वास्तविक हिस्से से विश्लेषणात्मक निरंतरता के काल्पनिक पुनर्प्राप्ति के संख्यात्मक रूप से

मेरी स्थिति।

मेरे पास जटिल अभिन्न के माध्यम से परिभाषित एक जटिल चर का एक कार्य है । मुझे जिस चीज में दिलचस्पी है, वह काल्पनिक अक्ष पर इस फ़ंक्शन का मूल्य है। निम्नलिखित रिबन पर इस फ़ंक्शन के लिए मेरी संख्यात्मक पहुंच है: । औपचारिक रूप से इस डोमेन के बाहर अभिन्न अभिव्यक्ति भिन्न है, और इसलिए मुझे एक विश्लेषणात्मक निरंतरता की आवश्यकता है। एक तस्वीर में मेरी स्थिति का योग करने के लिए, $f(z)$ $z=(x,y)\in (-\infty,\infty)\times[-1,1]$

यहाँ मैं संख्यात्मक से इस रिबन पर बारे में जानता हूँ : $f(z)$

यह एक साथ काल्पनिक और वास्तविक कुल्हाड़ियों के बारे में सममित है।
यह से शून्य पर शून्य हो जाता है । $Re(z)\rightarrow\infty$
यह पास । यह पोल या एक शाखा बिंदु हो सकता है, मुझे नहीं पता। मुझे इस विलक्षणता की प्रकृति पर संदेह है (और संभवतः विश्लेषणात्मक निरंतरता के अन्य सभी पृथक विलक्षणताएं) इस फ़ंक्शन के विशिष्ट पैरामीटरकरण पर निर्भर करती हैं (विवरण के लिए नीचे देखें) $z=\pm i$ $\xi$

वास्तव में यह प्लॉट किए जाने पर एक या समान दिखता है । यहाँ असली हिस्से की एक साजिश है: $\text{sech}^2(z)$ $1/(1+z^2)^{2n}$

मेरा प्रश्न यह है कि मेरे पास फ़ंक्शन (उस रिबन पर उस पर कुल संख्यात्मक पहुंच) के बारे में जानकारी की सरासर राशि है, क्या मेरे लिए काल्पनिक अक्ष के साथ इस फ़ंक्शन के संख्यात्मक अनुमान की गणना करने का कोई तरीका है? मैं वैसे तो मैथमैटिक का इस्तेमाल कर रहा हूं।

काल्पनिक अक्ष के साथ मूल्यों में मेरी दिलचस्पी का कारण यह है क्योंकि मुझे इस फ़ंक्शन के निम्नलिखित फूरियर रूपांतरण का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है:

\begin{matrix} (1) & \bar{f} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x e^{i t x} \frac{1}{x^{2} + x_{0}^{2}} f (x) \end{matrix}

$\bar{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{itx}\frac{1}{x^2+x^2_0} f(x) \tag{1}$

के बड़े मूल्यों के लिए , जो मेरे मामले में वास्तव में के आदेश पर है । हालांकि मैं अच्छी तरह से अभिन्न जानता हूं, यह फूरियर रूपांतरण औपचारिक रूप से दोलन है, इसलिए एकमात्र तरीका मुझे पता है कि यह कैसे गणना करना है एक कंटूर एकीकरण द्वारा। $t$ $10$

मैंने क्या कोशिश की है।

मैंने वास्तव में परम अत्यधिक दोलन अभिन्न, ईक की गणना करने की कोशिश की है। (1)। मूल्यांकन मूल्यांकन। (1) 't' के एकल मान के लिए गणना करने में कुछ घंटे लगते हैं। मैंने इनमें से कुछ को पहले से ही एकीकृत किया है और परिणाम वास्तव में समझ में आते हैं, लेकिन मैं एक वैकल्पिक दृष्टिकोण चाहूंगा।
मैंने पैड सन्निकटन के साथ विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखने की कोशिश की है, लेकिन यह कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा भी है, लेकिन प्रत्यक्ष मूल्यांकन जितना नहीं। इससे भी महत्वपूर्ण बात, मैं सन्निकटन के बढ़ते क्रम के साथ अभिसरण स्थापित नहीं कर सका (और न ही उनके आंशिक योगों का औसत!), जो इसके विपरीत है कि कैसे मेरे जैसे सरल कार्यों के साथ परीक्षण चला गया (मैं आसानी से सरल परीक्षण कार्यों के साथ जटिल विमान की विस्तृत श्रृंखला पर बहुत जल्दी अभिसरण प्राप्त कर सकता है )। $\text{sech}^2(z)$ $z$
मैंने कोई फायदा नहीं होने के लिए प्रतीकात्मक एकीकरण की कोशिश की है। मैंने मैथमेटिका के लिए एक अधिक सुपाच्य रूप में इंटीग्रांड की मालिश करने की कोशिश की है, लेकिन मेरे प्रयास सफल नहीं हुए हैं।

आपत्तिजनक अभिन्न।

बता दें कि , , , और सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जबकि वह जटिल संख्या है जिसमें हम रुचि रखते हैं ( पिछली चर्चा में की भूमिका निभाता है )। निर्धारित करें: $k_4$ $k_{\perp}$ $\xi$ $\alpha$ $E$ $z$

\begin{aligned} p_{1}^{2} & = {(k_{4} + \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + α^{2} \\ p_{2}^{2} & = {(k_{4} - \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + (1 - α)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} p_1^2&=\left(k_4+\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+\alpha^2\\ p_2^2&=\left(k_4-\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+(1-\alpha)^2 \end{align}$

मैं जिस अभिन्न में दिलचस्पी रखता हूं वह निम्नलिखित है:

\begin{aligned} f (E; α, ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} d k_{4} \int_{0}^{\infty} d (k_{⊥}^{2}) [\frac{α (1 + p_{1}^{2})^{3 ξ / 2} (1 + p_{2}^{2})^{ξ / 2}}{(1 + p_{1}^{2} (1 + p_{1}^{2})^{2 ξ}) (1 + p_{2}^{2} (1 + p_{2}^{2})^{2 ξ})} + + (p_{1} \leftrightarrow p_{2})] \end{aligned}

$\begin{align} f(E;\,\alpha,\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty} dk_4 \int_{0}^{\infty} d(k_{\perp}^2)\left[\frac{\alpha (1+p_1^2)^{3\xi/2}(1+p_2^2)^{\xi/2}}{(1+p_1^2(1+p_1^2)^{2\xi})(1+p_2^2(1+p_2^2)^{2\xi})}+\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+(p_1\leftrightarrow p_2)\right] \end{align}$

जहां मैंने संक्षिप्तता के लिए अभिन्न अंग में कार्यात्मक निर्भरता संकेतन को दबा दिया है। मुझे विशेष रूप से मानों में रुचि है , रेंज , और (जैसा कि ऊपर कहा गया है) फूरियर लिए रूपांतरण (1) । $\xi=1,2,3$ $0<\alpha<1$ $t~10$

integration mathematica complex-analysis

— आर्टुरो डॉन जुआन
स्रोत

क्या संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता निश्चित रूप से यहाँ सहायक है? क्या आप इसके बजाय साथ इसका मूल्यांकन कर सकते हैं , जहां तेजी से क्षय होगा लेकिन सीधे उपलब्ध है? यह भी कुछ हद तक आश्चर्य की बात है कि थरथरानवाला अभिन्न का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है, क्योंकि आमतौर पर थरथरानवाला अभिन्न लोगों के लिए विशेष तरीके तरह जल्दी से बहुपद-क्षय समारोह को संभालने में सक्षम होंगे । मैं ऐसा इसलिए कहता हूं क्योंकि मैथेमेटिका में अभिन्न के साथ खेलने के बाद मैं चिंतित हूं कि संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता एक अंधे गली हो सकती है।

R + 0.99 i

$\mathbb{R}+0.99\mathrm{i}$

\bar{f}

$\bar f$

f

$f$

f

$f$

— किरिल

मैंने सीधे मैथमेटिका में अभिन्न को लागू करने की कोशिश की, और मुझे अपने लैपटॉप पर 20 में का मूल्यांकन करने के लिए मिला : महान नहीं, बल्कि घंटे भी नहीं। यदि मैंने इसका सीधे मूल्यांकन करने के लिए उत्तर लिखा है तो क्या यह आपकी मदद करेगा?

\bar{f}

$\bar f$

— किरिल

@Kirill संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता में कई असफल प्रयासों के बाद भी मैं आपकी पहली टिप्पणी से पूरी तरह सहमत हूं। कृपया, यदि आप 20 के दशक में का मूल्यांकन करने में सक्षम थे, तो मैं लिखने के लिए बहुत आभारी रहूंगा। वैसे, यह जोड़ने में मदद मिल सकती है कि वास्तव में यह केवल एक बार का मूल्यांकन नहीं था जो घंटों ले रहा था, लेकिन लगभग 30 मूल्यांकन ( अंतराल आकार लिए मूल्यांकन )। एक एकल मूल्यांकन हालांकि मुझे लगभग 14 मिनट लग रहे थे।

\bar{f}

$\bar{f}$

\bar{f}

$\bar{f}$

α \in [- 1, 2]

$\alpha\in [-1,2]$

0.1

$0.1$

— आर्टुरो डॉन जुआन

मैंने इसे लिखा था, लेकिन मुझे अपने कोड के साथ एक समस्या का पता चला, इसलिए मुझे अब यकीन नहीं है कि अगर मैंने गणना की है तो सभी मान्य हैं। क्या आपके पास कोई ज्ञात-मान्य संदर्भ मान हैं?

— किरिल

नोट: मैं इस बिंदु पर कुछ चिंतित हूं कि मैथमेटिका द्वारा मुझे दिए गए अभिन्न मूल्य फर्जी हैं। मुझे लगा कि यह काम कर रहा है क्योंकि इसने थोड़े समय में एक समझदार दिखने वाला परिणाम दिया, लेकिन यह मामला हो सकता है कि जिस विधि का उपयोग करने की कोशिश करता है वह छोटी गाड़ी है या मैंने कुछ गलत किया है। तो यह हो सकता है कि नीचे दिया गया कोड बिल्कुल काम नहीं कर रहा है, मुझे नहीं पता, क्षमा करें।

नोट 2: यह मुझे परेशान करता है, इसलिए मैंने जूलिया और जीएसएल का उपयोग करते हुए एक और संस्करण ( कोड यहां , कोड गुणवत्ता के बारे में खेद है) लिखा और यह g2 सेकंड में उसी उत्तर का मूल्यांकन करता है जो मैथमेटिका नीचे देती है। इसलिए मुझे लगता है कि कोड शायद ठीक है।

संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता के बारे में मुझे संदेह होने का मुख्य कारण यह है कि आपके अभिन्न अंग वास्तव में मेरे सीमित परीक्षण में अच्छे लग रहे थे। विशेष रूप से, दोनों और पूर्णांक बहुपद को और जल्दी से क्षय करते हैं, और यह बिल्कुल इसी तरह का है कि पारंपरिक चतुर्भुज दिनचर्या को अच्छी तरह से संभालने के लिए डिज़ाइन किया गया है। कोई मुश्किल विलक्षणता भी नहीं है। $f$ $\bar f$

संख्यात्मक एकीकरण के साथ मेरा पिछला अनुभव मुझे यह विश्वास दिलाता है कि कट्टर गणितीय तरीके कभी-कभी शानदार रूप से सहायक हो सकते हैं, लेकिन यह भी कि संख्यात्मक फूरियर रूपांतरणों का मूल्यांकन करना और तर्कसंगत और बीजगणितीय कार्यों को एकीकृत करना संख्यात्मक एकीकरण एल्गोरिदम की ब्रेड-और-बटर हैं। एल्गोरिदम को सावधानी से उठाकर और उनके मापदंडों के साथ खेलते हुए आसान प्रगति करें। यह आमतौर पर आसान विकल्प है अगर यह देखना मुश्किल है कि गणितीय तकनीक को सही कैसे बनाया जाए।

ClearAll[ξ, α, p1, p2, fi, f, g];
ξ = 1;
α = 1/2;
fi[e_, k4_, kp_] := Module[{
   p1 = (k4^2 + e/2)^2 + kp^2 + α^2,
   p2 = (k4^2 - e/2)^2 + kp^2 + (1 - α)^2},
  2 * (* because integrate k4 over (0,∞) *)
   2 kp * (* because d(kp^2) *)
   (α (1 + p1)^(3 ξ/2) (1 + p2)^(ξ/2)) /
     ((1 + p1 (1 + p1)^(2 ξ)) (1 + p2 (1 + p2)^(2 ξ)))
  ]
f[e_?NumericQ] := NIntegrate[
   fi[e, k4, kp], {k4, 0, ∞}, {kp, 0, ∞},
   Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}];

(* !!! This gives a bogus result: *)
gBogus[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -∞, ∞}, 
  Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
    "SymbolicProcessing" -> 0}]

(* This gives *a* result, different from above despite being equivalent *)
g[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -\[Infinity], 0}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]] +
  NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, 0, \[Infinity]}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]]

परिणाम:

In[18]:= Timing@g[10,1]
Out[18]= {78.0828, 0.0000704303 + 9.78009*10^-6 I}

In[338]:= Timing@g[1,1]
Out[338]= {14.3125,0.389542 +0.024758 I}

मैंने गणितीय रूप से पूर्णांकों को प्रीप्रोसेस करने पर शून्य समय व्यतीत किया, क्योंकि इस मामले में यह वैसे भी इसके बारे में उपयोगी कुछ भी पता लगाने में सक्षम नहीं था। मैंने इसे विशेष रूप से दूसरे अभिन्न के लिए एक दोलित्र चतुर्भुज विधि का उपयोग करने के लिए भी कहा था।

एकीकरण की रणनीतियों के साथ बेतरतीब ढंग से फ़िडलिंग के लिए मेरा अनुमान ( NIntegrateIntegrationStrategies देखें ) यह सब काम करता है कि कभी-कभी गणितज्ञ गलती से खराब रणनीति को स्वचालित रूप से चुन सकता है, प्रदर्शन को मार सकता है, जबकि मैं जो कुछ भी करने के लिए कहता हूं वह कम से कम थोड़ा सार्थक होता है, भले ही वह सबटापीमल हो। आप https://mathematica.stackexchange.com पर सहायता प्राप्त करने पर भी विचार कर सकते हैं , वे शायद वहाँ पर गणितज्ञों के बारे में अधिक जान सकें।

— किरिल
स्रोत

धन्यवाद, मैं वास्तव में NIntegrate विकल्पों / रणनीतियों के साथ काम करने के बारे में नहीं सोचा था। ओह और इंटीग्रल पर चला जाता है to , से । परिणाम एक सममित / यहां तक कि कार्य होना चाहिए, और इसलिए फूरियर ट्रांसफॉर्म में कोई काल्पनिक हिस्सा नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, मुझे वास्तव में समझ में नहीं आता है कि आपने अपने तरीके (अपने कोड के अंत में) को क्यों परिभाषित किया है। वह सब क्या है जो पहले "इवैल्यूएशनमोनिटर" के साथ शुरू होता है?

k_{4}

$k_4$

- \infty

$-\infty$

\infty

$\infty$

0

$0$

\infty

$\infty$ g[t,e0]

— आर्टुरो डॉन जुआन

@ArturodonJuan क्या आप सुनिश्चित हैं कि में सममित है ? अंश में शक्तियां भिन्न हैं और और तहत विनिमेय नहीं हैं । जब तक मैंने कुछ गलत नहीं किया, आपका कार्य मेरे लिए सममित नहीं दिखता। मैंने सादगी के लिए इंटीग्रल ओवर को से पर इंटीग्रल बदल दिया । EvaluationMonitor इसे डीबग करने से बचा हुआ है।

f

$f$

E

$E$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

E \leftrightarrow - E

$E\leftrightarrow -E$

k_{4}

$k_4$

2 \times

$2\times$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

— किरिल

(1) अरे हाँ, माफ करना तुम सही हो। मेरी वास्तविक अभिव्यक्ति / अभिन्न अभिरुचि वह है जिसे मैंने , जो इसे में सममित बनाता है । मुझे स्पष्ट करना चाहिए था कि अपने मूल पद में। (२) मैंने की अपनी परिभाषा में एक गलती की । उन कोष्ठकों में केवल की एक शक्ति होनी चाहिए , दो नहीं। मैंने बस उसे बदल दिया है।

p_{1} \leftrightarrow p_{2}

$p_1\leftrightarrow p_2$

E

$E$

p_{1, 2}

$p_{1,2}$

k_{4}

$k_4$

— आर्टोरो डॉन जुआन

@ArturodonJuan मुझे लगता है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उत्तर कैसे काम करता है, केवल संख्या बदल जाएगी।

— किरिल