उपवास, और पिछड़ा-स्थिर (बाएं)

मुझे बहुत गणना करने की आवश्यकता है $3\times3$ मैट्रिक्स विलयन (न्यूटन पुनरावृत्ति ध्रुवीय अपघटन के लिए), बहुत कम संख्या में पतित मामलों के साथ ( $<0.1\%$ )।

स्पष्ट उलटा (मैट्रिक्स नाबालिगों के माध्यम से निर्धारक द्वारा विभाजित) काम करने लगता है, और लगभग ~ 32 ~ 40 फ़्यूज़ फ़्लॉप है (यह इस पर निर्भर करता है कि मैं निर्धारक के पारस्परिक गणना कैसे करता हूं)। डेट स्केल फैक्टर पर विचार न करते हुए, यह केवल 18 फ्यूज्ड फ्लॉप है (9 तत्वों में से प्रत्येक फॉर्म एब-सीडी, 2 फ्यूज्ड फ्लॉप है)।

सवाल:

वहाँ उलटा गणना करने के लिए एक रास्ता है $3\times 3$ 18 से कम का उपयोग करना (मनमाना पैमाने के साथ) या 32 (उचित पैमाने के साथ, पारस्परिक 1 ऑप पर विचार करके) फ्लॉप फ्लॉप?
वहाँ एक किफायती तरीका है (~ 50 एफ-फ्लॉप का उपयोग करके) एक पीछे की ओर-स्थिर बाएं व्युत्क्रम की गणना करने के लिए $3\times 3$ आव्यूह?

मैं एकल-सटीक फ़्लोट्स (iOS गेम) का उपयोग कर रहा हूं। पीछे की स्थिरता मेरे लिए दिलचस्प नई अवधारणा है और मैं प्रयोग करना चाहता हूं। यहाँ लेख है कि सोचा उकसाया है।

— सर्गी मिगडल्स्की
स्रोत

उलटे के लिए केली-हैमिल्टन प्रमेय का उपयोग करने के बारे में क्या?

— nicoguaro

यदि यह आपके लिए ऐसी अड़चन है, तो क्या इस मामले में ध्रुवीय अपघटन के लिए एक और एल्गोरिथ्म तेज हो सकता है? एसवीडी के माध्यम से, उदाहरण के लिए? या eprints.ma.man.ac.uk/694/01/covered/MIMS_ep2007_9.pdf के 3.3 के रूप में न्यूटन की विधि को तेज करना ।

— किरिल

मैं उपवास के संबंध में पहले प्रश्न पर अपना विचार देने का प्रयास करूंगा $3\times 3$ उलटा । विचार करें

A = [\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}]

$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$

चूंकि मैट्रिसेस छोटे और बहुत सामान्य होते हैं (किसी भी ज्ञात संरचना, शून्य, तत्वों के सापेक्ष तराजू की सुविधा नहीं देते हैं), मुझे लगता है कि मनमाना पैमाने के लिए एक एल्गोरिथ्म देना असंभव होगा (बिना $1/\det(A)$ ) उलटा, जो 18 फ़्यूज़ किए गए फ़्लॉप से अधिक तेज़ है, क्योंकि प्रत्येक 9 तत्वों में से 2 फ़्यूज़ फ़्लॉप की आवश्यकता होती है, और सभी उत्पाद अद्वितीय होते हैं, बशर्ते कि कोई पूर्व सूचना प्रविष्टियों । यहाँ, adjugate (cactactors के स्थानांतरण को दर्शाता है, जो अनिवार्य रूप से एक है "मनमाना पैमाने" के साथ उलटा (बशर्ते उलटा मौजूद हो)। $A$ $a,\ldots,i$

A^{- 1} det (A) = adj (A) = [\begin{array}{ccc} e i - f h & d i - f g & g e - d h \\ b i - c h & a i - c g & a h - b g \\ c e - b f & a f - c d & a e - b d \end{array}]

$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

हालाँकि, कुछ गणना का पुन: उपयोग the गणना के लिए किया जा सकता है । यदि मैं इसे पहले कॉलम पर बढ़ाता हूं (5 और विकल्प हैं): सूचना, कि (* ) पहले से ही के मूल्यांकन के दौरान गणना की गई है । तो, निर्धारक के पारस्परिक को 4 अतिरिक्त फ्यूज्ड फ्लॉप्स में गणना की जा सकती है (यदि पारस्परिक को 1 फ्लॉप माना जाता है)। $\det(A)$

\begin{aligned} det (A) & = a (e i - f h) + b (f g - d i) + c (d h - g e) \\ = a \underset{*}{\underset{⏟}{(e i - f h)}} - b \underset{*}{\underset{⏟}{(d i - f g)}} - c \underset{*}{\underset{⏟}{(g e - d h)}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

1 / det (A)

$1/\det(A)$

अब, प्रत्येक 9 तत्व को पहले से ही निर्धारक के पारस्परिक प्राप्त द्वारा स्केल किया जाना चाहिए, एक और 9 फ्यूज्ड फ्लॉप को जोड़ना। $\text{adj}(A)$

इसलिए,

18 फ़्यूज़ फ्लॉप में गणना करें $\text{adj}(A)$
गणना 3 इनकार में पहले से ही गणना की की प्रविष्टियों का उपयोग फ्लॉप $\det(A)$ $\text{adj}(A)$
(1 फ्लॉप मानकर ढूंढें । $\frac{1}{\det(A)}$
पहले से ही गणना किए गए प्रत्येक पाठ का एक-एक स्केल by एक और ९ फ्यूज्ड फ्लॉप में। $\text{adj}(A)$ $\frac{1}{\det(A)}$

18 + 3 + 1 + 9 = 31 फ़्लॉप फ्लॉप में परिणाम । आपने निर्धारक की गणना के अपने तरीके का वर्णन नहीं किया, लेकिन मुझे लगता है कि 1 अतिरिक्त फ्लॉप को बचाया जा सकता है। या इसे चेक करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है चरण 3 में , जहाँ degenerate (इन्वर्टिबल नहीं) केस के लिए सहिष्णुता है , जिसके परिणामस्वरूप 32 फ़्यूज़ फ़्लॉप (मान लेना 1 फ़्लॉप ) है। $|\det(A)|>\epsilon$ $\epsilon$ if

मुझे नहीं लगता कि सामान्य मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने का एक तेज़ तरीका है क्योंकि सभी शेष गणना अद्वितीय हैं। केली-हैमिल्टन का उपयोग गति के दृष्टिकोण से मदद नहीं करना चाहिए, सामान्य रूप से, इसे कुछ अन्य ऑपरेशनों के अलावा मैट्रिक्स के लिए की गणना की आवश्यकता होगी । $3\times 3$ $A^2$ $3\times 3$

ध्यान दें:

यह उत्तर संख्यात्मक स्थिरता के साथ सौदा नहीं करता है
वेक्टराइजेशन और मेमोरी एक्सेस पैटर्न के अनुकूलन की संभावित संभावनाओं पर भी चर्चा नहीं की गई है

— एंटन मेन्शोव
स्रोत