कम्प्यूटेशनल विज्ञान में "दो आसान है, तीन कठिन है" के अच्छे उदाहरण हैं

Question

मैंने हाल ही में मेटा-घटना का एक सूत्रीकरण का सामना किया : " दो आसान है, तीन कठिन है " (फेडरिको पोलोनी द्वारा इस तरह से संकेतित), जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

जब दो संस्थाओं के लिए एक निश्चित समस्या तैयार की जाती है, तो इसे हल करना अपेक्षाकृत आसान होता है; हालांकि, तीन-संस्थाओं-सूत्रीकरण के लिए एक एल्गोरिथ्म कठिनाई में काफी बढ़ जाता है, संभवतः समाधान को भी संभव नहीं या संभव नहीं है।

_{(मैं वाक्यांशों को और अधिक सुंदर, संक्षिप्त और सटीक बनाने के लिए सुझावों का स्वागत करता हूं।)}

कम्प्यूटेशनल विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में क्या अच्छे उदाहरण हैं (शुद्ध रैखिक बीजगणित से शुरू और कंबल-टर्म कम्प्यूटेशनल भौतिकी के साथ समाप्त) क्या आप जानते हैं?

Comments

मन में आयामीता का अभिशाप आता है।

— पॉल

ग्राफ 2-रंग ( आसान ) बनाम 3-रंग ( एनपी कठिन ), देखने के लिए यहाँ

— GoHokies

@GoHokies कृपया टिप्पणियों के रूप में उत्तर पोस्ट न करें।

— डेविड रिचेर्बी

गणित या पुनरावृत्ति पृष्ठभूमि की नींव से, आप TREE फ़ंक्शन पर आ सकते हैं , जहां TREE (2) = 3, और TREE (3) ... काफी बड़ा है। (कम्प्यूटेशनल विज्ञान से परिचित नहीं होने के कारण, मुझे यकीन नहीं है कि यह वास्तव में एक उत्तर है जिसकी आप तलाश कर रहे हैं, लेकिन यह टिप्पणी के बारे में छोड़ने के लिए पर्याप्त समान है)

— BurnsBA

एक प्रतिधारण: "कभी भी दो क्रोनोमीटर के साथ समुद्र में न जाएं; एक या तीन लें।" उस ने कहा, बहुत सारे अच्छे उदाहरण हैं कि कोई सही उत्तर नहीं है। यह प्रश्न सामुदायिक विकि होना चाहिए।

— डेविड हैमेन

Answer 1

एक उदाहरण जो भौतिकी के कई क्षेत्रों में प्रकट होता है, और विशेष रूप से शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम भौतिकी में, दो-शरीर की समस्या है। यहाँ दो-शरीर की समस्या का अर्थ है, दो अंतःक्रियात्मक कणों की गतिशीलता की गणना करने का कार्य, जो उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण या कूलम्ब बलों द्वारा बातचीत करते हैं। इस समस्या का समाधान अक्सर केंद्र में द्रव्यमान और सापेक्ष निर्देशांक में परिवर्तनशील परिवर्तन द्वारा बंद रूप में पाया जा सकता है।

हालांकि, जैसे ही आप तीन कणों पर विचार करते हैं, सामान्य तौर पर कोई बंद-रूप समाधान मौजूद नहीं होता है ।

Comments

नाइटपिक जो मुझे पता है कि आप जानते हैं, लेकिन आपका जवाब नहीं है: 3-बॉडी की समस्या के लिए बंद-फॉर्म समाधान हैं, लेकिन केवल कुछ विशेष मामलों के लिए

— लामा

अच्छा निपिक, धन्यवाद, "सामान्य रूप से" यहां गायब है।

— davidhigh

ध्यान दें कि 3-बॉडी समस्या में 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में सुंदरमन द्वारा पाया गया एक ( बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित) सीरीज़ समाधान और एक कमजोर संस्करण (जो एक विलक्षणताओं को अनदेखा करता है जहां बॉडी टकराता है) 1990 में एन-बॉडी समस्या के लिए पाया गया था।

— वर्ल्डसेंडर

Answer 2

एक प्रसिद्ध उदाहरण बूलियन संतोषजनक समस्या (सैट) है। 2-सैट बहुपद समय में हल करने के लिए जटिल नहीं है, लेकिन 3-सैट एनपी-पूर्ण है।

Comments

3-SAT को 3-रंग, या इसके विपरीत

— GoHokies

@GoHokies मैंने सोचा कि यह हर एनपी-पूर्ण समस्या के लिए सच है? या इन दोनों के बारे में कुछ विशेष रूप से उल्लेखनीय है? अगर यह एक बेवकूफी भरा सवाल है, तो इस क्षेत्र पर मेरा ज्ञान बुनियादी है। लेकिन इस मैं कैसे समझ में रसोइयों प्रमेय है

— findusl

@findusl आप बिलकुल सही कह रहे हैं। क्या 3-सैट और 3-रंग "विशेष" बनाता है ओपी के 2-बनाम-3 डाइकोटॉमी है।

— गोहोकीज

Answer 3

एक और दो आयामों में, सभी सड़कें रोम तक जाती हैं, लेकिन तीन आयामों में नहीं।

विशेष रूप से, एक या दो आयामों में पूर्णांक पर एक यादृच्छिक चलना (समान रूप से किसी भी दिशा में बढ़ने की संभावना) को देखते हुए, फिर कोई बात नहीं, प्रारंभिक बिंदु, प्रायिकता एक (उर्फ लगभग निश्चित रूप से) के साथ, यादृच्छिक चलना अंततः एक विशिष्ट नामित को मिलेगा। बिंदु ("रोम")।

हालांकि, तीन या अधिक आयामों के लिए, "रोम" होने की संभावना एक से कम है; आयामों की संख्या बढ़ने के साथ संभावना कम हो जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि "रोम" पर शुरू होने वाले एक यादृच्छिक चलने के स्टोचस्टिक (मोंटे कार्लो) सिमुलेशन का संचालन किया जाता है, जो रोम में वापस आने पर बंद हो जाएगा, तो एक और दो आयामों में, आप अंततः इसे वापस रोम करने का आश्वासन दे सकते हैं। और सिमुलेशन को रोकना - इतना आसान है। तीन आयामों में, आप इसे कभी वापस नहीं ला सकते हैं, इतना कठिन।

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

द्वि-आयामी मामले की कल्पना करने के लिए, कोई व्यक्ति किसी शहर के आसपास बेतरतीब ढंग से चलने की कल्पना कर सकता है। शहर प्रभावी रूप से अनंत है और फुटपाथों के एक वर्ग ग्रिड में व्यवस्थित है। प्रत्येक चौराहे पर, व्यक्ति बेतरतीब ढंग से चार संभावित मार्गों में से एक को चुनता है (मूल रूप से यात्रा की गई सहित)। औपचारिक रूप से, यह पूर्णांक निर्देशांक के साथ विमान में सभी बिंदुओं के सेट पर एक यादृच्छिक चलना है।

क्या व्यक्ति चलने के मूल शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाएगा? यह ऊपर चर्चा की गई स्तर पार समस्या का 2-आयामी समतुल्य है। 1921 में जॉर्ज पोलिया ने साबित कर दिया कि व्यक्ति लगभग 2-आयामी यादृच्छिक चाल में होगा, लेकिन 3 आयामों या उच्चतर के लिए, आयामों की संख्या बढ़ने के साथ ही मूल में लौटने की संभावना कम हो जाती है। 3 आयामों में, संभावना लगभग 34% तक घट जाती है

संख्यात्मक मानों के लिए http://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html देखें ।

Answer 4

यहाँ SciComp.SE में योगदानकर्ताओं के दिलों के करीब एक है:

नेवियर स्टोक्स अस्तित्व और चिकनाई समस्या

तीन आयामी संस्करण निश्चित रूप से एक प्रसिद्ध खुली समस्या है और एक मिलियन-डॉलर क्ले मिलेनियम पुरस्कार का विषय है। लेकिन दो आयामी संस्करण एक सकारात्मक जवाब के साथ, बहुत पहले ही हल हो चुका है। टेरी ताओ नोट करते हैं कि 1933 में लेरे की थीसिस के लिए समाधान अनिवार्य रूप से वापस आ गया!

तीन-आयामी समस्या को हल करना इतना कठिन क्यों है? मानक, हाथ से लहराती प्रतिक्रिया यह है कि अशांति दो की तुलना में तीन आयामों में काफी अधिक अस्थिर हो जाती है। अधिक गणितीय रूप से कठोर उत्तर के लिए, क्ले इंस्टीट्यूट में चार्ल्स फेफरमैन की आधिकारिक समस्या बयान की जांच करें या संभावित प्रमाण रणनीतियों पर टेरी ताओ के अच्छे प्रदर्शन को देखें ।

Answer 5

सामाजिक पसंद के सिद्धांत में, दो उम्मीदवारों के साथ एक चुनाव योजना तैयार करना आसान है (बहुमत नियम), लेकिन तीन या अधिक उम्मीदवारों के साथ चुनाव योजना को डिजाइन करना आवश्यक रूप से विभिन्न उचित-लगने वाली स्थितियों के बीच व्यापार बंद करना शामिल है। ( एरो की असंभवता प्रमेय )।

Answer 6

दो मेट्रिसेस और : एक साथ मौजूदा सामान्यीकृत एकवचन मान अपघटन द्वारा कवर किया गया है ।$A_1$$A_2$

$$U_1^T A_1 V = \Sigma_1,\quad U_2^TA_2V=\Sigma_2$$

हालांकि, जब एक विहित रूप में तीन मेट्रिसेस की कमी (ऊपर की तुलना में कमजोर स्थिति) की आवश्यकता होती है:

$$Q^T A_1 Z = \tilde{A_1},\quad Q^T A_2 Z = \tilde{A_2},\quad Q^T A_3 Z = \tilde{A_3}$$ कोई प्रत्यक्ष विधियाँ मौजूद नहीं हैं। इसके लिए, किसी व्यक्ति को अनुमानित SVDs, टेंसर डीकंपोज़िशन आदि का उपयोग करके अधिक जटिल मार्गों का विकल्प चुनना होगा।

एक व्यावहारिक अनुप्रयोग द्विघात समस्या के लिए एक समाधान होगा:

$$(A_1+\lambda A_2+\lambda^2 A_3)x=0$$

स्रोत: सीएफ वैन लोन, "व्याख्यान 6: उच्च-क्रम सामान्यीकृत एकवचन मूल्य अपघटन," CIME-EMS समर स्कूल, Cetraro, इटली, जून 2015।

Comments

क्या और दोनों होना चाहिए ? यहां उन्हें बराबर होने की आवश्यकता नहीं है। यू टी 2 वी - $U_1^T$$U_2^T$$V^{-1}$

— रोजी एफ

@RosieF (सामान्यीकृत) SVD के लिए नहीं। यहां पहले समीकरण देखें , जो सिर्फ व्यक्त नहीं कर रहे हैं । $\Sigma$

— एंटोन मेन्शोव

Answer 7

क्वांटम कंप्यूटिंग में बहुत सारे उदाहरण हैं, हालांकि मैं कुछ समय के लिए इससे बाहर रहा हूं और इसलिए बहुतों को याद नहीं है। एक प्रमुख यह है कि द्विदलीय उलझाव (दो प्रणालियों के बीच उलझाव) अपेक्षाकृत आसान है जबकि तीन या अधिक प्रणालियों के बीच उलझना एक अनसुलझी गड़बड़ी है, जिसके विषय में संभवत: सौ पत्र लिखे गए हैं।

इसका मूल यह है कि रैंक -2 टेनसर्स (यानी मैट्रीस) का विलक्षण मूल्य अपघटन के माध्यम से विश्लेषण किया जा सकता है। रैंक 3 या उच्चतर के दसियों के लिए कुछ भी समान नहीं है। वास्तव में, यहां तक ​​कि कुछ के रूप में सरल रूप में (आइंस्टीन समन को निरूपित करने वाले उप / सुपरस्क्रिप्ट के साथ), IIRC है, जिसे कुशलता से हल करने योग्य नहीं माना जाता है।$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$

यह पेपर प्रासंगिक लगता है, हालांकि मैंने इसे नहीं पढ़ा है: अधिकांश टेंसर समस्याएं एनपी-हार्ड हैं

Comments

मुझे ऐसा लगता है कि आप जिस वास्तविक मुद्दे पर बात कर रहे हैं, वह यह है कि ऑर्डर -1 टेंसर्स (वैक्टर) और ऑर्डर -2 टेनसर्स (मैट्रीस) के लिए टेंसर रैंक अपघटन आसान है, लेकिन बाकी के लिए एनपी-हार्ड

— रिचर्ड जांग

यह इसका एक हिस्सा है, लेकिन यहां तक ​​कि अगर आपके पास उन्हें विघटित करने का एक तरीका है, तब भी श्रेणीबद्ध / वर्गीकृत करने का मुद्दा है। उलझाव के लिए स्थानीय इकाइयाँ मायने नहीं रखती हैं, इसलिए क्रम -2 में जो कुछ बचा है, वह एकवचन मूल्यों की एक सूची है (SVD को इस संदर्भ में श्मिट अपघटन कहा जाता है)। उच्चतर आदेशों के लिए संभावनाओं का एक पूरा चिड़ियाघर है। स्थानीय परिचालन के माध्यम से कौन से राज्यों को दूसरे राज्यों में तब्दील किया जा सकता है (जैसे सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, अनिवार्य रूप से कम्प्यूटेशनल नहीं)।

— डैन स्टाल्के

Answer 8

सीधे और कम्पास के साथ कोण द्वि घातुमान सरल है, कोण त्रिशूल सामान्य रूप से असंभव है।

Answer 9

रैंक-एन प्रकारों के लिए प्रकार का अनुमान । रैंक -2 के लिए टाइप इंट्रेंस विशेष रूप से मुश्किल नहीं है, लेकिन रैंक -3 या इसके बाद के टाइप के लिए इंसेक्ट अपरिहार्य है।

Answer 10

यहाँ अनुकूलन से एक साफ है: गुणक की वैकल्पिक दिशा विधि (ADMM) एल्गोरिथ्म।

दो चरों के एक अनछुए और उत्तल उद्देश्य फ़ंक्शन को देखते हुए (चर स्वयं वैक्टर हो सकते हैं) और दो चर युग्मन करने वाला एक रैखिक अवरोध:

$$\min f_1(x_1) + f_2(x_2)$$ $$s.t. \; A_1 x_1 + A_2 x_2 = b$$

इस अनुकूलन समस्या के लिए संवर्धित लैग्रेंजियन फ़ंक्शन तब

$$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda) = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \lambda^T (A_1 x_1 + A_2 x_2 - b) + \frac{\rho}{2}|| A_1 x_1 + A_2 x_2 - b ||_2^2$$

ए डी एम एम एल्गोरिथ्म मोटे तौर पर कम करके इस अनुकूलन समस्या के लिए संवर्धित लाग्रंगियन समारोह पर एक "गॉस-साइडेल" बंटवारे प्रदर्शन से काम करता है के संबंध में पहले (जबकि रहने तय), तो कम करके के संबंध में (जबकि स्थिर रहते), तो अद्यतन करने से । यह सिलसिला तब तक चलता है जब तक एक रुकने की कसौटी पर खरा नहीं उतरता।$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_1$$x_2, \lambda$$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_2$$x_1, \lambda$$\lambda$

(नोट: कुछ शोधकर्ता जैसे कि एक्स्टेंस्ट, समीप संचालकों के पक्ष में गॉस-सिडेल विभाजन दृश्य को त्यागते हैं, उदाहरण के लिए http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf देखें )

उत्तल समस्याओं के लिए, यह एल्गोरिथ्म परिवर्तनीय साबित हुआ है - चर के दो सेटों के लिए। यह तीन चरों के लिए नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुकूलन समस्या

$$\min f_1(x_1) + f_2(x_2) + f_3(x_3)$$ $$s.t. \; A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3x_3 = b$$

यहां तक ​​कि अगर सभी उत्तल हैं, तो एडीएमएम जैसा दृष्टिकोण (प्रत्येक चर संबंध में संवर्धित लैग्रेंज को कम से कम करना , फिर दोहरे चर अपडेट करना ) अभिसरण करने की गारंटी नहीं है, जैसा कि इस पेपर में दिखाया गया था।$f$$x_i$$\lambda$

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

Answer 11

उपकरण के बिना आधे में कागज के एक टुकड़े को मोड़ना आसान है। इसे तिहाई में तह करना कठिन है।

एक बहुपद को दो जड़ों से जोड़ना आसान है। तीन जड़ों के साथ एक बहुपद को फैक्टर करना अधिक जटिल है।

Comments

आपका पहला उदाहरण भाव की भावना के अनुकूल नहीं है। यह विचार है कि जैसे ही यह उच्चतर दो हो जाता है, यह अधिक कठिन होता है, हालांकि एक पेपर को मोड़ने के साथ, 4 वां हिस्सा आधा जितना आसान होता है। यहाँ उद्धरण "विषम से भी आसान है" मुझे लगता है कि दूसरा एक अच्छा है - और 'हाइपर-सरलीकृत करने की कोशिश पर इसे पेपर के साथ समझने की कोशिश करता है!

— बिल के

Answer 12

डिग्री 2 का एक सुस्पष्ट वक्र (यानी के समाधान के रूप में जहां को डिग्री 2 का बहुपद है) एक दिए गए बिंदु के साथ तर्कसंगत है , जिसका अर्थ है कि यह बहुपद के अंशों के अंश द्वारा परिमाणित किया जा सकता है, डिग्री का 3 यह नहीं है। पूर्व को अच्छी तरह से समझा जाता है, उत्तरार्द्ध, अण्डाकार घटता कहा जाता है जब एक आधार बिंदु, अर्थात एक विशिष्ट समाधान, एकांत होता है, गहन शोध का उद्देश्य है।$f(x,y) = 0$$f$

इस अंतर के कई निहितार्थ हैं:

• डिग्री 2 में सभी तर्कसंगत बिंदुओं (तर्कसंगत संख्याओं में समाधान) को खोजने के लिए एल्गोरिदम हैं, डिग्री 3 में ऐसा कोई एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है।
• डिग्री 1 या 2 की के साथ इंटीग्रल में प्राथमिक कार्यों में समाधान हैं, लेकिन डिग्री 3 या उच्चतर के के लिए नहीं ।$\sqrt{f(x)}$$f$$f$
• असतत लघुगणक समस्या 2 डिग्री के घटता पर सुवाह्य है, इसलिए क्रिप्टोग्राफ़िक अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है, जबकि अण्डाकार वक्रों पर एक ही समस्या की अनुमानित कठोरता सबसे लोकप्रिय सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोकरंसी में से कुछ के आधार पर है।

Answer 13

TREEसमारोह।

हम गणना कर सकते हैं TREE(2) = 3, लेकिन TREE(3)ब्रह्मांड के जीवनकाल में गणना योग्य नहीं है, हम केवल यह जानते हैं कि यह परिमित है।

Comments

TREE(3)"गणना योग्य" को पर्याप्त समय दिया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक आप आकार सभी रंगीन पेड़ों को उत्पन्न कर सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि प्रत्येक आवश्यक मापदंड को पूरा करता है जब तक कि इस तरह के पेड़ मौजूद न हों। लेकिन यह अंतरिक्ष और समय की एक अकल्पनीय राशि ले जाएगा। $n$$n$

— मोनिका की बहाली करें

सही है, गलती के लिए क्षमा करें। मेरा कथन निश्चित किया। धन्यवाद सुलैमानोफ़!

— justhalf

ट्री के बारे में संबंधित संख्यात्मक वीडियो (3): youtube.com/watch?v=3P6DWAwwViU

— C

Answer 14

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, आप जटिल संरचना का परिचय दे सकते हैं, जिसका उपयोग कई समस्याओं (जैसे संभावित प्रवाह समस्याओं ) को सुरुचिपूर्ण ढंग से हल करने के लिए किया जा सकता है , लेकिन 3 आयामों में कोई एनालॉग मौजूद नहीं है।

Answer 15

क्वांटम कई-शरीर भौतिकी में, हम अलग-अलग मॉडल (जैसे हेइज़ेनबर्ग मॉडल, बोस-हबर्ड मॉडल, ईज़िंग मॉडल, ...) के ढांचे में एन स्पिन के विभिन्न अक्षांशों का अध्ययन करते हैं। आपके पास उनका अध्ययन करने के लिए निश्चित रूप से अलग-अलग संख्यात्मक विधियां हैं (DMRG, सटीक विकर्ण, तंत्रिका नेटवर्क, ...) और विभिन्न कारणों को विकसित करने के लिए हमारे द्वारा प्रयास किए जाने का एक कारण यह है कि आप इन मॉडलों को हल नहीं कर सकते हैं जब n बहुत "उच्च" हो जाता है। , और यदि आप उच्च आयामों में अध्ययन करते हैं, तो यह निश्चित रूप से बदतर है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल के लिए, सटीक विकर्ण 1 एन में 20 से अधिक नहीं के लिए 1 डी में अच्छी तरह से काम करता है। इसलिए, उच्च एन के लिए, आप एक और तरीका आज़माते हैं: डीएमआरजी। लेकिन ये उत्तरार्द्ध वास्तव में उच्च n (जैसे n = 70 नहीं बल्कि उच्च n के लिए अच्छी तरह से) के लिए काम करता है। फिर, आप उच्च एन के लिए एक और तरीका चाहते हैं: तंत्रिका नेटवर्क (यानी कृत्रिम बुद्धिमत्ता)। और तंत्रिका नेटवर्क के अलावा, आप "अधिक आसानी से" का अध्ययन कर सकते हैं (अर्थात अपेक्षाकृत अधिक n n) इन मॉडलों को उच्च आयामों में (लेकिन आयाम = 3 और छोटे n के लिए), उदाहरण के लिए, जमीन की स्थिति या प्राप्त करने में अभी भी कई घंटे (कई दिन) लगते हैं। आप देख सकते हैं ...)। Bref, जब n आपके संख्यात्मक तरीकों के लिए "बहुत अधिक" हो जाता है (लेकिन आपके कंप्यूटर की क्षमता भी) आपको नए तरीके (और यदि आप कर सकते हैं, तो सुपर कंप्यूटर का उपयोग करने की आवश्यकता है) और यह आपके आयाम के साथ समान समस्या है प्रणाली लेकिन निश्चित रूप से बदतर है जब आप तेजी से अटक जाते हैं (आयाम = 4 को प्राप्त करना मुश्किल होता है सिवाय इसके कि अगर आप बहुत समय प्रतीक्षा करें ...)। ग्राउंड स्टेट या आपके द्वारा देखे जाने योग्य अवलोकन प्राप्त करने में अभी भी कई घंटे (कई दिन) लगते हैं ...)। Bref, जब n आपके संख्यात्मक तरीकों के लिए "बहुत अधिक" हो जाता है (लेकिन आपके कंप्यूटर की क्षमता भी) आपको नए तरीके (और यदि आप कर सकते हैं, तो सुपर कंप्यूटर का उपयोग करने की आवश्यकता है) और यह आपके आयाम के साथ समान समस्या है प्रणाली लेकिन निश्चित रूप से बदतर है जब आप तेजी से अटक जाते हैं (आयाम = 4 को प्राप्त करना मुश्किल होता है सिवाय इसके कि अगर आप बहुत समय प्रतीक्षा करें ...)। ग्राउंड स्टेट या आपके द्वारा देखे जाने योग्य अवलोकन प्राप्त करने में अभी भी कई घंटे (कई दिन) लगते हैं ...)। Bref, जब n आपके संख्यात्मक तरीकों के लिए "बहुत अधिक" हो जाता है (लेकिन आपके कंप्यूटर की क्षमता भी) आपको नए तरीके (और यदि आप कर सकते हैं, तो सुपर कंप्यूटर का उपयोग करने की आवश्यकता है) और यह आपके आयाम के साथ समान समस्या है प्रणाली लेकिन निश्चित रूप से बदतर है जब आप तेजी से अटक जाते हैं (आयाम = 4 को प्राप्त करना मुश्किल होता है सिवाय इसके कि अगर आप बहुत समय प्रतीक्षा करें ...)।
बेशक, यहाँ, यह आपके प्रश्न के लिए अधिक अतिरिक्त सुझाव है क्योंकि वास्तव में, क्वांटम में कई-शरीर भौतिकी, एन = 3 उच्च नहीं है (लेकिन यदि आप एक जाली लेते हैं जो हाइपरक्यूब है, तो आप n = 3 नहीं ले सकते हैं पाठ्यक्रम (परिस्थितियों के कारण))।

Answer 16

असली दुनिया:

स्वचालन% - जैसे 30% या 50% में कुछ को स्वचालित करना आसान है या 80% इस बीच यह उदाहरण के लिए 95% से ऊपर जाना मुश्किल है और अविश्वसनीय रूप से मुश्किल या लगभग 100% तक पहुंचना असंभव है।

Comments

क्या आप अपने दावों के लिए संदर्भ प्रदान कर सकते हैं?

— nicoguaro

मैं नहीं कर सकता, लेकिन आत्म ड्राइविंग कारों जैसे उदाहरण पर एक नज़र रखना। स्ट्रेट और कंट्रोल स्पीड को सीखने के लिए कार सीखना सामान्य व्यक्ति की तरह ड्राइव करना सीखने की तुलना में कई गुना आसान है। और अधिक जटिल प्रक्रिया है, तो अधिक सीमा मामलों प्रकट होता है जब आप इसे पूरी तरह से स्वचालित बनाना चाहते

— Joelty

फिर, मुझे लगता है कि आपका प्रश्न इस साइट के लिए उपयुक्त नहीं है।

— nicoguaro