्याप्त सटीकता के साथ उन 3 या 6 केई शब्दों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त स्वतंत्र पैरामीटर शामिल हैं। वास्तव में उच्चतर आदेश तत्वों के लिए, आप बड़े विकर्ण द्रव्यमान वाले मेट्रिसेस का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ मध्य-पक्ष के नोड्स के लिए विकर्ण शब्द शून्य हैं।

ध्यान दें कि यह तत्व संभावित ऊर्जा से पूरी तरह से अलग स्थिति है, जहां कठोर शरीर अनुवाद और रोटेशन से योगदान शून्य है, और केवल एक चीज जो तत्व विरूपण के अनुरूप तनाव ऊर्जा का प्रतिनिधित्व कर रही है । एक विकर्ण कठोरता मैट्रिक्स इसलिए एक संभव विचार नहीं होगा!

Answer 3

अन्य उत्तरों के अलावा, ऐसे परिदृश्य हैं जिनमें द्रव्यमान मैट्रिक्स में त्रुटियों का वांछित परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 हालांकि गतिशील शारीरिक व्यवहार के बारे में तर्क "सही" द्रव्यमान मैट्रिक्स के साथ आसान है - उदाहरण के लिए कोणीय गति को गांठदार सामूहिक मैट्रिस द्वारा अनुचित रूप से संरक्षित किया जा सकता है।}

Comments

$C\dot u$$C\dot u$$M\ddot u$$C\dot u$$C$

$\ddot u$