कौन से अनुप्रयोग मामलों में जोड़-तोड़ करने वाली पूर्व-योजनाएँ कई गुणकों से बेहतर हैं?

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दोनों डोमेन अपघटन (डीडी) और मल्टीग्रिड (एमजी) विधियों में, कोई भी ब्लॉक अपडेट या मोटे सुधार के आवेदन को या तो योगात्मक या गुणात्मक के रूप में लिख सकता है । पॉइंट वाइव्स के लिए, यह जैकोबी और गॉस-सेडेल पुनरावृत्तियों के बीच अंतर है। एक्टिंग के लिए रूप में गुणात्मक चिकनी को लागू किया जाता है। $Ax = b$ $S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

और additive चिकनी के रूप में लागू किया जाता है

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

कुछ भिगोना $\lambda_i$ । सामान्य सर्वसम्मति से प्रतीत होता है कि गुणात्मक धूम्रपान करने वालों में बहुत अधिक तेजी से अभिसरण गुण होते हैं, लेकिन मैं सोच रहा था: इन एल्गोरिदम के योगात्मक वेरिएंट का प्रदर्शन किन स्थितियों में बेहतर है?

अधिक विशेष रूप से, क्या किसी के पास ऐसे उपयोग के मामले हैं जहां एडिटिव वैरिएंट और / या गुणक संस्करण की तुलना में बेहतर प्रदर्शन करना चाहिए? क्या इसके लिए सैद्धांतिक कारण हैं? मल्टीग्रिड पर अधिकांश साहित्य एडिटिव विधि के बारे में काफी निराशावादी है , लेकिन इसका उपयोग डीडी के संदर्भ में एडिटिव एवरज के रूप में बहुत अधिक किया जाता है। यह लीनियर और नॉनलाइनियर सॉल्वर्स की रचना के बहुत अधिक सामान्य मुद्दे तक फैला हुआ है, और किस प्रकार के निर्माण अच्छा प्रदर्शन करेंगे और समानांतर में अच्छा प्रदर्शन करेंगे।

— पीटर ब्रुने
स्रोत

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Additive तरीके अधिक संगामिति को उजागर करते हैं। यदि आप उस संगामिति का उपयोग कर सकते हैं तो वे आम तौर पर गुणन विधियों से अधिक तेज़ होते हैं। उदाहरण के लिए, मल्टीग्रिड के मोटे स्तर आमतौर पर विलंबता-सीमित होते हैं। यदि आप मोटे स्तर को छोटे सब-कम्यूनिकेटर में स्थानांतरित करते हैं, तो उन्हें महीन स्तरों से स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है। एक गुणक योजना के साथ, मोटे स्तरों के हल होने पर सभी प्रॉक्स को इंतजार करना पड़ता है।

इसके अलावा, अगर एल्गोरिथ्म को हर स्तर पर कटौती की आवश्यकता होती है, तो योज्य संस्करण उन्हें ले जाने में सक्षम हो सकता है जहां गुणक विधि उन्हें क्रमिक रूप से प्रदर्शन करने के लिए मजबूर करती है।

— जेड ब्राउन
स्रोत

यह वह उत्तर है जो मुझे लगा कि मुझे मिलेगा, इसलिए मुझे लगता है कि मैं प्रश्न के साथ आगे भी जाऊंगा। क्या ऐसी स्थितियाँ हैं जहाँ DD और MG सहित योगात्मक रूप से लागू विधियाँ हैं, लेकिन फ़ील्डप्लाटिंग (जिसे DD-like माना जा सकता है, लेकिन व्यवहार में अलग-अलग विशेषताएँ हो सकती हैं) या PDE विभाजन वास्तव में प्रदर्शन, मजबूती या गुणन के मामले में गुणन संस्करण की तुलना में बेहतर है?

— पीटर ब्रुने

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कई एल्गोरिदम के गुणक संस्करणों को अधिक जानकारी संग्रहीत करने की आवश्यकता होती है, लेकिन कभी-कभी तेजी से मोटे तौर पर परिवर्तित होता है। कभी-कभी योजक संस्करण सममित होते हैं, लेकिन यह गुणात्मक सममित बनाने के लिए बहुत अधिक काम हो सकता है। फ़ील्डप्लिट के साथ, जब आप उन अतिरिक्त हलकों को जोड़ते हैं, तो पूर्ववर्ती अधिक अनुमानित हो सकता है। अगर आप चाहें तो हम इसे पेट्सक स्टोक्स उदाहरण के साथ प्रदर्शित कर सकते हैं। Additive हमेशा वेक्टर / अधिक समवर्ती करने के लिए आसान है, लेकिन उस से किसी भी प्रदर्शन की जीत समस्या और वास्तुकला-विशिष्ट है।

— जेड ब्राउन

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एसपीडी की समस्याओं के लिए योगात्मक तरीके कई कारणों से एमजी चौरसाई के लिए बेहतर हैं जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है और कुछ और:

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

बहुसंख्यात्मक तरीकों में हालांकि एमजी स्मूथी के लिए सही वर्णक्रमीय गुण सीधे-से-बाहर होते हैं, अर्थात उन्हें भिगोने की आवश्यकता नहीं होती है। यह हाइपरबोलिक समस्याओं के लिए एक बड़ी जीत हो सकती है जहाँ बहुपद का स्मूदीकरण बहुत अच्छा नहीं है।

— एडम्स
स्रोत

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मैं आराम करूंगा जो @ जेद ने कहा था: गुणक विधि हमेशा कम से कम और साथ ही योजक विधि (asymptotically) में परिवर्तित होती है, इसलिए आप केवल संगामिति के आधार पर जीतते हैं, लेकिन यह आर्किटेक्चर-निर्भर है।

— मैट नेप्ले
स्रोत

तकनीकी रूप से सही नहीं है, गॉस-सीडल कहने के लिए पुनरावृति मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रा जैकोबी से समान रूप से बेहतर नहीं है (उदाहरण के लिए, एक जैजियो पुनरावृत्ति के साथ एक ईजेनवल्यू मारा जाता है)। मार्क (मैं जेड के रूप में कैसे लॉग ऑफ करता हूं ...)

— जेड ब्राउन