क्या मैट्रिक्स-मूल्यवान निरंतर अंशों के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है?

मान लीजिए कि मेरे पास एक मैट्रिक्स समीकरण है जिसे पुनरावर्ती रूप में परिभाषित किया गया है

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

फिर ए [1] के लिए समीकरण एक निरंतर अंश के समान दिखता है, जिसके लिए कुछ अत्यधिक कुशल तरीके हैं जो थकाऊ पुनर्गणना से बचते हैं (कुछ उदाहरणों के लिए "न्यूमेरिकल व्यंजनों" देखें)।

हालांकि, मुझे आश्चर्य है कि अगर वहाँ अनुरूप विधियां हैं जो गुणांक b [n] और [n] को मैट्रिसेस होने की अनुमति देती हैं, तो एकमात्र बाधा है कि b [n] A [n + 1] एक वर्ग मैट्रिक्स हो ताकि मैट्रिक्स

1 - b[n]A[n+1]

वास्तव में उलटा है।

algorithms

— Lagerbaer
स्रोत

यह वह प्रश्न है जो आपने गणित में पूछा था। कुछ महीने पहले, नहीं? है

A

$A$ चौकोर या आयताकार?

— जेएम

मुझे याद है कि गणित में किसी ने टिप्पणी की थी। मैंने सुझाव दिया कि बीटा ऑनलाइन होने के बाद मैं इसे यहाँ पूछता हूँ :) मेरे विशेष मामले में, A आयताकार है। पुनरावर्ती समीकरण समीकरणों के एक श्रेणीबद्ध समूह के अनुरूप हैं, और मात्राओं की संख्या

साथ बढ़ती है । मेरे मामले में, A [n] का आयाम nx (n-1) है

n

$n$

— Lagerbaer

बस जिज्ञासु, आप इसके लिए क्या उपयोग करना चाहते हैं?

— हज़ुलले

बहुत संक्षेप में, एक विशेष हैमिल्टन के लिए डायसन की पहचान का उपयोग करना ग्रीन के कार्यों को उत्पन्न करता है जिसे मैं एक निश्चित सूचकांक

साथ लेबल कर सकता हूं । एक वेक्टर में एक ही सूचकांक के साथ सभी कार्यों एकत्रित

मुझे लिखने की अनुमति देता

डायसन की पहचान और एक उपयुक्त सन्निकटन का उपयोग कर। एक कट ऑफ का उपयोग करना इतना है कि

सभी के लिए

मुझे मैट्रिक्स को खोजने के लिए अनुमति देता है

ताकि

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

और ये मैट्रिस मेरे निरंतर-अंश शैली समीकरण द्वारा दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, यह तकनीक तंग-बाध्यकारी मॉडल के लिए जाली ग्रीन के कार्यों की गणना कर सकती है।

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— लैगरबैर

यह मेरा क्षेत्र नहीं है, लेकिन मैं एक सेमिनार में कुछ समय पहले था, जहां इस समस्या से संबंधित कुछ प्रस्तुत किया गया था। [यहाँ] [१] एकमात्र ऐसा निशान है जिसे मैं ऑनलाइन पा सकता था। मैं वास्तव में नहीं जानता कि क्या यह मदद करता है। [१]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

जवाबों:

मैट्रिस के कार्य में निम्नलिखित दो विधियां दी गई हैं : थ्योरी और कम्प्यूटेशन निकोलस हिगम द्वारा पृष्ठ 81 पर। ये सूत्र मूल्यांकन करते हैं

जहाँएक वर्ग मैट्रिक्स है।

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

टॉप-डाउन विधि:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

j = 1 के लिए: 2 मी

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

समाप्त

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

नीचे-ऊपर विधि:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

j = 2m − 1: −1: 1 के लिए

का समाधान for । $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

समाप्त

$r_m=b_0I+Y_1$

प्रश्न अधिक सामान्य रूप के मूल्यांकन के लिए पूछता है

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

इसका मूल्यांकन ऊपर दिए गए सूत्रों के एक साधारण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है; उदाहरण के लिए नीचे-ऊपर विधि बन जाती है

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

j = 2m − 1: −1: 1 के लिए

हल के लिए । $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

समाप्त

। $r_m=b_0I+Y_1$

— डेविड केचेसन
स्रोत

यह बहुत दिलचस्प लग रहा है। मैं देखूंगा कि क्या मैं इसे अपनी विशिष्ट समस्या पर लागू कर सकता हूं लेकिन यह मेरे b [n] * A से सवाल का जवाब देता है [A + n + 1] एक वर्ग मैट्रिक्स है

— Lagerbaer

आह, लेकिन मैंने अभी देखा कि मैट्रिक्स

आपके समाधान में हर जगह समान है, लेकिन मेरा जरूरी नहीं है।

X

$X$

— 3

ठीक है, मैंने इसे सामान्यीकृत कर दिया है।

— डेविड केचेसन

मुझे पता है कि यह उत्तर बहुत सारी धारणाएँ बनाता है, लेकिन यह कम से कम आपके एल्गोरिथ्म को सामान्य करता है:

मान लीजिए कि $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

एक बार जब हम अपघटन द्वारा, प्रेरण द्वारा,

{वी}_{n} = (मैं - {बी}_{n} {वी}_{n + 1})^{- 1} ए_{n} = (मैं - यू Δ_{n} {यू}^{'} यू Λ_{n + 1} {यू}^{'})^{- 1} यू Ω_{n} {यू}^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

जिसे फॉर्म में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है

{वी}_{n} = यू (मैं - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} {यू}^{'} \equiv यू Λ_{n} {यू}^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— जैक पॉल्सन
स्रोत