एक बड़े मैट्रिक्स का अनुमानित स्पेक्ट्रम

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मैं एक बड़े विरल मैट्रिक्स (सैकड़ों हजारों पंक्तियों) के स्पेक्ट्रम ( सभी eigenvalues) की गणना करना चाहता हूं । यह कठिन है।

मैं एक अनुमान के लिए समझौता करने को तैयार हूं। क्या ऐसा करने के लिए अनुमानित तरीके हैं?

जबकि मैं इस प्रश्न के सामान्य उत्तर की आशा करता हूं कि मैं निम्नलिखित विशिष्ट मामले में एक उत्तर से भी संतुष्ट हो जाऊंगा। मेरा मैट्रिक्स एक बड़े ग्राफ़ का एक सामान्यीकृत लैपलैसियन है। Eigenvalues 0 और 2 के बीच होंगे, जिनमें से बड़ी संख्या में 1 के आसपास क्लस्टर होगा।

— MRocklin
स्रोत

मैट्रिक्स विरल या सघन है?

— एरन अहमदिया

मैट्रिक्स विरल है। मैंने इसे प्रतिबिंबित करने के लिए प्रश्न संपादित किया है।

— MRocklin

आप सभी स्वदेशी क्यों चाहते हैं? जब आप विरल या संरचित मैट्रिक्स होते हैं, तो यह लगभग सार्वभौमिक रूप से एक बुरी बात है, इस प्रकार यह जानना महत्वपूर्ण है कि आप इसका उपयोग करने की योजना कैसे बनाते हैं।

— जेड ब्राउन

एक ग्राफ लैपलियन का स्पेक्ट्रम कुछ महत्वपूर्ण जानकारी देता है जिसका मैं निरीक्षण करना चाहता हूं। मुझे उन सभी की ज़रूरत नहीं है, मुझे बस मोटे तौर पर यह जानने की ज़रूरत है कि वे कहाँ हैं।

— MRocklin

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यदि आपका ग्राफ अप्रत्यक्ष है (जैसा कि मुझे संदेह है), मैट्रिक्स सममित है, और आप लैंक्ज़ोस एल्गोरिथम (स्थिरता के लिए आवश्यक हो तो चयनात्मक reorthogonalization के साथ) से बेहतर कुछ नहीं कर सकते। चूंकि पूर्ण स्पेक्ट्रम में 100000 नंबर होते हैं, इसलिए मुझे लगता है कि आप मुख्य रूप से वर्णक्रमीय घनत्व में रुचि रखते हैं।

एक अनुमानित वर्णक्रमीय घनत्व प्राप्त करने के लिए, 100 या तो आयाम के अग्रणी क्रायलोव उप-क्षेत्र के स्पेक्ट्रम को लें, और इसके असतत घनत्व को एक चिकने संस्करण द्वारा प्रतिस्थापित करें।

अग्रणी क्रायलोव स्पेक्ट्रम में लगभग अलग-थलग-अलग-थलग eigenvalues (ये मौजूद होना चाहिए) का समाधान होगा, नीनोलेट्स स्पेक्ट्रम के अंत में eigenvalues का अनुमान लगाता है, और वितरण के साथ कुछ हद तक यादृच्छिक होता है, जिसका संचयी वितरण वास्तविक स्पेक्ट्रम जैसा दिखता है। । यदि आयाम बढ़ता है तो यह इसे सटीक अंकगणित में परिवर्तित कर देगा। (यदि आपका ऑपरेटर अनंत-आयामी था, तब भी यह मामला होगा, और आपको निरंतर स्पेक्ट्रम पर सच्चे वर्णक्रमीय घनत्व फ़ंक्शन का अभिन्न अंग मिलेगा।)

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
स्रोत

अग्रणी क्रायलोव उप-क्षेत्र का स्पेक्ट्रम सिर्फ 100 सबसे बड़े प्रतिजन नहीं होगा? मुझे मध्यम और सबसे छोटे eigenvalues के वितरण में भी दिलचस्पी है।

— MRocklin

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@ मॉकलिन: नहीं। मैंने अधिक विवरण देने के लिए अपना जवाब बढ़ाया।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

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अर्नोल्ड न्यूमैयर के उत्तर की चर्चा लिन लिन, यूसेफ साद और चाओ यांग (2016) द्वारा "बड़े मैट्रिसेस के लगभग स्पेक्ट्रम घनत्व के पेपर " की धारा 3.2 में अधिक विस्तार से की गई है ।

कुछ अन्य तरीकों पर भी चर्चा की जाती है लेकिन कागज के अंत में संख्यात्मक विश्लेषण से पता चलता है कि लैंकोज़ विधि इन विकल्पों को बेहतर बनाती है।

— ए वान वेर्डे
स्रोत

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यदि आप उन चीजों के बारे में सोचने के साथ ठीक हैं, जो eigenvalues नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शंस हैं जो कुछ अर्थों में अभी भी आपको स्पेक्ट्रम के बारे में कुछ बताती हैं, तो मुझे लगता है कि आपको राइस यूनिवर्सिटी में मार्क एम्ब्री द्वारा कुछ काम की जांच करनी चाहिए।

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

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यहाँ वर्णक्रम को चिह्नित करने का एक और तरीका है।

$\mathbf{A} v_k = \lambda_k v_k$ $\mathbf{A}$

S (ω) = \sum_{k} \frac{π^{- 1} σ}{σ^{2} + (λ_{k} - ω)^{2}} = \frac{σ}{π} T r [σ^{2} + (ω - A)^{2}]^{- 1}

$S(\omega) = \sum_k \frac{\pi^{-1}\sigma}{\sigma^2 + (\lambda_k - \omega)^2} = \frac{\sigma}{\pi} \mathop{\mathrm{Tr}} [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1}$

S (ω) = \frac{σ}{π} ⟨ z^{T} [σ^{2} + (ω - A)^{2}]^{- 1} z ⟩

$S(\omega) = \frac{\sigma}{\pi}\langle z^T [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z \rangle$

z

$z$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

σ

$\sigma$

ω

$\omega$

[σ^{2} + (ω - A)^{2}]^{- 1} z

$[\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z$

[ω + i σ - A]^{- 1} [ω - i σ - A]^{- 1}

$[\omega + i \sigma - \mathbf{A}]^{-1} [\omega - i \sigma - \mathbf{A}]^{-1}$

S (ω)

$S(\omega)$

$\omega$

— पीवी।
स्रोत

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संजीव कुमार, मेहरियार मोहरी और अमीत तलवलकर (ICML 2009.) द्वारा "ऑन-सैम्पलिंग-आधारित अनुमानित वर्णक्रमीकरण पर" पेपर देखें। यह आपके मैट्रिक्स के स्तंभों के नमूने का उपयोग करता है।

चूंकि आपका मैट्रिक्स सममित है, आपको निम्न कार्य करना चाहिए:

A को अपने n * n मैट्रिक्स होने दें। आप एक k * k मैट्रिक्स के eigenvalues की गणना के लिए n * n मैट्रिक्स के eigenvalues की गणना को कम करना चाहते हैं। पहले अपने मूल्य का k चुनें। मान लें कि आप k = 500 चुनते हैं, क्योंकि आप आसानी से 500 * 500 मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज की गणना कर सकते हैं। फिर, अनियमित रूप से मैट्रिक्स A के k कॉलम को चुनें। मैट्रिक्स B को समाहित करें जो केवल इन कॉलमों को रखता है, और संबंधित पंक्तियों को।

K अनुक्रमित x के यादृच्छिक सेट के लिए B = A (x, x)

B अब ak * k मैट्रिक्स है। B के eigenvalues की गणना करें, और उन्हें (n / k) से गुणा करें। अब आपके पास k मान हैं जो लगभग ए। नोट के n eigenvalues की तरह वितरित किए जाते हैं जो आपको केवल k मान मिलते हैं, n नहीं, लेकिन उनका वितरण सही होगा (इस तथ्य तक कि वे एक अनुमान हैं)।

— जेरोम कुनेगिस
स्रोत

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आप हमेशा गेज़रगॉरिन सर्कल प्रमेय सीमा का उपयोग करके आइगेनवेल्स का अनुमान लगा सकते हैं।

यदि ऑफ-विकर्ण शब्द छोटे हैं, तो विकर्ण स्वयं स्पेक्ट्रम का एक अच्छा सन्निकटन है। अन्यथा यदि आप ईजेन्सस्पेस (अन्य तरीकों से) के एक अनुमान के साथ समाप्त होते हैं, तो आप इस प्रणाली में विकर्ण प्रविष्टियों को व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं। इससे छोटे ऑफ-डायगोनल शब्दों के साथ एक मैट्रिक्स होगा और नया विकर्ण स्पेक्ट्रम का एक बेहतर सन्निकटन होगा।

— FKaria
स्रोत

Gerschgoring कोई अप्रतिरोध नहीं देता है लेकिन त्रुटि सीमा होती है, इसलिए यहां अप्रासंगिक है। इसके अलावा, एक विरल मैट्रिक्स पर अपने तरीके का उपयोग करने के लिए घने आइगेनवेक्टर मैट्रिक्स की आवश्यकता होगी, जो ओपीएस समस्या के लिए स्टोर करना असंभव है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

जैसा कि मैंने कहा, विकर्ण ही स्पेक्ट्रम का एक अनुमान है, जो गेर्शगोरिन सर्कल प्रमेय द्वारा दिए गए त्रुटि सीमा के साथ है, निश्चित रूप से गेर्शगोरिन त्रुटि सीमा नहीं हैं। विकर्ण एक अच्छा सन्निकटन होगा यदि ऑफ-विकर्ण शब्द छोटे हैं, जो मुझे विश्वास है कि ओपी ने कहा है कि मैट्रिक्स विरल है।

— फकरिया

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व्यवहार में उत्पन्न होने वाले अधिकांश विरल मैट्रिसेस में प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में कुछ महत्वपूर्ण ऑफ-विकर्ण तत्व होते हैं, जो विकर्ण को बहुत खराब सन्निकटन बनाता है (उदाहरण के लिए, एक नियमित ग्राफ़ के एक लैपलासियन के लिए विकर्ण स्थिर है), और त्रुटि बेकार हो जाती है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर