पीडीई उलटा समस्या में पॉइंटवाइज़ बनाम निरंतर अवलोकन

Question

मैं अपने पीएचडी के लिए एक उलटा समस्या पर काम करता हूं। अनुसंधान, हम सादगी की खातिर कहूँगा जो यह पता लगाना है में$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

कुछ टिप्पणियों से ; k 0 एक स्थिरांक है और f ज्ञात है। यह आमतौर पर चरम सीमा के लिए अनुकूलन समस्या के रूप में तैयार किया जाता है$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

जहां एक लैग्रेग गुणक है। के कार्यात्मक व्युत्पन्न जम्मू के संबंध में β adjoint समीकरण को हल करके गणना की जा सकती$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

कुछ को नियमित करने कार्यात्मक सामान्य कारणों के लिए समस्या में जोड़ा जाता है।$R[\beta]$

यहाँ अनकहा धारणा है कि मनाया डेटा है डोमेन में लगातार परिभाषित कर रहे हैं Ω । मुझे लगता है कि यह मेरी समस्या के बजाय उपयोग के लिए अधिक उपयुक्त हो सकता है$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

जहां अंक जिस पर माप लिया जाता है और कर रहे हैं σ n का मानक विचलन है n वें माप। इस क्षेत्र के माप अक्सर धब्बेदार और लुप्त होते हैं; क्यों संदिग्ध निष्ठा के एक निरंतर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए प्रक्षेपित किया जा सकता है अगर उससे बचा जा सकता है?$x_n$$\sigma_n$$n$

इससे मुझे विराम मिलता है क्योंकि आसन्न समीकरण बन जाता है

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

जहां डीरेका डेल्टा कार्य है। मैं इसे परिमित तत्वों का उपयोग करके हल कर रहा हूं, इसलिए सिद्धांत रूप में उस बिंदु पर आकार फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए एक डेल्टा फ़ंक्शन मात्रा के खिलाफ एक आकृति फ़ंक्शन को एकीकृत करता है। फिर भी, नियमितता के मुद्दों को शायद हाथ से खारिज नहीं किया जाना चाहिए। मेरा सबसे अच्छा अनुमान यह है कि उद्देश्य क्षेत्र को सभी क्षेत्रों के लिए परिमित तत्व सन्निकटन के संदर्भ में परिभाषित किया जाना चाहिए, न कि वास्तविक क्षेत्रों के संदर्भ में और उसके बाद विवेकाधीन।$\delta$

मैं साहित्य में उलटी समस्याओं में निरंतर या बिंदुवार माप लेने की कोई तुलना नहीं कर सकता, या तो मैं या आम तौर पर काम कर रही विशिष्ट समस्या के संबंध में। अक्सर बिंदुवार मापों का उपयोग बिना किसी नियमितता के मुद्दों के उल्लेख के बिना किया जाता है, जैसे यहाँ । क्या कोई प्रकाशित कार्य निरंतर बनाम बिंदुवार माप की मान्यताओं की तुलना करता है? क्या मुझे बिंदुवार मामले में डेल्टा कार्यों के बारे में चिंतित होना चाहिए?

Answer 1

इस क्षेत्र के माप अक्सर धब्बेदार और लुप्त होते हैं; क्यों संदिग्ध निष्ठा के एक निरंतर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए प्रक्षेपित किया जा सकता है अगर उससे बचा जा सकता है?

आप पूरी तरह से सही हैं - अधिकांश समय, पूरे डोमेन को कवर करने वाले एक निरंतर क्षेत्र के लिए प्रक्षेप एक विकल्प नहीं है। मौसम की भविष्यवाणी की समस्याओं के बारे में सोचें, जहां माप (बिंदु-स्रोत) केवल चयनित डोमेन स्थानों पर उपलब्ध हैं। मैं कहता हूं कि बिंदु-वार डेटा अपवाद से अधिक आदर्श है जब आप "वास्तविक जीवन" के विपरीत समस्याओं पर विचार करते हैं।

मेरा सबसे अच्छा अनुमान है कि उद्देश्य क्षेत्र को सभी क्षेत्रों के लिए परिमित तत्व सन्निकटन के संदर्भ में परिभाषित किया जाना चाहिए ( विवेकाधिकार-तब-अनुकूलन ), बजाय वास्तविक क्षेत्रों के संदर्भ में और फिर ( अनुकूलन-तब-विवेक ) के बाद विवेकाधीन ।

दोनों दृष्टिकोण समतुल्य नहीं हैं (बहुत सरल समस्याओं को छोड़कर)। साहित्य के दो दृष्टिकोणों (प्रत्येक इसके फायदे और कमियां) की तुलना करने वाला एक विशाल शरीर है। मैं आपको मैक्स गनजबर्गर के मोनोग्राफ (विशेष रूप से अध्याय 2 के अंत) की ओर इंगित करता हूं ।

क्या कोई प्रकाशित कार्य निरंतर बनाम बिंदुवार माप की मान्यताओं की तुलना करता है? क्या मुझे बिंदुवार मामले में डेल्टा कार्यों के बारे में चिंतित होना चाहिए?

आप अपने स्रोत की शर्तों का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं - अर्थात्, आपके स्रोत शब्द को डिरेक वितरण [ अर्राया एट अल।, 2006 ] के रूप में (असतत सन्निकटन) के रूप में तैयार किया जाएगा , या आप कुछ नियमित रूप से फ़ंक्शन द्वारा स्रोत शब्द को अनुमानित कर सकते हैं (जैसा कि किया गया है। , उदाहरण के लिए, डूबे हुए सीमा विधि में )। होसेनी एट अल द्वारा इस हाल के पेपर पर एक नज़र डालें (शुरुआत के लिए) । (और उसमें संदर्भ)।

Answer 2

@ GoHokies के उत्तर पर विस्तार करने के लिए: यदि आप नियमितता के सवालों में रुचि रखते हैं, तो आप यह भी पूछ सकते हैं कि वास्तव में "बिंदु माप" क्या हैं। शारीरिक अभ्यास में, आप "बिंदु" पर कुछ भी नहीं माप सकते हैं। बल्कि, आपको हमेशा किसी न किसी तरह के स्पेस-टाइम चंक पर कुछ औसत प्राप्त होने वाला है: एक थर्मामीटर एक बिंदु नहीं बल्कि एक विस्तारित वस्तु है, और इसके चारों ओर के माध्यम के तापमान को समायोजित करने के लिए समय लगता है; एक एकाग्रता माप उपकरण को एक परिमित नमूना आकार की आवश्यकता होती है; आदि।

इसका मतलब यह है कि गणितीय रूप से यह है कि आपके कार्यात्मक में डेल्टा फ़ंक्शन वास्तव में, पर्याप्त रूप से छोटे क्षेत्रों और / या समय के अंतराल पर औसत हैं। नतीजतन, दोहरे समीकरण में दाहिने हाथ के पक्ष भी परिमित होते हैं, और कोई नियमितता समस्या उत्पन्न नहीं होती है।

बेशक, व्यवहार में, आप आमतौर पर छोटे स्थान या समय अंतराल को हल करने में सक्षम नहीं होंगे, जिस पर आप एक परिमित तत्व जाल के साथ मापते हैं। है यही कारण है, लम्बाई के पैमाने आप हल कर सकते हैं पर, दाहिने हाथ की ओर करता नज़र विलक्षण है, और फलस्वरूप तो समाधान करता है। लेकिन, चूंकि आप पहले से ही एक विवेकाधीन त्रुटि का परिचय दे रहे हैं, इसलिए आप उस वॉल्यूम की विशेषता फ़ंक्शन को भी नियमित कर सकते हैं, जिस पर आप समान वजन के साथ असतत सन्निकटन द्वारा मापते हैं; यदि आप इसे सही करते हैं, तो आप एक ऐसी त्रुटि का परिचय देंगे जो विवेकाधीन त्रुटि से बड़ी नहीं है, लाभ के लिए (असतत) दोहरे समीकरण के लिए पूरी तरह से अच्छा दाहिने हाथ की ओर कार्य करता है।