अवशेषों की संख्यात्मक गणना कैसे करें?

Question

मुझे निम्नलिखित अभिन्न गणना करने की आवश्यकता है: एफ ( ई ) = टी

$${1\over 2\pi i} \int_C f(E) \, d E$$ जहांhएक मैट्रिक्स है (आधार में व्यक्त एक कण गतिज और संभावित ऊर्जा),Gएक मैट्रिक्स है जोE(एक कण कई-शरीर ग्रीन के कार्य)पर निर्भर करता हैऔर समोच्च अभिन्न एक बाएं अर्धवृत्त है। अभिन्नएफ(ई $$f(E) = {\rm Tr}\,\left(({\bf h} + E)\,{\bf G}(E) \right)$$ $\bf h$$\bf G$$E$$f(E)$ में नकारात्मक वास्तविक अक्ष पर डंडे हैं और मूल्यांकन करना महंगा है। इस तरह के अभिन्न गणना करने के लिए सबसे प्रभावी तरीका क्या है?

यहाँ मेरा अब तक का शोध है:

1) मैं गाऊसी एकीकरण का उपयोग करता हूं, मेरा एकीकरण पथ एक आयत है। मैंने बाईं और दाईं ओर (यानी चौड़ाई) तय की और ऊंचाई (वास्तविक अक्ष के ऊपर और नीचे) के साथ खेला जैसे कि दिए गए एकीकरण आदेश के लिए मुझे उच्चतम सटीकता प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए आदेश 20 के लिए, यदि ऊंचाई बहुत बड़ी है, तो सटीकता कम हो जाती है (जाहिर है), लेकिन अगर यह बहुत छोटा है, तो यह भी नीचे चला जाता है (मेरा सिद्धांत यह है कि ऊंचाई के रूप में ध्रुवों के चारों ओर अधिक से अधिक बिंदुओं की आवश्यकता होती है 0)। मैं अपने कार्य के लिए इष्टतम ऊंचाई 0.5 के साथ बस गया।

2) फिर मैंने आयत के दाईं ओर E0, आमतौर पर E0 = 0 पर सेट किया, लेकिन यह E0 = -0.2 या कुछ इसी तरह का हो सकता है।

3) मैं आयत के बाईं ओर बाईं ओर बढ़ना शुरू करता हूं और प्रत्येक चरण के लिए मैं यह सुनिश्चित करने के लिए एकीकरण आदेश अभिसरण करता हूं कि मेरा अभिन्न अंग प्रत्येक आयत के लिए पूरी तरह से अभिसरण है। चौड़ाई बढ़ाने से, मुझे अंततः अनंत बाएं अर्धवृत्त की सीमा में एक अभिसरण मूल्य प्राप्त होता है।

गणना वास्तव में धीमी है और बड़ी चौड़ाई के लिए भी बहुत सटीक नहीं है। एक सुधार केवल "तत्वों" में लंबी चौड़ाई को विभाजित करना है और प्रत्येक तत्व पर गौसियन एकीकरण का उपयोग करना है (ठीक FE की तरह)।

एक अन्य विकल्प यह होगा कि प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर एक छोटे वृत्त को एकीकृत किया जाए और उसे योग किया जाए। समस्या:

a) फ़ंक्शन का ध्रुव संख्यात्मक रूप से कैसे ज्ञात करें ? यह मजबूत होना चाहिए। केवल एक चीज मुझे पता है कि वे नकारात्मक वास्तविक अक्ष पर हैं। उनमें से कुछ के लिए (लेकिन सभी नहीं) मैं भी एक बहुत अच्छा प्रारंभिक अनुमान जानता हूं। क्या कोई ऐसी विधि मौजूद है जो किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य f ( E ) के लिए काम करती है ? या यह f ( E ) के वास्तविक रूप पर निर्भर करता है$f(E)$$f(E)$$f(E)$ ?

ख) एक बार जब हम ध्रुवों को जान लेते हैं, तो इसके चारों ओर छोटे वृत्त को एकीकृत करने के लिए कौन सी संख्यात्मक योजना सबसे अच्छी है? क्या मुझे एक सर्कल पर गाऊसी एकीकरण का उपयोग करना चाहिए? या मुझे अंकों के कुछ समान वितरण का उपयोग करना चाहिए?

एक अन्य विकल्प यह हो सकता है कि एक बार जब मैं पोल ​​को धन्यवाद जानता हूं), जटिल एकीकरण की आवश्यकता के बिना अवशेषों को प्राप्त करने के लिए कुछ अर्ध-विश्लेषणात्मक तरीका हो सकता है। लेकिन अभी के लिए मैं समोच्च एकीकरण का अनुकूलन करने के लिए खुश हूँ।

Comments

क्या आपने कोहेन (2007) की पुस्तक "न्यूमेरिकल मेथड्स फॉर लाप्लास ट्रांसफॉर्म इन्वर्शन" की जाँच की है? IIRC, रॉबर्ट पिएसेन्स (क्वैडपीक प्रसिद्धि के) ने भी इस विषय पर काम किया।

— गर्टवेडेई

Answer 1

$p(x)$$q(x)$

$$f(x) \approx \frac{p(x)}{q(x)}$$

$x$$f(x)$ $q(x)$

तर्कसंगत प्रक्षेप / सन्निकटन एक मुश्किल बात हो सकती है, लेकिन मैंने हाल ही में एसवीडी का उपयोग करके उन्हें गणना करने के लिए एक स्थिर एल्गोरिथ्म पर एक पेपर सह-लेखक किया है । पेपर में एल्गोरिथ्म को लागू करने वाला मैटलैब कोड है, और इसके अलावा एक अधिक व्यापक संस्करण चेबफुन परियोजनाratinterp में कार्य के रूप में उपलब्ध है , जिनमें से मैं डेवलपर्स में से एक हूं।

आपके दूसरे प्रश्न के लिए, यह पेपर उपयोगी हो सकता है।

Comments

सभी सुझावों के लिए धन्यवाद! यहां बेंग्ट फोरनबर्ग पेपर का कोड netlib.org/toms/579 है। दुर्भाग्य से, कुछ संख्यात्मक बग है, क्योंकि यह आउटपुट है जो मुझे मिल रहा है: gist.github.com/2942970#file_output । इसलिए मुझे इसे पुनः लागू करना होगा या डीबग करना होगा। Chebfun लिंक मुझे 404 देता है (मैंने इसे कुछ महीने पहले इसी परिणाम के साथ आजमाया था, इसलिए शायद यह केवल यूएसए से काम न करे)।

— ओन्डेज़ एजर्ट

@ Ond neverejČertík: मैंने खुद कभी TOMS 579 कोड का उपयोग नहीं किया है, इसलिए मुझे नहीं पता कि आपको त्रुटियों के बारे में क्या बताना है। Chebfun होमपेज के लिए, क्या आप इसे "googling" की कोशिश कर सकते हैं और यह देखते हुए कि यह काम करता है?

— पेड्रो

Google Chebfun मुखपृष्ठ पाता है और कैश्ड संस्करण दिखाता है। लेकिन जब मैं पृष्ठ पर क्लिक करता हूं, तो मुझे यही मिलता है: pastehtml.com/view/c1ts4h3ct.html

— OndČej řertík

एक अलग ब्राउज़र की कोशिश करो? या एक अलग आईएसपी से। वेबसाइट यहां से (यूएसए में) ठीक काम करती है

— कॉस्टिस

मैंने फ़ायरफ़ॉक्स और क्रोम की कोशिश की। तो यह मेरे आईएसपी द्वारा किया जाना चाहिए। अजीब।

— ओदनीज íertík