एक सतत कार्य का उदाहरण जो बहुपद के साथ अनुमानित करना मुश्किल है

Question

शिक्षण उद्देश्यों के लिए मुझे एक एकल चर के निरंतर कार्य की आवश्यकता होगी जो कि बहुपद के साथ अनुमानित रूप से "कठिन" हो, अर्थात इस फ़ंक्शन को अच्छी तरह से "फिट" करने के लिए किसी शक्ति श्रृंखला में बहुत अधिक शक्तियों की आवश्यकता होगी। मैं अपने छात्रों को पावर सीरीज़ के साथ हासिल की जा सकने वाली "सीमाओं" को दिखाने का इरादा रखता हूं।

मैंने कुछ "शोर" के बारे में सोचने के बारे में सोचा था, लेकिन अपने स्वयं के रोल करने के बजाय मैं सिर्फ यह सोच रहा हूं कि क्या एक प्रकार का मानक "कठिन कार्य" है जिसका उपयोग लोग सन्निकटन / प्रक्षेप एल्गोरिदम के परीक्षण के लिए करते हैं, कुछ हद तक उन अनुकूलन परीक्षण कार्यों के समान हैं। स्थानीय मिनिमा जहां भोले एल्गोरिदम आसानी से फंस जाते हैं।

माफी अगर यह सवाल अच्छी तरह से गठित नहीं है; कृपया एक गैर-गणितज्ञ पर दया करें।

Answer 1

बस पूर्ण मान फ़ंक्शन क्यों नहीं दिखाते हैं?

उदाहरण के लिए लीजेंड्रे-बहुपद विस्तार के साथ काम करता है, लेकिन बहुत बुरी तरह से :

टेलर विस्तार निश्चित रूप से यहाँ पूरी तरह से बेकार है, हमेशा केवल एक रैखिक फ़ंक्शन देता है, या तो हमेशा घटता है या हमेशा बढ़ता रहता है (इस बात पर निर्भर करता है कि आप जिस बिंदु का विस्तार करते हैं वह नकारात्मक या सकारात्मक है)।

Comments

आप प्रक्षेप कर सकते हैं | x | Chebyshev इंटरपोलेशन का उपयोग करते हुए, nbviewer.jupyter.org/github/cpraveen/na/blob/master/… देखें जो काफी तेजी से परिवर्तित होता है। जैसे, आप N = 2 * i को N = 15 + i कोड में बदल सकते हैं और बड़ी डिग्री का परीक्षण कर सकते हैं। यह एक विस्तार विधि नहीं है लेकिन फिर भी बहुपद पर आधारित है।

— cfdlab

@PraveenChandrashekar Chebyshev "बेहतर" काम करता है क्योंकि यह अंतराल के बाहरी हिस्सों पर अधिक भार डालता है, जहां फ़ंक्शन सुचारू है। इस प्रकार अत्यधिक दोलन से बचा जाता है, लेकिन यह कहा जाता है कि यह फ़ंक्शन बेहतर रूप से संदिग्ध है - यह विशेष रूप से पर तीखे मोड़ पर कब्जा करता है , समान-असतत-बिंदुओं या एल 2- मिनिमिज़ेशन से भी बदतर । यदि आपका लक्ष्य उच्च-आवृत्ति वाले घटकों से बच रहा है, तो बेहतर रूप से एक अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करें जो इन घटकों को ठीक से नुकसान पहुँचाए। $x=0$$L^2$

— लेफ्टरनैबाउट

यह गैर-समान बिंदुओं के लिए पूरी तरह से ठीक है जैसा कि चेबीशेव प्रक्षेप में है। 20 के बारे में डिग्री के साथ, यह लीजेंड की तुलना में बहुत अधिक सटीक अनुमान देता है जिसे आप अपनी पोस्ट में दिखाते हैं। अधिक मात्रात्मक होने के लिए त्रुटियों को मापें। तुम भी Chebyshev श्रृंखला सन्निकटन कर सकते हैं | x | जो लीजेंड विस्तार से अधिक सटीक है।

— cfdlab

@PraveenChandrashekar बिंदु यह है कि बहुपद सिद्धांत में जैसे किसी फ़ंक्शन को अनुमानित करने में सक्षम नहीं हैं । x | ठीक से। अलग-अलग तरीके हैं, जिनमें से प्रत्येक थोड़ा या अधिक शानदार ढंग से विफल रहता है, लेकिन उनमें से कोई भी "केवल कुछ शर्तों को मूल कार्य के लिए गलत हो सकता है" देने के अर्थ में अच्छी तरह से काम नहीं करता है। यदि आपको बहुपद का उपयोग करना चाहिए, तो आपको यह विचार करने की आवश्यकता है कि किस प्रकार की त्रुटि अधिक समस्याग्रस्त है, लिजेंड्रे और चेबिशेव दोनों में उनके उपयोग के मामले हैं लेकिन कोई चांदी की गोली नहीं है। अंत में, उदाहरण के लिए स्प्लिन के साथ एक दृष्टिकोण आमतौर पर अधिक प्रभावी होता है। $x \mapsto |x|$

— लेफ्टरनैबाउट

हम जानते हैं कि कोई सही तरीका नहीं है। सवाल यह है कि बहुपद के लिए लगभग कौन से कार्य कठिन हैं। इसलिए किसी को भी एक अच्छा काम करने के लिए सभी संभावित तरीकों को देखना होगा जिसमें बहुपद शामिल हों। द लिजेंड्रे लगभग सबसे अच्छा तरीका नहीं है। x | और इसलिए यह एक गलत धारणा देता है कि बहुपत्नी बहुत खराब हैं। x | Chebyshev के साथ आपके पास लेजेंड्रे की तुलना में अभिसरण और कहीं बेहतर सन्निकटन हैं, वे लेजेंड्रे के रूप में इतनी बुरी तरह से दोलन नहीं करते हैं, हालांकि x = 0 के पास धीरे-धीरे परिवर्तित होते हैं, जहां फ़ंक्शन पर्याप्त रूप से सुचारू नहीं है।

— cfdlab

Answer 2

यह एक पैथोलॉजिकल केस है, लेकिन आप हमेशा वीयरस्ट्रैस मॉन्स्टर फंक्शन का सहारा ले सकते हैं । यह एक व्यापक बिंदु को दिखाता है, जिसका अर्थ है कि कार्य जो सुचारू नहीं हैं - उदाहरण के लिए, जिसमें एक किंक है - अनुमानित के लिए मुश्किल है क्योंकि प्रक्षेप त्रुटि अनुमानों को फ़ंक्शन को कई बार अलग-अलग होने के लिए प्रक्षेपित किए जाने की आवश्यकता होती है। दूसरे शब्दों में, अगर आपको वीरस्ट्रैस फंक्शन बहुत पसंद नहीं है, तो आप हमेशा चुन सकते हैं ।$|x|$

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धन्यवाद, यह वही है जो मैंने "मैं कुछ 'शोर' के बारे में सोचा था" से मतलब है। बहुत अच्छा उदाहरण IMO।

— लेरिक्स डेसीडुआ

Answer 3

फंक्शन को अनुमान लगाने के लिए न केवल कड़ी मेहनत की जाती है, बल्कि अंतराल द्वारा जो कि अंदाजा लगाना "अच्छा फिट" होना चाहिए। और आपको एक "अच्छे फिट" के लिए माप को परिभाषित करना चाहिए, यानी अधिकतम (पूर्ण या रिश्तेदार) त्रुटि जिसे आप सहन करना चाहते हैं?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

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मैं अपने पाठ्यक्रम में इस तरह के उदाहरण बताता हूं कि टेलर विस्तार अनुमानित कार्यों के लिए एक अच्छा तरीका नहीं है।

— cfdlab

Answer 4

समारोह सन्निकटन [1] में बहुपद आश्चर्यजनक रूप से प्रभावी हैं। यदि आपके पास कम से कम लिप्सचित्ज़ निरंतरता है, तो चेबीशेव सन्निकटन अभिसरण करेंगे। बेशक, अभिसरण धीमा हो सकता है, और यह वह मूल्य है जो हम एक गैर-चिकनी फ़ंक्शन से निपटने के लिए भुगतान करते हैं।

आज, कंप्यूटर उन दिनों की तुलना में बहुत तेज हैं जिनमें कई संख्यात्मक विश्लेषण पुस्तकें लिखी गई थीं, और चतुर एल्गोरिदम ने गति को और अधिक बढ़ा दिया है, ताकि अधिक शब्दों का उपयोग करने के लिए उतना बुरा न हो जितना कि यह हुआ करता था।

वेइरास्ट्रस राक्षस फ़ंक्शन जैसे रोग संबंधी उदाहरण सैद्धांतिक दृष्टिकोण से दिलचस्प हैं, लेकिन वे अधिकांश वास्तविक अनुप्रयोग संदर्भों के प्रतिनिधि नहीं हैं।

$|x|$$x=0$

बहुपद के साथ सन्निकटन में कठिनाइयों को सिखाना महत्वपूर्ण है, लेकिन छात्रों को यह बताना भी महत्वपूर्ण है कि हम त्रुटि अनुमान और अनुकूली एल्गोरिदम बना सकते हैं जो इन मुद्दों से निपट सकते हैं।

[१] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[२] http://www.chebfun.org

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+1, लॉयड ट्रेफेथेन द्वारा "मिथक पेपर" को जोड़ने के लिए, आईएमओ विषय का बहुत अच्छा सर्वेक्षण, धन्यवाद।

— लेरिक्स डेसीडुआ

Answer 5

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

Answer 6

$y = sin(x)$

Comments

$y=\sin(\frac{1}{x})$