स्टोक्स समीकरण में मिश्रित परिमित तत्वों विधि के लिए अनुकूलता की स्थिति का प्रस्ताव

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ मान लें कि हमारे पास स्टोक्स प्रवाह मॉडल समीकरण है:

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ जहां मानक मिश्रित परिमित तत्व के लिए चिपचिपापन

ν (x)

$\nu(x)$ एक कार्य है, कहते हैं कि हम स्थिर जोड़ी का उपयोग करते हैं: क्राउज़िक्स-रेवियर्ट स्पेस

V_{h}

$\v{V}_h$ वेलोसिटी

u

$\v{u}$ और तत्व-वार स्थिरांक स्थान

S_{h}

$S_h$ दबाव

p

$p$ , हमारे पास निम्नलिखित रूप हैं:

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

और हम जानते हैं कि चूंकि लैग्रेंज गुणक $p$ को एक स्थिर तक निर्धारित किया जा सकता है, अंत में इकट्ठे मैट्रिक्स में नलस्पेस $1$ होना चाहिए , इसे दरकिनार करने के लिए हम कुछ निश्चित तत्व पर दबाव $p$ को लागू कर सकते हैं शून्य हो, ताकि हमारे पास न हो एक विलक्षण प्रणाली को हल करें।

तो यहाँ मेरा सवाल है 1:

(Q1) मानक मिश्रित परिमित तत्व के लिए कर्नेल को खत्म करने के लिए कुछ तत्व पर लागू करने के अलावा कोई अन्य तरीका है $p=0$ ? या यूं कहें कि कोई भी सॉल्वर्स जो एक संगत समाधान प्राप्त करने के लिए एकवचन प्रणाली को हल करने में सक्षम हो? (या कुछ संदर्भों का स्वागत है)

और संगतता, के लिए (1) के बारे में यह होना चाहिए और अच्छी छोटी चाल है करने के लिए गणना हो हम के समाधान से मिला रेखीय प्रणाली इसके भारित औसत द्वारा घटा दी गई:

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

हालाँकि, हाल ही में मैंने सिर्फ , Dohrmann, और Gunzberger द्वारा स्टोक्स समीकरण के लिए एक स्थिर मिश्रित परिमित तत्व को लागू किया है $P_1-P_0$ , जिसमें उन्होंने वैचारिक सूत्रीकरण (1: एक स्थिर शब्द जोड़ा है। जहां टुकड़ा करने योग्य निरंतर स्थान से प्रक्षेपण है और लगातार टुकड़ा , और मूल मिश्रित परिमित तत्व का निरंतर कर्नेल चला गया है, हालांकि, अजीब चीजें हुईं, (2) doesn अब और काम नहीं है, मैं से परीक्षण समस्या गढ़ा

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ प्रसार समीकरण के लिए एक इंटरफ़ेस समस्या , यह वही है जो मुझे दबाव लिए मिला है , सही एक सही समाधान है और बाएं एक संख्यात्मक सन्निकटन है:

p

$p$

स्टोक्स टेस्ट 1

हालाँकि, अगर एक स्थिर है, तो परीक्षण समस्या ठीक काम करती है: $\nu$ स्टोक्स टेस्ट 2

मैं यह अनुमान लगा रहा हूं, क्योंकि मैं जिस तरह से अनुकूलता की स्थिति को थोप रहा हूं, चूंकि यह पूरे सिस्टम के inf-sup स्थिरता के साथ जुड़ा हुआ है, यहां मेरा दूसरा प्रश्न है:

(Q2): क्या दबाव लिए संगतता लागू करने के अलावा (2) के अलावा कोई रास्ता नहीं है ? या परीक्षण की समस्या को हल करते समय, मुझे किस तरह के उपयोग करना चाहिए? $p$ $p$

finite-element

— शुआओ काओ
स्रोत

MathML काम नहीं कर रहा है?

— शुआओ काओ सेप

हम StackExchange पर MathJaX का उपयोग करते हैं, आपके द्वारा पोस्ट की गई हर चीज को खूबसूरती से दिखाया जा रहा है, विस्तृत प्रश्न के लिए धन्यवाद।

— एरन अहमदिया

8

अनुकूलता की स्थिति वेग की चिंता करती है, दबाव की नहीं। इसमें कहा गया है कि यदि आप केवल वेग के लिए Dirichlet सीमा स्थिति है, तो इन विचलन से मुक्त बाधा, यानी साथ संगत होना चाहिए के साथ की सीमा कम्प्यूटेशनल डोमेन (सेल नहीं)। $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

इस स्थिति में को मनमाने ढंग से स्थिर साथ से अलग नहीं किया जा सकता क्योंकि आपके पास स्थिरांक को ठीक करने के लिए पर कोई सीमा स्थिति नहीं है। इस प्रकार दबाव के लिए असीम रूप से कई समाधान हैं और समाधानों की तुलना करने के लिए, एक सम्मेलन की आवश्यकता है। गणितज्ञ ऐसे चयन करना पसंद करते हैं जैसे कि (क्योंकि वे एकीकृत कर सकते हैं) जबकि भौतिक विज्ञानी (क्योंकि वे एक में माप सकते हैं) को पसंद करते हैं बिंदु)। यदि आपके असतत समतुल्य , तो इसका अर्थ है कि $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ पहचान वेक्टर से मिलकर एक अशक्त स्थान है।

क्रायलोव उप-प्रजातियाँ क्रिलोव उप-स्थान से अशक्त स्थान को हटाकर एक विलक्षण प्रणाली को हल कर सकते हैं जिसमें वे समाधान की तलाश करते हैं। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आपको समाधान मिलेगा जो किसी दिए गए सम्मेलन से मेल खाता है, आपको हमेशा अपने आप को एक पोस्टप्रोसेसिंग चरण में निरंतर निर्धारित करने की आवश्यकता होगी, कोई भी सॉल्वर आपके लिए ऐसा नहीं कर सकता है। $p$

आपकी समस्या से निपटने के लिए यहां कुछ सुझाव दिए गए हैं:

समीकरण (2) अजीब लगता है। यदि का एक कार्य है तो यह अभिन्न के बाहर कैसे हो सकता है? $\nu$ $x$
क्या आपका वेग क्षेत्र संगतता बाधा को संतुष्ट करता है?
दबाव के लिए कुछ भी नहीं करने की कोशिश करें, बस सॉल्वर को एक साथ आने के लिए स्वतंत्र होने दें , फिर । क्या यह एक स्थिर है? $p$ $p-p_\mathrm{exact}$
यदि नहीं, तो क्या आप निश्चित हैं कि का रिक्त स्थान वास्तव में पहचान सदिश है और इससे अधिक कुछ नहीं? कागज पर और कोड में दोनों? समस्या वास्तव में काफी छोटी लगती है जो अशक्त स्थान की गणना करती है। $B$

— क्रिस
स्रोत

2

(Q1) के लिए, आप अपने सिस्टम के लिए कम से कम वर्ग समाधान की गणना करने वाली काठी-बिंदु समस्याओं के लिए एक सॉल्वर चुन सकते हैं। तब गुणक पर एक अतिरिक्त शर्त लगाई जा सकती है, जैसे कि एक विशिष्ट डिग्री स्वतंत्रता की स्थापना, एक विशिष्ट औसत लगा रही है।

सामान्य तौर पर, और मुझे लगता है कि यह उत्तर (Q1), आप एक रैखिक बाधा का उपयोग कर सकते हैं जो विभिन्न स्थिरांक को अलग कर सकती है।

यह बाधा पोस्ट-प्रोसेसिंग चरण में, या ट्रायल स्पेस के एक उपयुक्त विकल्प द्वारा लागू की जा सकती है (उदाहरण के लिए, यदि आप स्वतंत्रता की एक डिग्री छोड़ देते हैं)।

— shuhalo
स्रोत