ओरिएंटेड प्वाइंट सेट्स के लिए इंप्लिक्ट सर्फर्स की फिटिंग

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मेरे पास क्वैड्रिक फिट से संबंधित बिंदुओं के एक सेट और संबंधित मानदंडों (या समकक्ष, स्पर्शरेखा) के बारे में एक प्रश्न है। डेटा को इंगित करने के लिए चतुर्भुज सतहों को अच्छी तरह से खोजा गया है। कुछ काम इस प्रकार हैं:

क्वाड्रिक सतहों , जेम्स एंड्रयूज, कार्लो एच। सेक्विन कम्प्यूटर-एडेड डिजाइन और अनुप्रयोग, 10 (ए), 2013, बीबीबी-सीसीसी की प्रत्यक्ष-विवश प्रत्यक्ष फिटिंग
डेटा के लिए चतुष्कोणीय सतहों के बीजगणितीय फिटिंग , आई। अल-सुबाई और जीए वाटसन , डंडी विश्वविद्यालय

प्रक्षेप्य आकृति के लिए फिटिंग भी कुछ कार्यों द्वारा कवर की जाती है, जैसे कि यह एक ।

इन सभी कार्यों से, मुझे लगता है कि क्वाड्रिक फिटिंग के लिए ताबिन की विधि बहुत लोकप्रिय है:

जी। ट्युबिन, "इम्प्लिक्ट इक्वेशन द्वारा परिभाषित प्लैनर कर्व्स, सर्फेस और नॉनप्लेनर स्पेस कर्व्स का आकलन, एप्लीकेशन टू एज एंड रेंज इमेज सेगमेंटेशन ", IEEE Trans। PAMI, वॉल्यूम। 13, 1991, पीपी 1115-1138।

मुझे संक्षेप में संक्षेप में बताएं। एक चतुष्कोणीय $Q$ को बीजगणितीय रूप में लिखा जा सकता है:

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ जहां

c

$\mathbf{c}$ गुणांक वेक्टर है और

x

$\mathbf{x}$ 3D निर्देशांक हैं। किसी भी बिंदु

x

$\mathbf{x}$ द्विघात पर झूठ

Q

$Q$ अगर

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$ , जहां:

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

बीजगणितीय फ़िट सिद्धांत रूप में, हम उन मापदंडों के लिए हल करना चाहेंगे जो अंक और द्विघात सतह के बीच वर्ग ज्यामितीय दूरियों के योग को कम करते हैं। दुर्भाग्य से, यह पता चला है कि यह एक गैर-उत्तल अनुकूलन समस्या है जिसमें कोई ज्ञात विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है। इसके बजाय, एक मानक दृष्टिकोण एक बीजीय फिट के लिए हल करना है, जो कि न्यूनतम $\mathbf{c}$ के मापदंडों के लिए हल करना है:

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ के साथ

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ जहां

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ हैं बिंदु बादल में अंक और

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

सूचना है कि इस तरह प्रत्यक्ष न्यूनतम के साथ तुच्छ समाधान प्राप्त होते हैं $\mathbf{c}$ मूल पर। इस प्रश्न का साहित्य में बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। व्यवहार में अच्छी तरह से काम करने के लिए पाया गया एक संकल्प Taubin की विधि है (ऊपर उद्धृत), बाधा का परिचय:

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

Let:: यह इस प्रकार हल किया जा सकता

N = Σ_{मैं = 1}^{n} {एल}_{एक्स} ({एक्स}^{मैं}) {एल}_{एक्स} ({एक्स}^{मैं})^{टी} + {एल}_{y} ({एक्स}^{मैं}) {एल}_{y} ({एक्स}^{मैं})^{टी} + {एल}_{z} ({एक्स}^{मैं}) {एल}_{z} ({एक्स}^{मैं})^{टी}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$ जहां सब्‍सक्राइबर डेरिवेटिव को दर्शाता है। समाधान, सामान्यीकृत Eigen अपघटन द्वारा दिया जाता है

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$ । सबसे अच्छा फिट पैरामीटर वेक्टर सबसे छोटा Eigenvalue के अनुरूप आइजनवेक्टर के बराबर है।

मुख्य प्रश्न कई अनुप्रयोगों में, बिंदु क्लाउड के मानदंड उपलब्ध हैं (या गणना)। चतुष्कोणीय $\mathbf{N}(x)$ के मानदंडों की गणना और अंतर्निहित सतह को सामान्य करने के द्वारा भी की जा सकती है:

एन (एक्स) = \frac{\nabla च (सी, एक्स)}{‖ \nabla च (सी, एक्स) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$ जहां

\nabla च (सी, एक्स) = 2 [\begin{matrix} ए एक्स + डी y + एफ z + जी \\ बी y + डी एक्स + इ z + एच \\ सी z + इ y + एफ एक्स + मैं \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

हालांकि, ताबिन की विधि केवल बिंदु ज्यामिति का उपयोग करती है, और स्पर्शरेखा स्थान की नहीं। और मुझे कई विधियों के बारे में पता नहीं है, जो कि फिटिंग क्वाड्रिक्स के लिए उपयुक्त हैं, जैसे कि क्वाड्रिक के स्पर्शरेखा अंतर्निहित बिंदु क्लाउड के स्पर्शरेखा से भी मेल खाते हैं। मैं ऊपर दिए गए विधि के संभावित एक्सटेंशन, या किसी अन्य को इन पहले ऑर्डर डेरिवेटिव को कवर करने के लिए देख रहा हूं।

मैं जो हासिल करना चाहता हूं वह शायद कम आयामी स्थानों में आंशिक रूप से संबोधित किया जाता है, जिसमें अधिक आदिम सतह (वक्र) प्रकार होते हैं। उदाहरण के लिए, छवि किनारों के लिए फिटिंग लाइनें, ध्यान में रखते हुए ढाल की जानकारी यहां कवर की गई है । 3 डी बादलों के लिए फिटिंग विमानों (एक साधारण प्रकार का चतुष्कोण) बहुत आम है ( लिंक 1 ) या फिटिंग गोले या सिलेंडर उन्मुख बिंदु सेट ( लिंक 2 ) के लिए फिट हो सकते हैं । तो जो मैं सोच रहा हूं वह कुछ इसी तरह का है, लेकिन फिटेड प्रिमिटिव एक क्वाड्रिक है।

मैं प्रस्तावित विधि के विश्लेषण का भी स्वागत करूंगा जैसे:

उन्मुख अंकों की न्यूनतम संख्या क्या है?
पतित मामले क्या हैं?
क्या मजबूती के बारे में कुछ कहा जा सकता है?

अद्यतन : मैं पालन करने के लिए एक दिशा प्रस्तुत करना चाहूंगा। औपचारिक रूप से, मैं क्या हासिल करना चाहता हूं:

‖ \nabla च - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ पर बिंदु

x

$\mathbf{x}$ । शायद यह एक अतिरिक्त बाधा के साथ आने और लैग्रेग मल्टीप्लायरों के उपयोग को कम करने के लिए ताबिन की विधि के साथ फ्यूज करने के लिए संभव हो सकता है?

— टोलगा बर्डल
स्रोत

Q के बहुत से तत्व Q में गलत तरीके से तैनात नहीं हैं?

— 16

आप सही हैं, और मैंने अब यह तय कर लिया है।

— तोलगा बर्डल

5

मैं ऊपर दिए गए सवाल का संतोषजनक जवाब नहीं मिलने के कारण हैरान था और मेरी जांच से पता चला कि यह वास्तव में एक बेरोज़गार क्षेत्र है। इसलिए, मैंने इस समस्या के समाधान के लिए कुछ प्रयास किए, और निम्नलिखित पांडुलिपियों को प्रकाशित किया:

टी। बर्डल, बी। बसम, एन। नवाब, एस। इलिक और पी। स्टर्म। "प्वाइंट क्लाउड्स में क्वाडट्रिक्स के टाइप-एग्नॉस्टिक डिटेक्शन के लिए एक मिनिमलिस्ट दृष्टिकोण।" कंप्यूटर विजन और पैटर्न मान्यता पर IEEE सम्मेलन की कार्यवाही। 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

टी। बर्डल, बी। बसम, एन। नवाब, एस। इलिक और पी। स्टर्म, "पैटर्न एनालिसिस एंड मशीन इंटेलिजेंस पर IEEE लेनदेन में प्वाइंट क्लाउड्स में जेनेरिक प्रिमिटिव डिटेक्शन, नोवल मिनिमल क्वाड्रिक फिट्स का उपयोग करना"। https://arxiv.org/abs/1901.01255

मैं यहां मुख्य विचार को संक्षेप में बताऊंगा:

यह दृष्टिकोण ग्रेडिएंट-वन फिटिंग ( $\nabla 1$ )। हम द्विघात की ढाल वेक्टर संरेखित $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ बिंदु बादल के सामान्य के साथ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ । हालांकि, के विपरीत $\nabla 1$ -Fits, हम समाधान को नियमित करने के बजाय पद को बढ़ाने के लिए एक रेखीय बाधा उपयोग करने के लिए चुनते हैं। यह प्रतीत होता है गैर तुच्छ के रूप में वेक्टर वेक्टर संरेखण या तो प्रपत्र की एक गैर रेखीय बाधा लाता है:

\begin{aligned} \frac{\nabla क्यू ({एक्स}_{मैं})}{‖ \nabla क्यू ({एक्स}_{मैं}) ‖} - n_{मैं} = 0 या \frac{\nabla क्यू ({एक्स}_{मैं})}{‖ \nabla क्यू ({एक्स}_{मैं}) ‖} \cdot n_{मैं} = 1। \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$ गैर-रैखिकता सामान्यीकरण के कारण होती है क्योंकि यह परिमाण को जानना कठिन है और इस प्रकार पहले से सजातीय पैमाने। हमअज्ञात के बीचएक सामान्य सजातीय पैमाने

α_{i}

$\alpha_i$ को प्रस्तुत करके इस मुद्दे को हलकरते हैं और लिखते हैं:

\begin{aligned} \nabla क्यू ({एक्स}_{मैं}) = \nabla v_{मैं}^{टी} क्ष = α_{मैं} n_{मैं} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$ जहां

को सभी

बिंदुओं केलिए इसे ढेर करना

v = {[\begin{matrix} {एक्स}^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 एक्स y & 2 एक्स z & 2 y z & 2 एक्स & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{टी}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$ और normals

n_{i}

$\mathbf{n}_i$ प्रपत्र की एक प्रणाली की ओर जाता है

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$ :

[\begin{matrix} v_{1}^{टी} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{टी} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{टी} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{टी} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{टी} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{टी} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} ए \\ बी \\ ⋮ \\ मैं \\ जे \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$

जहां

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$ ,

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

अज्ञात सजातीय तराजू हैं। एक है

3 \times 1

$3\times 1$ शून्य के स्तंभ वेक्टर,

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$ है

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$ और

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

$\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} {एक्स}_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 {एक्स}_{1} y_{1} & 2 {एक्स}_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 {एक्स}_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ {एक्स}_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 {एक्स}_{2} y_{2} & 2 {एक्स}_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 {एक्स}_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 {एक्स}_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 {एक्स}_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 {एक्स}_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 {एक्स}_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 {एक्स}_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 {एक्स}_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} ए \\ बी \\ सी \\ डी \\ इ \\ एफ \\ जी \\ एच \\ मैं \\ जे \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ n_{एक्स}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{एक्स}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ ... \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

सभी, समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के साथ-साथ अपने ग्रेडिएंट्स को मानदंडों के साथ संरेखित करते हुए क्वैड्रिक को बिंदु क्लाउड पर घटना के लिए निर्देशित करेंगे। अलग-अलग बिंदुओं और मानदंडों के योगदान को तौलना भी संभव है। कुछ मामलों में, एक विशिष्ट प्रकार के फिट को प्राप्त करने के लिए, का मामूली नया स्वरूप $\mathbf{A}$ को वांछित आदिम प्रत्ययों के अनुरूप । इन सभी विवरणों के साथ-साथ कुछ सैद्धांतिक विश्लेषण और छद्म कोड के लिए, मैं आपको उपरोक्त प्रकाशनों के लिए संदर्भित करता हूं।

— टोलगा बर्डल
स्रोत

यह भी खूब रही! अंकों और मानदंडों के सापेक्ष योगदान को अलग-अलग करने के लिए कोई A को कैसे संशोधित करेगा?

— म्यूजिशफुल २

बस वांछित वजन के साथ बिंदु-समीकरण वाली पहली पंक्तियों को गुणा करें। वैकल्पिक रूप से, मानदंडों के अनुरूप पंक्तियों को स्केल करने के लिए, किसी को समीकरण के दाहिने हाथ को स्केल करने की भी आवश्यकता होगी:

n

$\mathbf{n}$

धन्यवाद। क्या अंतिम समीकरण में q और n से पारगमन प्रतीक को नहीं हटाया जाना चाहिए?

— २०

एक बार फिर धन्यवाद। उन्हें हटा दिया।

— टॉल्गा बर्डल

1

मुझे एक उदाहरण के बारे में पता है जहां मानदंडों को फिटिंग प्रक्रिया में शामिल किया गया है। हालांकि यह एक सीधा चौकोर फिटिंग नहीं है। स्थानीय स्तर पर पैराट्राइज्ड पैच को बिंदुओं और मानदंडों पर फिट किया जाता है। मानदंडों का उपयोग करना फिटिंग की समस्या में अधिक समीकरण देता है, जिससे उच्च क्रम के बहुपद का उपयोग किया जा सकता है।

एक उपन्यास क्यूब-ऑर्डर एल्गोरिथ्म मुख्य दिशा वैक्टर को सन्निकट करने के लिए

— अभिलाष रेड्डी एम
स्रोत

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इस पेपर को भी देखें

रेडियल बेसिस फ़ंक्शंस के साथ इम्प्लिक्ट सर्फर्स का हर्माइट इंटरपोलेशन

और ist एक्सटेंशन

हर्माइट रेडियल बेसिस फ़ंक्शंस इम्प्लिसिट्स

— LHF
स्रोत