डिसकंटिनेंट गैलेर्किन योजनाओं में सीएफएल स्थिति

Question

मैंने प्रकार के संरक्षण कानूनों के रैखिक प्रणालियों के समाधान के लिए एक ADER-Discontinuous Galerkin योजना लागू की है $\partial_t U + A \partial_x U + B \partial_y U=0$और देखा कि सीएफएल स्थिति बहुत ही प्रतिबंधक है। ग्रंथ सूची में, समय कदम के लिए एक ऊपरी बाध्य$\Delta t \leq \frac{h}{d(2N+1)\lambda_{max}}$ पाया जा सकता है, जहां $h$ कोशिका का आकार है, $d$ आयामों की संख्या और है $N$ बहुपद की अधिकतम डिग्री है।

क्या इस मुद्दे को दरकिनार करने का कोई तरीका है? मैं WENO-ADER परिमित मात्रा योजनाओं के साथ काम कर रहा था और सीएफएल प्रतिबंध बहुत अधिक आराम से थे। उदाहरण के लिए, 5-वें ऑर्डर स्कीम के लिए, DG का उपयोग करते समय 0.04 से कम CFL लगाया जाना चाहिए, जबकि CFL = 0.4 को अभी भी WENO-ADER FV स्कीम में इस्तेमाल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, डीईआर योजनाओं के बजाय डीजी योजनाओं का उपयोग करना, उदाहरण के लिए, कम्प्यूटेशनल एयरोएस्टिक्स (लीनियराइज्ड यूलर इक्वेशन) या इसी तरह के अनुप्रयोगों (गैस डायनामिक्स, उथले पानी, मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स) में क्यों? क्या योजना की समग्र कम्प्यूटेशनल लागत ADER-FV की तुलना में बहुत कम समय के बावजूद है?

इसके लिए विचार और सुझाव स्वागत योग्य हैं।

Answer 1

डीजी योजनाओं का प्रतिबंधात्मक सीएफएल आमतौर पर उच्च क्रम सटीकता और एक कॉम्पैक्ट स्टैंसिल के संयोजन से आता है ( उदाहरण के लिए इस संदर्भ को देखें)। सीएफएल के रूप में परिवर्तनशील रूप को बाध्य करने पर निर्भर करता है$L^2$समाधान का आदर्श, जो व्युत्पन्न और बहुपद के निशान पर निर्भर करता है। इनमें से प्रत्येक मात्रा के लिए सीमाएं (बर्नस्टीन या मार्कोव भाई असमानताओं का उपयोग करते हैं और असमानताओं का पता लगाते हैं) स्थिरांक देते हैं जो विपरीत रूप से निर्भर करते हैं$h$ और आदेश पर चतुर्भुज $N$के एक समग्र सीएफएल में जिसके परिणामस्वरूप $O(h/N^2)$।

FYI करें - मैंने सीएफएल देखा है जिसका आप पहले उल्लेख कर चुके हैं, लेकिन मुझे याद नहीं है कि यह कहाँ साबित हुआ है। मैं जानना चाहता हूं कि वे द्विघात निर्भरता से कैसे बचें$N$ उनकी सीमा में।

परिमित अंतर और WENO योजनाएं (साथ ही समय-समय पर मेषों पर बी-स्प्लिन आधारित परिमित तत्व विधियाँ) में शिथिल सीएफएल स्थितियां होती हैं क्योंकि अनुरूप सीमा में स्थिरांक धीरे-धीरे बढ़ते हैं $N$। यह बदले में है क्योंकि स्टेंसिल का आकार क्रम के साथ बढ़ता जाता है$N$, जो इनमें से कुछ मुद्दों को कम करता है।

डीजी तरीके अधिक महंगे हैं, लेकिन वे आसानी से असंरचित जाल से निपट सकते हैं और इसे कुशलता से लागू किया जा सकता है। असंरचित ग्रिड के लिए WENO (या समान पुनर्निर्माण) के उच्च आदेश संस्करण हैं, हालांकि ये अतिरिक्त गणितीय या कार्यान्वयन संबंधी जटिलताओं को पेश कर सकते हैं।

Comments

आपके विस्तृत जवाब जेसी के लिए बहुत बहुत धन्यवाद, इसने मुझे इस मुद्दे पर एक व्यापक दृष्टिकोण प्रदान किया है। DG-ADER के साथ मेरे संख्यात्मक परीक्षणों में, मैंने देखा है कि जब संरचित चतुर्भुज मेषों (मनमाने ढंग से चतुर्भुज आकार के साथ, उदाहरण के लिए वर्गों, ट्रेपेज़ोइड्स या समानांतर चतुर्भुज ...) का उपयोग किया जाता है, तो संख्यात्मक समाधान गैर-दोलन और सटीक समाधान के अभिसरण होते हैं। , हालांकि, जब असंरक्षित मेषों की ओर बढ़ रहे हैं, तो अर्ध-संरचनाएं दिखाई देती हैं, यहां तक ​​कि अर्ध-संरचित मेषों के लिए, एक संरचित जाल के नोड्स को छोटी दूरी पर बेतरतीब ढंग से विस्थापित करके बनाया जाता है। क्या यह एक अपेक्षित व्यवहार है?

— अद्र

@ एड्रियन - एक बार जब आप वर्दी की जाली से दूर जाते हैं, तो दोलन के लिए यह काफी सामान्य है। एक बार जब आप सामान्य मेष का उपयोग करते हैं, तो यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं होता है कि मेष आकार का वास्तव में क्या मतलब है$h$। यह सेल व्यास, सबसे छोटे किनारे की लंबाई, क्षेत्र के वर्गमूल (2d में), या "मेष आकार" को परिभाषित करने का कोई अन्य तरीका हो सकता है।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

स्पष्टीकरण वोल्फगैंग के लिए धन्यवाद। अब तक, मैं सेटिंग कर रहा था$h$सबसे कम किनारे की लंबाई के रूप में। लेकिन फिर भी, सूत्र द्वारा दिए गए CFL से परिमाण या उससे अधिक के CFL नंबर एक क्रम को कम करने के बावजूद, यह अभी भी आधिभौतिक है।

— आडर