संख्यात्मक विश्लेषण में 'एक प्राथमिकता' और 'पोस्टवर्दी' त्रुटि अनुमान के बीच अंतर क्या हैं?

मैंने परिमित तत्व विधि (अन्य संख्यात्मक विधियों पर भी थोड़ा) के बारे में सीखा है, लेकिन मुझे नहीं पता कि इन दोनों त्रुटियों और उनके बीच अंतर की क्या परिभाषा है?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— अनह-थि दिन्ह
स्रोत

एक प्राथमिकता (लैटिन "पहले से लैटिन") का अनुमान केवल सटीक पर निर्भर करता है, लेकिन गणना अनुमानित, समाधान नहीं है और इसलिए समाधान की गणना करने से पहले मूल्यांकन किया जा सकता है (सिद्धांत में नहीं तो) । इसके विपरीत, एक पश्च (लैटिन से "बाद में") अनुमान अनुमानित समाधान पर निर्भर करता है, लेकिन सटीक समाधान नहीं है, इसलिए उन्हें समाधान की गणना करने की आवश्यकता होती है लेकिन वास्तव में व्यवहार में मूल्यांकन किया जा सकता है।

— क्रिश्चियन क्लैसन

@ChristianClason - इसे उत्तर दें!

— वुल्फगैंग बंगर्थ

त्रुटि अनुमान आमतौर पर फार्म का जहां सटीक समाधान में रुचि रखते हैं है, है एक गणना की अनुमानित समाधान, एक सन्निकटन है पैरामीटर आप नियंत्रित कर सकते हैं, और का कुछ कार्य है (अन्य चीजों के बीच)। परिमित तत्व विधियों में, एक आंशिक अंतर समीकरण का हल है और जाल आकार साथ एक जाल के लिए परिमित तत्व समाधान होगा

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$ , लेकिन आपके पास व्युत्क्रम समस्याओं (

स्थान पर नियमितीकरण पैरामीटर

साथ ) या समीकरणों या अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए पुनरावृत्ति विधियों के साथ समान संरचना है (पुनरावृत्ति सूचकांक

- या बल्कि

α

$\alpha$

h

$h$

k

$k$

स्थान पर) । इस तरह के एक अनुमान का मुद्दा प्रश्न का उत्तर देने में मददकरना है "अगर मैं भीतर जाना चाहता हूं, तो कहो,सटीक समाधान के , मुझे का चयन करने के लिए कितना छोटा है

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$ ?"

प्राथमिकताओं और पूर्ववर्ती अनुमानों के बीच का अंतर दाहिने हाथ की ओर $C(h)$ :

में एक प्रायोरी अनुमान, दाएँ हाथ की ओर पर निर्भर करता है और (आमतौर पर स्पष्ट रूप से) , लेकिन पर नहीं । उदाहरण के लिए, एक ठेठ एक प्रायोरी प्वासों के समीकरण के परिमित तत्व सन्निकटन के लिए अनुमान प्रपत्र होता $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$ एक निरंतर
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ डोमेन और मेष की ज्यामिति के आधार पर । सिद्धांत रूप में, कम्प्यूटिंग से पहले दाहिने हाथ की ओर का मूल्यांकन किया जा सकता है (इसलिए नाम), तो आपकुछ भी हलकरने सेपहले का चयन करने में सक्षम होंगे। व्यवहार में, न तो औरनही जाना जाता है ( क्या आप पहली जगह में देख रहे हैं), लेकिन आप कभी-कभीसबूतों के लिए सावधानी से और लिए आदेश-या-परिमाण अनुमान प्राप्त कर सकते हैंडेटा का उपयोग करना(जो ज्ञात है)। मुख्य उपयोग गुणात्मक अनुमान के रूप में है - यह आपको बताता है कि यदि आप चार के एक कारक से त्रुटि को छोटा करना चाहते हैं, तो आपको को आधा करने की आवश्यकता है। $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ $c$ $|u|$ $f$ $h$
में कारण का अनुमान अनुमान, दाएँ हाथ की ओर पर निर्भर करता है और , लेकिन पर नहीं । एक साधारण अवशिष्ट आधारित प्वासों के समीकरण के लिए एक पीछे अनुमान होता हो जो सिद्धांत रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है के बाद , आप ऐसा आदर्श गणना करने के लिए समस्याग्रस्त है 'घ आगे एक पाने के लिए दाएँ हाथ की ओर हेरफेर तत्व के लिहाज से बाध्य $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ की गणना । व्यवहार में, $u_h$ $H^{-1}$ जहां पहले योग तत्वों खत्म हो गया है ट्राईऐन्ग्युलेशंस की, के आकार है , दूसरा योग सभी तत्व सीमा के खत्म हो गया है , और के सामान्य व्युत्पन्न की छलांग को दर्शाता है भर में । यह अब प्राप्त करने के बाद पूरी तरह से गणना कर सका है , निरंतर के अलावा । तो फिर से उपयोग मुख्य रूप से गुणात्मक है - यह आपको बताता है कि कौन से तत्व दूसरों की तुलना में बड़ी त्रुटि योगदान देते हैं, इसलिए को कम करने के बजाय $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ समान रूप से, आप केवल कुछ तत्वों को बड़ी त्रुटि योगदान के साथ चुनते हैं और उन्हें उप-विभाजित करके छोटे बनाते हैं। यह अनुकूली परिमित तत्व विधियों का आधार है ।

— ईसाई क्लासन
स्रोत

यह जवाब वास्तव में मुझे क्या चाहिए, बहुत बहुत धन्यवाद।

— एएच-थि डीएनएच