DG-FEM में संख्यात्मक प्रवाह की भूमिका

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मैं Hesthaven / Warburton पुस्तक का उपयोग करके DG-FEM विधियों के पीछे सिद्धांत सीख रहा हूं और 'संख्यात्मक प्रवाह' की भूमिका के बारे में थोड़ा भ्रमित हूं। मैं माफी माँगता हूँ अगर यह एक बुनियादी सवाल है, लेकिन मैंने देखा है और इसका संतोषजनक उत्तर नहीं मिला है।

पर विचार करें रैखिक अदिश लहर समीकरण: जहाँ रैखिक प्रवाह कोरूप में दिया जाता है।

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

जैसा कि Hesthaven की पुस्तक में प्रस्तुत किया गया है, प्रत्येक तत्व , हम समीकरणों के साथ अंत करते हैं, प्रत्येक आधार फ़ंक्शन के लिए, यह सुनिश्चित करते हुए कि अवशिष्ट कमजोर रूप से गायब हो जाता है: $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

ठीक। इसलिए हम 'कमजोर रूप' (1) पर पहुंचने के लिए एक बार भागों के एकीकरण के माध्यम से जाते हैं और 'मजबूत रूप' (2) प्राप्त करने के लिए दो बार भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। मैं Hesthaven के सॉर्ट-ओवर -किल को अपनाना चाहूंगा लेकिन 1 डी में आसानी से सामान्यीकृत सतह अभिन्न रूप:

(1)

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

(2)

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

हम एक संख्यात्मक प्रवाह का चयन क्यों करते हैं? क्यों हम के मूल्य का उपयोग नहीं करते हैं में सीमा (1) के बजाय एक प्रवाह का उपयोग करने में? हां, यह सही है कि इस मात्रा के मान को तत्वों में गुणा किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक समीकरण केवल 1 तत्व , इसलिए यह बात क्यों है? $au_h^k$ $D^k$

इसके अलावा, भागों द्वारा दूसरे एकीकरण की सीमा अवधि स्पष्ट रूप से एक अलग मात्रा में दूसरी बार (2) में पैदावार देती है , जिससे मुझे कोई मतलब नहीं है। हम वही ऑपरेशन कर रहे हैं! क्यों दो सीमा शर्तों को रद्द नहीं करेंगे, जिससे (2) बेकार हो जाएंगे? हमने नई जानकारी कैसे पेश की है? $au_h^k$

स्पष्ट रूप से मैं विधि के लिए कुछ महत्वपूर्ण याद कर रहा हूं, और मैं इसे ठीक करना चाहूंगा। मैंने कुछ वास्तविक और कार्यात्मक विश्लेषण किए हैं, इसलिए यदि सूत्रीकरण के संबंध में अधिक सिद्धांत-आधारित उत्तर है, तो मैं जानना चाहूंगा!

finite-element discontinuous-galerkin

— user3482876
स्रोत

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u

$u$

u

$u$

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टायलर से संबंधित टिप्पणी, लेकिन IMO और भी महत्वपूर्ण: प्रवाह भी विभिन्न उपप्रकारों के बीच एक युग्मन का परिचय देता है। अन्यथा असतत अर्थ में सूचना का प्रसार नहीं हो सकता है।

— ईसाई वालुगा

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संख्यात्मक प्रवाह को यह सुनिश्चित करने के लिए चुना जाता है कि समस्या की जानकारी समीकरण (विशेषता) के विशेषता घटता की दिशा में यात्रा करती है। जैसा कि टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है, प्रत्येक तत्व पर परिभाषित उपप्रकारों को युगल करने के लिए संख्यात्मक प्रवाह आवश्यक है।

संख्यात्मक प्रवाह की भूमिका के लिए एक अंतर्ज्ञान प्राप्त करने का एक तरीका निम्नलिखित सरल उदाहरण पर विचार करना है।

$a=1$

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

इस तरह से चीजों को देखते हुए, हम संख्यात्मक प्रवाह के कार्यों पर विचार कर सकते हैं क्योंकि प्रत्येक तत्व पर सीमा की स्थिति को कमजोर रूप से लागू करना आवश्यक है जो समीकरणों को इस तरह से जोड़ते हैं जो समीकरणों की विशेषता संरचना का सम्मान करते हैं।

निरंतर-गुणांक अनुकूलन की तुलना में अधिक जटिल समीकरणों के लिए, जानकारी हमेशा एक ही दिशा में प्रचारित नहीं कर सकती है, और इसलिए संख्यात्मक प्रवाह को इंटरफ़ेस पर एक रीमैन समस्या को हल करने (या समाधान का अनुमान लगाकर ) द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए । हेस्थेन की पुस्तक की धारा 2.4 में रैखिक समस्याओं के लिए इस पर चर्चा की गई है।

— विल पी।
स्रोत

1

बहुत ही शिद्दत से बोलते हुए दो बातें हैं जिनमें सबसे अधिक विवेकाधिकार तकनीक की आवश्यकता होती है ताकि आप अपने पीडीई के वास्तविक समाधान में परिवर्तित हो सकें, क्योंकि आप डीजी का उपयोग कर रहे हैं या नहीं, भले ही:

$u$
स्थिरता (उत्तर में छोटे परिवर्तन के परिणामस्वरूप डेटा में छोटे परिवर्तन)

एक डीजी व्युत्पत्ति के पहले चरण जहां आप प्रत्येक जाल तत्व पर भागों द्वारा एकीकृत करते हैं (1) क्योंकि आप पीडीई से शुरू कर रहे हैं और केवल वहां से कानूनी संचालन लागू कर रहे हैं।

यह आपको (2) हालांकि नहीं देता है। आप आंशिक रूप से तैयार किए गए डीजी कमजोर रूप के मैट्रिक्स को इकट्ठा करने और इसके आइजनवेल्यूज को देखने की कोशिश करके इसे स्वयं देख सकते हैं - समय पर निर्भर समस्या के लिए हम उन्हें बाएं आधे विमान पर चाहते हैं, लेकिन एक उचित संख्यात्मक प्रवाह के बिना वे हर जगह होंगे। इससे एक ऐसा समाधान निकलता है जो भौतिक समस्या न होने पर भी समय में तेजी से फट जाता है।

$u$

चाल कूद और औसत के संयोजन लेने और उन्हें इस तरह से संयोजित करने के लिए है कि आपकी योजना अभी भी सुसंगत है लेकिन स्थिर भी है। उसके बाद एक अभिसरण प्रमेय आमतौर पर खुद को प्रकट करता है।

यह मूल बातें है, लेकिन आप अक्सर अतिरिक्त भौतिकी में संख्यात्मक प्रवाह में भी ला सकते हैं ताकि यह इन गणितीय आवश्यकताओं को न केवल संतुष्ट कर सके बल्कि संरक्षण सिद्धांतों के साथ अच्छी तरह से खेल सके।

— Reid.Atcheson
स्रोत

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जब आप डीजी विधि में परीक्षण फ़ंक्शन के बराबर परीक्षण फ़ंक्शन चुनते हैं तो आप एक अनुकूलन समस्या पैदा कर रहे हैं। यही है, आपके पास पेट्रोव-गेलरकिन विधि के बजाय गैलेर्किन है। आप परीक्षण फ़ंक्शन एम्पलीट्यूड के समय व्युत्पन्न की मांग कर रहे हैं जो एल 2 मानक में अवशिष्ट को कम कर देगा, और आप प्रवाह में दिए गए फ़्लक्स फ़ंक्शन की धारणा पर यह कमी लाते हैं।

— फिलिप रो
स्रोत