संख्यात्मक रूप से समीकरणों की एक कठिन प्रणाली को हल करना

Question

मेरे पास गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली है जिसे मैं संख्यात्मक रूप से हल करना चाहता हूं:$n$

f = ( f 1 , … , f n

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{a}$$ $$\mathbf{f}=(f_1,\dots,f_n)\quad\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$$

इस प्रणाली में कई विशेषताएं हैं जो इसे संभालना विशेष रूप से कठिन बनाती हैं। मैं इस बात पर विचार कर रहा हूं कि सिस्टम से अधिक प्रभावी तरीके से कैसे निपटा जाए।

प्रणाली क्यों मुश्किल है?

• कार्य इस के समान हैं (लेकिन कई आयामों में निश्चित रूप से):

  

  उनके पास सपाट पठार होते हैं जो सुचारु परिवर्तन के क्षेत्र से अलग होते हैं। 2 डी में, आप एक के लिए कुछ इस तरह कल्पना कर सकते हैं :$f_i$

  

  आम तौर पर, प्रत्येक दो पठारों एक n - 1 आयामी हाइपरप्लेन के आसपास चिकनी परिवर्तन से अलग है ।$f_i$$n-1$

  $f_i$$n=1$

• गणना करने के लिए कार्य बहुत धीमा हैं। मैं एक ऐसी विधि की तलाश कर रहा हूं, जो संभव के रूप में कुछ पुनरावृत्तियों में जड़ का एक उचित अनुमान प्राप्त कर सके।

• कार्यों की गणना एक मोंटे कार्लो विधि के साथ की जाती है। इसका मतलब है कि हर बार जब उनकी गणना की जाती है, तो मुझे थोड़ा अलग यादृच्छिक मूल्य मिलता है। अनुमान लगाने में मुश्किल हैं। एक बार जब हम जड़ के करीब हो जाते हैं, तो शोर हावी होने लगेगा, और सटीकता बढ़ाने के लिए औसत का उपयोग करना आवश्यक है। आदर्श रूप से विधि को एक समतुल्य स्टोचस्टिक सन्निकटन संस्करण (जैसे, न्यूटन → रॉबिन्स-मोनरो) के लिए सामान्यीकृत करना संभव होना चाहिए ।

• $n$$n=2$$f_1(x_1,x_2) = 0$$f_2(x_1,x_2)=0$

मुझे सिस्टम के बारे में और क्या पता है?

• ठीक एक जड़ है (सैद्धांतिक परिणामों से)।

• $f_i$$i$

• $f_i$$x_i$$f_i(\dots, x_i, \dots)$$x_i$$-\infty$$\infty$$x_{j\ne i}$

Comments

क्या आप सभी चर पर निचले और ऊपरी सीमा को जानते हैं, जिसके भीतर समाधान झूठ होना चाहिए? तंग उन, बेहतर है। क्या आप एक निर्धारित उदाहरण दे सकते हैं, जितना चाहें उतना उच्च आयाम, जो आपके पठारों और कठिनाइयों को दिखाता है, लेकिन मोंटे कार्लो सिमुलेशन की आवश्यकता नहीं है और कार्यों में यादृच्छिक त्रुटियां नहीं हैं (बोनस अंक यदि डेरिवेटिव की गणना की जा सकती हैं)? इस तरह के निर्धारक उदाहरण का उद्देश्य समस्या की कठिनाइयों को समझना है, न कि यह कहना कि मोंटे कार्लो मूल्यांकन का उपयोग आपकी वास्तविक समस्या के अंतिम समाधान में नहीं किया जाएगा।

— मार्क एल। स्टोन

$f$

मैं इसे देखने के लिए उत्सुक हूं,

— मार्क एल। स्टोन

Answer 1

चूंकि एक ही जड़ है और कोई अड़चन नहीं है, इसलिए हो सकता है कि आप इसे एक अनुकूलन समस्या के रूप में प्रस्तुत करें: अपने मूल कार्य के वर्गों के योग (प्रत्येक आयाम के साथ) को कम से कम करें।

शास्त्रीय अनुकूलन के तरीकों की संभावना विफल हो जाएगी, लेकिन आनुवांशिक एल्गोरिदम या सीएमई-ईएस (सहसंयोजक आदि मैट्रिक्स अनुकूलन - विकासवादी रणनीति) जैसे विधर्मी तरीके काम कर सकते हैं।

Comments

यह वास्तव में जाने का दृष्टिकोण है। मैं विशेष रूप से SPSA एल्गोरिदम को देखूंगा जो विशेष रूप से आपके उद्देश्य के लिए विकसित किया गया था और काफी मजबूत है।

— वुल्फगैंग बैंगर्थ

ओपी का उल्लेख है कि फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए फ़ंक्शन बहुत महंगा है (एक फ़ंक्शन मूल्यांकन के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन को लागू करना)। क्या यह आनुवंशिक एल्गोरिदम और अन्य विकासवादी एल्गोरिदम के लिए एक बहुत बड़ी समस्या नहीं है? वे "तुच्छ समानांतर" हैं (और एमसी आमतौर पर भी है) इसलिए बड़े पैमाने पर समानांतर कंप्यूटिंग संभव हो सकता है लेकिन क्या वे यहां जाने का सबसे अच्छा तरीका हैं?

— GertVdE

@WolfgangBangerth धन्यवाद, जैसा कि आप कहते हैं कि यह सही समाधान की तरह लगता है। मैं एसपीएसएसए को देखूंगा।

— शेजाबोल्स

महंगे फ़ंक्शन मूल्यांकन के बारे में: यह सच है कि आनुवंशिक एल्गोरिदम और संबंधित हेयुरिस्टिक तरीकों में पारंपरिक तरीकों के लिए बड़ी संख्या में फ़ंक्शन मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। लाभ यह है कि विधर्मी तरीके अक्सर उन समस्याओं को हल कर सकते हैं जो 1) अन्यथा एक समस्या-विशिष्ट विधि की आवश्यकता होगी या 2) संख्यात्मक समस्याओं के कारण विफल हो जाएंगे। इस उदाहरण के लिए, यह संभावना है कि पारंपरिक तरीकों में उद्देश्य आयामों के स्टोकेस्टिक प्रकृति और कुछ आयामों के साथ छोटे ग्रेडिएंट्स के कारण परेशानी होगी। SPSA इस समस्या के लिए एक महान उम्मीदवार पद्धति की तरह दिखता है।

— मैटकेली