क्या एक विषम ढलान को खोजने के लिए एक संख्यात्मक एल्गोरिदम है?

Question

$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$, आदि लेकिन मुझे नहीं पता कि लिए कार्यात्मक रूप क्या है, अगर इसमें एक भी है जिसे प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है।$f(x)$

मेरा लक्ष्य एसिम्प्टोटिक ढलान का सर्वोत्तम संभव अनुमान प्राप्त करना । स्पष्ट कच्चे विधि पिछले कुछ डेटा बिंदुओं बाहर ले सकते हैं और एक रेखीय प्रतिगमन करना है, लेकिन निश्चित रूप से यह गलत है, तो हो जाएगा की सीमा के भीतर नहीं बन जाता है "फ्लैट पर्याप्त" जिसके लिए मैं डेटा है। स्पष्ट कम-क्रूड विधि यह मान लेना है कि (या कुछ अन्य विशेष कार्यात्मक रूप) और सभी डेटा का उपयोग करने के लिए फिट है, लेकिन मैंने जिन सरल कार्यों की कोशिश की है, जैसे या निचले जहां के डेटा से काफी मेल नहीं खाता$a$$f(x)$$x$$f(x) \approx \exp(-x)$$\exp(-x)$$\dfrac1{x}$$x$$f(x)$बड़ा है। क्या अस्मितावादी ढलान का निर्धारण करने के लिए एक ज्ञात एल्गोरिथ्म है जो बेहतर करेगा, या जो एक आत्मविश्वास अंतराल के साथ ढलान के लिए एक मूल्य प्रदान कर सकता है, यह वास्तव में ज्ञान की कमी को देखते हुए कि डेटा स्पर्शोन्मुख कैसे होता है?

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इस तरह का कार्य विभिन्न डेटा सेटों के साथ मेरे काम में अक्सर आता है, इसलिए मैं ज्यादातर सामान्य समाधानों में रुचि रखता हूं, लेकिन अनुरोध करके मैं उस विशेष डेटा सेट से लिंक कर रहा हूं जिसने इस प्रश्न को प्रेरित किया। जैसा कि टिप्पणियों में वर्णित है, Wynn एल्गोरिथ्म एक मूल्य देता है, जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, कुछ हद तक बंद है। यहाँ एक साजिश है:$\epsilon$

(ऐसा लगता है कि उच्च x मानों में थोड़ा नीचे की ओर वक्र है, लेकिन इस डेटा के लिए सैद्धांतिक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि यह asymptotically रैखिक होना चाहिए।)

Comments

इस साइट के लिए यह बहुत प्राथमिक हो सकता है - या बहुत अस्पष्ट -, लेकिन मुझे लगा कि निजी बीटा ऐसी चीजों को आज़माने का समय है।

— डेविड जेड

नहीं, मुझे लगता है कि यह एक महान प्रश्न है। सब कुछ उन्नत और फैंसी नहीं होना चाहिए। सरल समस्याओं के अच्छे समाधान महत्वपूर्ण हैं।

— कॉलिन के

@ डान: रिप्लेस वास्तव में उचित था? $\exp$

— JM

एक्सप्स होने से मेरे लिए चीजों को पढ़ना मुश्किल हो जाता है, लेकिन मैं मानता हूं कि यह काफी छोटा था जो मुझे नहीं करना चाहिए था।

— दान

मुझे वास्तव में किसी भी तरह से परवाह नहीं है, मुझे लगा कि मैं एडिट्स को मंजूरी दे सकता हूं क्योंकि, ठीक है, क्यों नहीं। जो कुछ भी इसके लायक है, आप इसे युगल प्रतिष्ठा प्राप्त करें।

— डेविड जेड

Answer 1

यह उबड़-खाबड़ एल्गोरिथ्म है, लेकिन मैं एक क्रूड अनुमान के लिए निम्न प्रक्रिया का उपयोग करूँगा: यदि, जैसा कि आप कहते हैं, कथित का प्रतिनिधित्व आपके ( एक्स मैं , y मैं ) पहले से ही है लगभग रूप में रैखिक x बढ़ जाती है, क्या मुझे क्या करना चाहते हैं मतभेद लेने के लिए है y मैं + 1 - y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$ , और फिरअंतर की सीमा का अनुमान लगाने के लिएशैंक्स परिवर्तन कीतरह एक एक्सट्रपलेशन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें। परिणाम उम्मीद है कि इस विषमतापूर्ण ढलान का एक अच्छा अनुमान है।$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

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एक गणितीय प्रदर्शन क्या है । व्यान एल्गोरिथ्म शैंक्स परिवर्तन के लिए एक सुविधाजनक कार्यान्वयन है, और यह (छुपा) समारोह के रूप में बनाया गया है । हम फ़ंक्शन पर प्रक्रिया की कोशिश करते हैं$\epsilon$SequenceLimit[]

$$\frac4{x^2+3}+2 x+e^{-4 x}+3$$

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

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मैं यह भी दिखा सकता हूं कि एल्गोरिथ्म कितना सरल है:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

यह कार्यान्वयन वेनिगर के कागज से अनुकूलित है ।

Comments

बस जिज्ञासु, लेकिन आपने सभी शर्तों के संयोजन के बजाय फ़ंक्शन का मूल स्वरूप क्यों बनाया?

— rcollyer

यह केवल प्रदर्शन उद्देश्यों के लिए था। :) मैंने शामिल किया$\LaTeX$

एल्गोरिथ्म प्रभावी होने के लिए अंक के कितने करीब होना चाहिए?

— rcollyer

ठीक है, आखिरी सवाल (मैं कसम खाता हूं), क्या आप अनुमान पर एक त्रुटि उत्पन्न कर सकते हैं?

— rcollyer

वह थोड़ा पेचीदा है। मैंने कुछ पत्रों में कुछ सुझाए गए तरीके देखे हैं, लेकिन मैं उनके साथ प्रयोग नहीं करने की बात कबूल करता हूं। (शायद मुझे इन दिनों में से एक होना चाहिए।) ब्रेज़िंस्की और रेडिवो-ज़ाग्लिया की पुस्तक में कुछ संकेत हैं जिन्हें आप देखना चाहते हैं।

— JM