क्यों बीमार हालत रेखीय सिस्टम ठीक हल किया जा सकता है?

Question

यहां उत्तर के अनुसार , बड़ी स्थिति संख्या (रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए) फ्लोटिंग पॉइंट समाधान में सही अंकों की गारंटीकृत संख्या को घटाती है। स्यूडोस्पेक्ट्रल विधियों में उच्च क्रम विभेदन मैट्रीस आमतौर पर बहुत ही बीमार अवस्था में होते हैं। ऐसा क्यों है कि वे अभी भी बहुत सटीक तरीके हैं?

मैं समझता हूं कि अशिक्षित मेट्रिसेस से आने वाली कम सटीकता केवल एक गारंटीकृत मूल्य है, लेकिन फिर भी यह मुझे आश्चर्यचकित करता है कि प्रथा में प्रत्यक्ष तरीकों से बीमार मैट्रिस को सही तरीके से क्यों हल किया जाता है - उदाहरण के लिए, LCOLपृष्ठ 11 पर पृष्ठ 3.1 के कॉलम 11 वांग एट अल।, एक वेल-कंडेन्स्ड कॉलेज मैथोड का उपयोग एक सार्वजनिक उपक्रम एकीकरण सामग्री , सियाम जे विज्ञान। संगणना।, ३६ (३) ।

Comments

मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि एक एक्स = बी सिस्टम की सॉल्वेबिलिटी / सटीकता फोर्सिंग वेक्टर बी से जुड़ी हुई है, न कि केवल मैट्रिक्स ए। शायद अगर बी ए की "वातानुकूलित" मोड को "जांच" या "उत्तेजित" नहीं करता है, तो सटीक समाधान संभव है। एक सीमित उदाहरण के रूप में, A बिल्कुल एकवचन (अनंत स्थिति संख्या) हो सकता है, फिर भी Ax = b में अभी भी एक समाधान हो सकता है, जिसे सटीक रूप से गणना की जा सकती है, यदि मजबूर करने वाला डेटा b, A की सीमा में रहता है, तो मैं मानता हूं कि यह बहुत अच्छा है। -वेवी, यही वजह है कि मैं केवल जवाब के बजाय टिप्पणी करता हूं।

— rchilton1980

@ rchilton1980 "अभी तक Ax = b में अभी भी एक समाधान हो सकता है" लेकिन वह समाधान अद्वितीय नहीं है। और उदाहरण मैं एक अद्वितीय समाधान के अधिकारी का उल्लेख कर रहा हूं।

— ज़ोल्टन सेसटी

यह एक उचित प्रतिवाद है - शायद अनंत स्थिति संख्या (बिल्कुल शून्य eigenvalue) को चुनने की एक कलाकृति। हालाँकि मुझे लगता है कि आप उस ईजीनेवल्यू को मशीन एप्सिलॉन से बदल सकते हैं और मेरी बात अभी भी कायम है। (यही है, sytem में बहुत बड़ी स्थिति संख्या है, सिस्टम एक अद्वितीय समाधान के साथ निरर्थक है, जिसे हम बहुत सटीक रूप से गणना कर सकते हैं बशर्ते कि छोटे ईजीनपेयर के साथ कोई घटक न हो)।

— rchilton1980

अधिक विशिष्ट होने के लिए, मेरा विचार यहां ए = डायग ([1 1 1 1 1 ईपीएस]), बी = [बी 1 बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 0] जैसा कुछ है। यह वंचित है, लेकिन मुझे लगता है कि मूल दावे को सही ठहराने के लिए यह उचित है: "कभी-कभी बीमार ए को बी के विशेष विकल्पों के लिए सटीक रूप से हल किया जा सकता है"

— rchilton1980

बस एक और उदाहरण Moler के ब्लॉग से देना blogs.mathworks.com/cleve/2015/02/16/...

— percusse

Answer 1

मेरे प्रारंभिक उत्तर के बाद जोड़ा गया:

यह अब मुझे प्रतीत होता है कि संदर्भित पेपर के लेखक तालिका में मानक संख्या (जाहिरा तौर पर 2-मानक स्थिति संख्या लेकिन संभवतः अनंत-मानक स्थिति संख्या) दे रहे हैं, जबकि मानक सापेक्ष त्रुटियों या अधिकतम तत्व-सापेक्ष सापेक्ष त्रुटियों के बजाय अधिकतम निरपेक्ष त्रुटियां दे रहे हैं ( ये सभी अलग-अलग उपाय हैं।) ध्यान दें कि अधिकतम तत्व-सापेक्ष सापेक्षता अनंत-सापेक्ष सापेक्ष त्रुटि के समान नहीं है। इसके अलावा, तालिका की त्रुटियां समीकरणों के विवेकाधीन रैखिक प्रणाली के बजाय मूल अंतर समीकरण सीमा मूल्य समस्या के सटीक समाधान के सापेक्ष हैं। इस प्रकार कागज में दी गई जानकारी वास्तव में शर्त संख्या के आधार पर बाध्य त्रुटि के साथ उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है।

हालांकि, संगणनाओं के मेरे प्रतिकृति में, मैं उन स्थितियों को देखता हूं जहां सापेक्ष अनंत मानक त्रुटि (या दो-मानक सापेक्ष त्रुटि) अनंत-मानक स्थिति संख्या (क्रमशः 2-मानक स्थिति संख्या) द्वारा निर्धारित सीमा से काफी कम है। कभी-कभी आप सिर्फ भाग्यशाली होते हैं।

मैंने DMSUITE MATLAB पैकेज का उपयोग किया और Chebyshev polynomials के साथ स्यूडोस्पेक्ट्रल विधि का उपयोग करके इस पेपर से उदाहरण की समस्या को हल किया। मेरी स्थिति संख्या और अधिकतम पूर्ण त्रुटियां कागज में बताए गए समान थीं।

मैंने मानक सापेक्ष त्रुटियां भी देखीं जो हालत संख्या के आधार पर किसी से बेहतर हो सकती थीं। उदाहरण के लिए, के साथ उदाहरण समस्या पर , का उपयोग करते हुए एन = 1024 , मैं$\epsilon=0.01$$N=1024$

cond (ए, 2) = 7.9e + 8

cond (ए, inf) = 7.8e + 8

आदर्श (यू-uexact, 2) / आदर्श (uexact, 2) = 3.1e-12

आदर्श (यू-uexact, inf) / आदर्श (uexact, inf) = 2.7e-12

ऐसा प्रतीत होता है कि समाधान लगभग 11-12 अंकों के लिए अच्छा है, जबकि स्थिति संख्या 1e8 के क्रम पर है।

हालांकि, तत्व-वार त्रुटियों के साथ स्थिति अधिक दिलचस्प है।

अधिकतम (पेट (यू-uexact)) = 2.7e-12

वह अभी भी अच्छा लग रहा है।

अधिकतम (पेट ((यू-uexact) ./ uexact) = 6.1e + 9

वाह- समाधान के कम से कम एक घटक में एक बहुत बड़ी सापेक्ष त्रुटि है।

क्या हुआ? इस समीकरण के सटीक समाधान में ऐसे घटक होते हैं जो छोटे होते हैं (जैसे 1.9e-22) जबकि अनुमानित समाधान नीचे की ओर 9e-14 के बहुत अधिक मूल्य पर होता है। यह मानक सापेक्ष त्रुटि माप (चाहे वह 2-मानक या अनंत-मानक हो) द्वारा छिपा हुआ है और केवल तब दिखाई देता है जब आप तत्व-सापेक्ष सापेक्ष त्रुटियों को देखते हैं और अधिकतम लेते हैं।

नीचे मेरा मूल उत्तर बताता है कि आप समाधान में एक मानक सापेक्ष त्रुटि क्यों प्राप्त कर सकते हैं जो शर्त संख्या द्वारा दिए गए बाउंड से कम है।

---

आप प्रश्न में ध्यान दिया होगा, हालत संख्या, , एक गैर विलक्षण मैट्रिक्स की एक देता बुरी से बुरी हालत रिश्तेदार समीकरणों की एक परेशान प्रणाली का हल के लिए बाध्य त्रुटि। यही कारण है, अगर हम का समाधान एक ( एक्स + Δ x ) = ख + Δ ख वास्तव में और हल एक एक्स = ख वास्तव में, तो$\kappa(A)$$A(x+\Delta x)=b+\Delta b$$Ax=b$

$\frac{\| \Delta x \|}{\| x \|} \leq \kappa(A) \frac{\| \Delta b \|}{\| b \|}$

शर्त संख्याओं की गणना विभिन्न मानदंडों के संबंध में की जा सकती है, लेकिन दो-मानक स्थिति संख्या का अक्सर उपयोग किया जाता है, और यह उस शर्त संख्या का उपयोग किया जाता है जिसे आप संदर्भित करते हैं।

सबसे खराब स्थिति त्रुटि तब होती है जब के एक छोड़ दिया विलक्षण वेक्टर है के सबसे छोटे विलक्षण मान के संगत । सबसे अच्छा मामला तब होता है जब के सबसे बड़े एकवचन मान के लिए बाएँ एकवचन वेक्टर होता है । जब यादृच्छिक होता है, तो आपको के बाएं सिंगुलर वैक्टर और संबंधित एकवचन मानों पर के अनुमानों को देखना होगा । के स्पेक्ट्रम के आधार पर , चीजें बहुत बुरी तरह से या बहुत अच्छी तरह से जा सकती हैं। एक एक Δ ख एक एक Δ ख Δ ख एक $\Delta b$$A$$A$$\Delta b$$A$$A$$\Delta b$$\Delta b$$A$$A$

2-मानक स्थिति संख्या दोनों के साथ दो मैट्रिक्स पर विचार करें । पहले मैट्रिक्स में एकवचन मान , , , । दूसरे मैट्रिक्स में एकवचन मान , , , , । 1.0 × 10 10 1 1 × 10 - 10 ... 1 × 10 - 10 1 1 ... 1 1 × 10 - $A$$1.0 \times 10^{10}$$1$$1 \times 10^{-10}$$\ldots$$1 \times 10^{-10}$$1$$1$$\ldots$$1$$1 \times 10^{-10}$

पहले मामले में, एक यादृच्छिक गड़बड़ी पहली बाईं विलक्षण सदिश की दिशा में होने की संभावना नहीं है, और एकवचन वैक्टर के करीब होने की संभावना अधिक है एकवचन मान । इस प्रकार समाधान में सापेक्ष परिवर्तन बहुत बड़े होने की संभावना है। दूसरे मामले में, लगभग कोई भी गड़बड़ी विलक्षण मान साथ एक विलक्षण वेक्टर की दिशा में करीब होगी , और समाधान में सापेक्ष परिवर्तन छोटा होगा। $1 \times 10^{-10}$$1$

PS (बाद में योग कक्षा से वापस आने के बाद ...)

के समाधान का सूत्र है$A\Delta x = \Delta b$

$\Delta x = V \Sigma^{-1} U^{T} \Delta b=\sum_{i=1}^{n} \frac{U_{i}^{T}\Delta b}{\sigma_{i}} V_{i}$

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$\| \Delta x \|_{2}^{2}= \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{U_{i}^{T}\Delta b}{\sigma_{i}} \right)^{2}$

अगर हम रखते हैं , तब यह योग तब अधिकतम हो जाता है जब और छोटा हो जाता है जब ।$\| \Delta b \|_{2}=1$$\Delta b=U_{n}$$\Delta b=U_{1}$

यहां पर विचार की गई स्थिति में, यादृच्छिक राउंड-ऑफ त्रुटियों का परिणाम है, इसलिए मान लगभग सभी एक ही परिमाण के होने चाहिए। छोटे मान वाले शब्द त्रुटि में बहुत योगदान देंगे, जबकि बड़े मान वाले शब्द अधिक योगदान नहीं देंगे। स्पेक्ट्रम के आधार पर, यह सबसे खराब स्थिति से आसानी से बहुत छोटा हो सकता है। $\Delta b$$U_{i}^{T}\Delta b$$\sigma_{i}$$\sigma_{i}$

Comments

इस तर्क को नहीं अर्थ होगा कि यह है संभव (यहां तक कि संभावना नहीं है तो) बुरी से बुरी हालत के लिए बाध्य तक पहुंचने के लिए के उदाहरण में मैट्रिक्स के लिए? AFAIU, मेरे जवाब पर आधारित है और यह संभव नहीं होना चाहिए प्रलेखन पर आधारित है। $\kappa_\infty(A)$?getrs

— किरिल

@BrianBorchers आप कृपया विस्तार से बताएं सका क्यों "सबसे खराब स्थिति त्रुटि तब होती है जब के एक छोड़ दिया विलक्षण वेक्टर है के सबसे छोटे विलक्षण मान के संगत । सबसे अच्छा मामले तब होता है जब के एक छोड़ दिया विलक्षण वेक्टर है करने के लिए इसी का सबसे बड़ा विलक्षण मूल्य । " रखती है? नीचे दिए गए उदाहरण से यह तर्कसंगत है, लेकिन मुझे कुछ सूत्रों की आवश्यकता होगी। चलो एसवीडी हो । पहले मामले में, । कैसे आगे बढ़ा जाए? $\Delta b$$A$$A$$\Delta b$$A$$A$$A$$A = U \Sigma V^T$$A = \Delta b \sigma_1 v_1^T + \sum_{i=2}^N u_i \sigma_i v_i^T$

— ज़ोल्टन सेसटी

मैंने मैट्रिक्स में राउंड-ऑफ त्रुटियों पर चर्चा नहीं की है , लेकिन सामान्य प्रभाव समान है- जब तक कि आप राउंड-ऑफ त्रुटियों में वास्तव में अशुभ नहीं हो जाते, आप आमतौर पर निराशावादी सबसे खराब स्थिति से बेहतर कुछ करते हैं। $A$

— ब्रायन बॉर्चर्स

(-1) आउटपुट में घटक-वार सापेक्ष त्रुटियों की चर्चा गंभीर रूप से भ्रामक है।

— किरिल

Answer 2

tl; dr उन्होंने एक स्थिति संख्या की सूचना दी , जरूरी नहीं कि मैट्रिक्स के लिए सही स्थिति संख्या हो, क्योंकि एक अंतर है।

यह मैट्रिक्स और दाहिने हाथ की ओर वेक्टर के लिए विशिष्ट है। यदि आप दस्तावेज़ को देखते हैं*getrs , तो यह कहता है कि आगे की त्रुटि बाउंड यहाँ सामान्य स्थिति संख्या , बल्कि (यहां आदर्श के अंदर ये घटक-पूर्ण निरपेक्ष मूल्य हैं।) उदाहरण के लिए, रैखिक प्रणालियों के लिए Iterative शोधन और Higham द्वारा LAPACK , या Higham की सटीकता और संख्यात्मक एल्गोरिदम की स्थिरता (7.2) देखें।

$$\frac{\|x-x_0\|_\infty}{\|x\|_\infty} \lesssim \mathrm{cond}(A,x)u \leq \mathrm{cond}(A)u.$$ $\mathrm{cond}(A,x)$$\kappa_\infty(A)$ $$\mathrm{cond}(A,x) = \frac{\||A^{-1}||A||x|\|_\infty}{\|x\|_\infty},\\ \mathrm{cond}(A) = \||A^{-1}||A|\|.$$

आपके उदाहरण के लिए, मैंने साथ समान समस्या के लिए एक pseudospectral अंतर ऑपरेटर लिया , और वास्तव में बीच एक बड़ा अंतर हैऔर , मैंने और गणना की , जो अवलोकन को समझाने के लिए पर्याप्त है कि यह सभी दाहिने हाथों के पक्षों के लिए होता है, क्योंकि परिमाण के आदेश मोटे तौर पर मेल खाते हैं तालिका 3.1 में देखा गया (3-4 आदेश बेहतर त्रुटियां हैं)। यह तब काम नहीं करता है जब मैं सिर्फ एक यादृच्छिक रूप से बीमार मैट्रिक्स के लिए ही प्रयास करता हूं, इसलिए इसे संपत्ति होना चाहिए ।$n=128$$\||A^{-1}||A|\|$$\kappa_\infty(A)$$7\times 10^3$$2.6\times 10^7$$A$

एक स्पष्ट उदाहरण जिसके लिए दो शर्त संख्याओं का मिलान नहीं होता है, जिसे मैंने हिघम (7.17, पी .24) से लिया है, काहन के कारण एक और उदाहरण मैंने पाया कि यादृच्छिक साथ सिर्फ सादे वैंडमोंडे मैट्रिक्स है । मैं गुजर गया और कुछ अन्य बीमार हालत वाले मेट्रिसेस भी इस तरह के परिणाम का उत्पादन करते हैं, जैसे और ।

$$\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&\epsilon&\epsilon\\1&\epsilon&\epsilon\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}2+2\epsilon\\-\epsilon\\\epsilon\end{pmatrix}.$$ [1:10]$b$MatrixDepot.jltriwmoler

अनिवार्य रूप से, क्या चल रहा है कि जब आप लंबवत प्रणाली को सुलझाने के संबंध में रैखिक प्रणालियों को हल करने की स्थिरता का विश्लेषण करते हैं, तो आपको सबसे पहले यह निर्दिष्ट करना होगा कि आप किन गड़बड़ियों पर विचार कर रहे हैं। LAPACK के साथ रैखिक प्रणालियों को हल करते समय, यह त्रुटि बाउंड में घटक-वार गड़बड़ी पर विचार करता है , लेकिन में कोई गड़बड़ी नहीं है । तो यह सामान्य से अलग है।, जो और दोनों में आदर्शवादिता संबंधी गड़बड़ियों पर विचार करता है ।$A$$b$$\kappa(A) = \|A^{-1}\|\|A\|$$A$$b$

गौर करें (एक प्रतिपक्ष के रूप में) भी अगर आप भेद नहीं करते हैं तो क्या होगा । हम जानते हैं कि दोहरी सटीकता के साथ पुनरावृत्ति शोधन (ऊपर लिंक देखें) का उपयोग करके हम उन मैट्रिस के लिए का सबसे अच्छा संभव रिश्तेदार त्रुटि प्राप्त कर सकते हैं जिसमें । इसलिए यदि हम इस विचार पर विचार करते हैं कि रैखिक प्रणालियों को सटीकता से हल नहीं किया जा सकता है तो , कैसे परिष्कृत समाधान संभवतः काम करेंगे?$O(u)$$\kappa(A)\ll 1/u$$\kappa(A)u$

पुनश्च यह मायने रखता है कि ?getrsगणना वाला समाधान में (A + E)x = bगड़बड़ी के साथ सही समाधान है , लेकिन में कोई गड़बड़ी नहीं है । यदि में गड़बड़ी की अनुमति दी जाती है तो चीजें अलग होंगी ।$E$$A$$b$$b$

संपादित इस अधिक प्रत्यक्ष रूप से कार्य, कोड में दिखाने के लिए, कि यह एक अस्थायी या किस्मत की बात है, बल्कि (असामान्य) दो शर्त संख्या कुछ विशिष्ट मैट्रिक्स के लिए बहुत अलग होने का परिणाम है, यानी, नहीं है

$$\mathrm{cond}(A,x) \approx \mathrm{cond}(A) \ll \kappa(A).$$

function main2(m=128)
    A = matrixdepot("chebspec", m)^2
    A[1,:] = A[end,:] = 0
    A[1,1] = A[end,end] = 1
    best, worst = Inf, -Inf
    for k=1:2^5
        b = randn(m)
        x = A \ b
        x_exact = Float64.(big.(A) \ big.(b))
        err = norm(x - x_exact, Inf) / norm(x_exact, Inf)
        best, worst = min(best, err), max(worst, err)
    end
    @printf "Best relative error:       %.3e\n" best
    @printf "Worst relative error:      %.3e\n" worst
    @printf "Predicted error κ(A)*ε:    %.3e\n" cond(A, Inf)*eps()
    @printf "Predicted error cond(A)*ε: %.3e\n" norm(abs.(inv(A))*abs.(A), Inf)*eps()
end

julia> main2()
Best relative error:       2.156e-14
Worst relative error:      2.414e-12
Predicted error κ(A)*ε:    8.780e-09
Predicted error cond(A)*ε: 2.482e-12

संपादित करें 2 यहां एक ही घटना का एक और उदाहरण है जहां विभिन्न स्थितियों की संख्या अप्रत्याशित रूप से बहुत भिन्न होती है। इस बार, यहाँ पर 10 × 10 मैट्रिक्स Vandermonde है है, और जब , बेतरतीब ढंग से चुना जाता है की तुलना में छोटा होता है noticably , और सबसे ज्यादा मामले द्वारा दिया जाता है कुछ के लिए ।

$$\mathrm{cond}(A, x) \ll \mathrm{cond}(A) \approx \kappa(A).$$ $A$$1:10$$x$$\mathrm{cond}(A,x)$$\kappa(A)$$x$$x_i = i^a$$a$

function main4(m=10)
    A = matrixdepot("vand", m)
    lu = lufact(A)
    lu_big = lufact(big.(A))
    AA = abs.(inv(A))*abs.(A)
    for k=1:12
        # b = randn(m) # good case
        b = (1:m).^(k-1) # worst case
        x, x_exact = lu \ b, lu_big \ big.(b)
        err = norm(x - x_exact, Inf) / norm(x_exact, Inf)
        predicted = norm(AA*abs.(x), Inf)/norm(x, Inf)*eps()
        @printf "relative error[%2d]    = %.3e (predicted cond(A,x)*ε = %.3e)\n" k err predicted
    end
    @printf "predicted κ(A)*ε      = %.3e\n" cond(A)*eps()
    @printf "predicted cond(A)*ε   = %.3e\n" norm(AA, Inf)*eps()
end

औसत मामला (परिमाण के लगभग 9 आदेश बेहतर त्रुटि):

julia> T.main4()
relative error[1]     = 6.690e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 2.213e-10)
relative error[2]     = 6.202e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 2.081e-10)
relative error[3]     = 2.975e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 1.113e-10)
relative error[4]     = 1.245e-11 (predicted cond(A,x)*ε = 6.126e-11)
relative error[5]     = 4.820e-12 (predicted cond(A,x)*ε = 3.489e-11)
relative error[6]     = 1.537e-12 (predicted cond(A,x)*ε = 1.729e-11)
relative error[7]     = 4.885e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 8.696e-12)
relative error[8]     = 1.565e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 4.446e-12)
predicted κ(A)*ε      = 4.677e-04
predicted cond(A)*ε   = 1.483e-05

सबसे खराब स्थिति ( ):$a=1,\ldots,12$

julia> T.main4()
relative error[ 1]    = 0.000e+00 (predicted cond(A,x)*ε = 6.608e-13)
relative error[ 2]    = 1.265e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 3.382e-12)
relative error[ 3]    = 5.647e-13 (predicted cond(A,x)*ε = 1.887e-11)
relative error[ 4]    = 8.895e-74 (predicted cond(A,x)*ε = 1.127e-10)
relative error[ 5]    = 4.199e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 7.111e-10)
relative error[ 6]    = 7.815e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 4.703e-09)
relative error[ 7]    = 8.358e-09 (predicted cond(A,x)*ε = 3.239e-08)
relative error[ 8]    = 1.174e-07 (predicted cond(A,x)*ε = 2.310e-07)
relative error[ 9]    = 3.083e-06 (predicted cond(A,x)*ε = 1.700e-06)
relative error[10]    = 1.287e-05 (predicted cond(A,x)*ε = 1.286e-05)
relative error[11]    = 3.760e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 1.580e-09)
relative error[12]    = 3.903e-10 (predicted cond(A,x)*ε = 1.406e-09)
predicted κ(A)*ε      = 4.677e-04
predicted cond(A)*ε   = 1.483e-05

संपादित करें 3 एक और उदाहरण फोर्सिथे मैट्रिक्स है, जो कि फॉर्म के किसी भी आकार का जॉर्डन ब्लॉक है यह , , इसलिए , लेकिन , तो । और जैसा कि हाथ से सत्यापित किया जा सकता है, धुरी के साथ साथ साथ रेखीय समीकरणों को हल करना बेहद सटीक है, संभावित रूप से बावजूद । तो यह मैट्रिक्स भी अप्रत्याशित रूप से सटीक समाधान निकलेगा।

$$A = \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \\ \epsilon&0&0&0 \end{pmatrix}.$$ $\|A\|=1$$\|A^{-1}\|=\epsilon^{-1}$$\kappa_\infty(A) = \epsilon^{-1}$$|A^{-1}| = A^{-1} = |A|^{-1}$ए एक्स = ख κ ∞ ( एक $\mathrm{cond}(A) = 1$$Ax=b$$\kappa_\infty(A)$

संपादित करें 4 कहन मैट्रीज़ भी इस तरह से हैं, जिसमें :$\mathrm{cond}(A)\ll \kappa(A)$

A = matrixdepot("kahan", 48)
κ, c = cond(A, Inf), norm(abs.(inv(A))*abs.(A), Inf)
@printf "κ=%.3e c=%.3e ratio=%g\n" κ c (c/κ)

κ=8.504e+08 c=4.099e+06 ratio=0.00482027

Comments

ओपी द्वारा संदर्भित कागज में स्थिति संख्या दो-मानक स्थिति संख्या हैं। यदि आप ElBarbary द्वारा संदर्भ [17] पर वापस जाते हैं, तो आप देखेंगे कि पहले के पेपर में ये दो-मानक स्थिति संख्याएँ थीं। इसके अलावा, मैं DMsuite का उपयोग करके इस पेपर से उदाहरणों को सेटअप करता हूं, और लगभग 2-मानक स्थिति संख्याओं को कागज में बताए अनुसार प्राप्त किया।

— ब्रायन बोरचर्स

इन उदाहरणों के लिए इन्फिनिटी मानक स्थिति मानदंड संख्या जो मुझे dmsuite और Chebyshev प्रक्षेप का उपयोग करके मिला है, दो-मानक स्थिति संख्याओं के परिमाण में समान थे। मुझे नहीं लगता कि अनंत-आदर्श स्थिति संख्याओं में 2-मान का अंतर इस विशेष उदाहरण के लिए महत्वपूर्ण है।

— ब्रायन बोरचर्स

मेरा मानना ​​है कि कागज़ में दर्ज की गई त्रुटियाँ सापेक्ष त्रुटियों के बजाय पूर्ण हैं (यह को छोड़कर बहुत अधिक अंतर नहीं करता है , जहां समाधान 0. के करीब नीचे $\epsilon=0.01$

— गिरता है

के लिए और , समाधान के कुछ हिस्सों कि 0 के पास हैं के लिए रिश्तेदार त्रुटियों विशाल हैं, लेकिन पूर्ण त्रुटियों छोटे हैं। मैं सहमत हूं कि कागज बहुत अस्पष्ट था कि किस शर्त संख्या का उपयोग किया गया था और "त्रुटियों" के बारे में वास्तव में क्या थे (रिश्तेदार या पूर्ण त्रुटियां।)एन = $\epsilon=0.01$$N=1024$

— ब्रायन बोरचर्स

@BrianBorchers मुझे यकीन नहीं है कि आप क्या मतलब है: यह 2-मानदंड और infty- मानक स्थिति संख्याओं के बीच का अंतर नहीं है, बल्कि normwise- और घटक-वार स्थिति संख्या (इनपुट में घटक-वार सापेक्ष गड़बड़ी, घटक नहीं है -उत्पादन में अपने रिश्तेदार के रूप में सापेक्ष त्रुटियों)।

— किरिल